復數學習中應關注的要點梳理

侯祥偉

(山東省鄒城市第二中學)

復數是歷年各省市高考命題的必考點,但題目難度不大,屬于學生不能失分的點,其命題視角主要涉及復數的基本概念、基本運算、復數的有關性質及復數的簡單應用等.學生在學習中要準確把握復數的相關概念,熟練應用相應的運算法則、運算技巧等,小題不大做.下面總結幾個要點,供讀者參考.

1 掌握復數的基本概念

復數z＝a＋bi(a,b∈R,i為虛數單位,i2＝－1),其中a為實部,b為虛部,復數是既有“大小”又有方向的量,其“大小”又稱為復數的“模”,表示為|z|＝;實部相等,虛部互為相反數的兩個復數是共軛復數;當實部為0,虛部不為0時,z為純虛數,當虛部為0時,z為實數.這些都是復數最基本的概念,以這些概念為視角的試題是高考常考題型.解題中要注意對概念進行辨析.

例1“a＝0”是“復數z＝a＋bi(a,b∈R)為純虛數”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

學生在解答本題時,常錯選C.原因是忽視了復數z＝a＋bi為純虛數的條件是a＝0,且b≠0,故正確選項為B.

例2若復數z滿足z＋i＝3－i,那么z的虛部是( ).

A.2 B.－2 C.2i D.－2i

學生在解答本題時,由于對復數有關概念的掌握不扎實,常錯選A 或D.注意虛部是指i的系數,與其前面的符號是一個整體.故正確選項為B.

2 理解復數的幾何意義

復數z＝a＋bi(a,b∈R)與復平面(實部為橫軸,虛部為縱軸)內的點Z(a,b)一一對應.當z為實數時,該點落在橫軸上,當z為純虛數時,該點落在縱軸上(除原點).復數也可以與向量建立對應關系,即z＝a＋bi與向量對應,其中O為坐標原點.因此某些復數問題可借助向量運算來求解.

例3在復平面內,“點A在虛軸上”是“點A所對應的復數為純虛數”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

學生在解答本題時易錯選C,原因是忽視了特殊點,即坐標原點,它所對應的是實數0.故“點A在虛軸上”是“點A所對應的復數為純虛數”的必要不充分條件.故正確選項為B.

例4已知復數z1,z2滿足|z1|＝1,|z2|＝1,若z1＋z2＝1＋,則|z1－z2|＝_________.

3 熟練復數的運算

復數的運算包括加、減、乘、除以及相等.兩個復數相加(減),將實部與實部、虛部與虛部分別相加(減).復數的乘法利用乘法分配律計算.復數的除法,利用兩個共軛復數之積為實數的原理,將分母實數化來實現.兩個復數相等,即實部與實部相等,虛部與虛部相等.其他相應的運算與實數的運算方法相同.注意in具有周期性,其最小正周期為4,即i4n＝1,i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i;若ω＝－,則ω0＝1,ω2＝,ω3＝1;1＋ω＋ω2＝0.另外要注意兩個復數不能比較大小,但其模可以比較大小.

例5 若z＝則|z|＝( ).

本題考查了復數的除法運算及復數模的求解,屬于基礎題,只要準確計算即可.因為,所以z＝,所以,故正確選項為B.

例6下列各選項中運算結果為純虛數的是( ).

A.i(1＋i) B.i2(1－i)

C.i(1＋i)2D.(1＋i)2

純虛數,即實部為0,虛部不為0,只要利用復數的運算法則,逐一將各選項中的復數關系式進行計算化簡即可.

選項A,i(1＋i)＝－1＋i,不是純虛數.

選項B,i2(1－i)＝－1＋i不是純虛數.

選項C,i(1＋i)2＝－2不是純虛數.

選項D,(1＋i)2＝2i為純虛數.

綜上,正確選項為D.

4 準確利用復數性質

共軛復數的性質:令z＝a＋bi(a,b∈R),其共軛復數為＝a－bi,則z與在復平面內對應的點關于實軸對稱.

實數的共軛復數為其本身.

復數模的運算性質:‖z1|－|z2‖≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|(復數模的三角不等式),|z1·z2|＝|z1|·,|zn|＝|z|n等,熟練利用這些性質,往往可以快速解題.

例7若復數z滿足(1＋i)z＝2i,則|z|＝( ).

根據題目所給關系式,可知z＝,再結合復數模的性質,即,得

故正確選項為C.

例8現給出如下所述四個命題.p1:如果復數z滿足∈R,那么z∈R;

p2:如果復數z滿足z2∈R,那么z∈R;

p3:如果復數z1,z2滿足z1z2∈R,那么z1＝

p4:如果復數z∈R,那么∈R.

其中的真命題為( ).

A.p1,p3B.p1,p4

C.p2,p3D.p2,p4

假設z＝a＋bi(a,b∈R,且z≠0),那么R,據此可知b＝0,故z∈R,即p1是真命題.

若z＝i,而z2＝i2＝－1∈R,但z＝i?R,所以p2是假命題.

若z1＝z2＝i,則z1z2＝－1∈R,而z1≠z2,所以p3是假命題.

實數的共軛復數即為其本身,亦為實數,所以p4是真命題.

綜上,正確選項為B.

5 滲透復數數學文化

教育部考試中心在“關于普通高考考試大綱修訂內容”中要求“增加中華優秀傳統文化的考核內容,積極培育和踐行社會主義核心價值觀,充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用”.比如,在數學中增加數學文化的內容.將數學文化與數學知識相結合,加強引導學生對中華優秀傳統文化的了解.因此近幾年高考題、模擬題或競賽題中出現大量以復數為載體的數學文化試題,有效地起到這一引導功能.

例9歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然對數的底數,i是虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發現的,當θ＝π時,就有eiπ＋1＝0,根據上述知識試判斷表示的復數在復平面對應的點位于( ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

歐拉公式將三角函數的定義域擴大到復數,建立了三角函數和指數函數的關系,歐拉公式在復變函數里占有非常重要的地位.

例10在復平面內,復數z＝a＋bi(a,b∈R)與向量(O為坐標原點)對應,設＝r.以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉的角為θ,則z＝r(cosθ＋isinθ).法國數學家棣莫弗發現了棣莫弗定理:z1＝r1(cosθ1＋isinθ1),z2＝r2(cosθ2＋isinθ2),則z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)],由此可導出復數乘方公式:[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ).已知z＝＋i)4,則|z|＝( ).

棣莫弗定理與例9中的歐拉公式有緊密的聯系,如將復數改寫為指數形式,即z1＝r1eiθ1,z2＝r2eiθ2,則z1z2＝r1r2ei(θ1＋θ2).

6 落實復數工具應用

復數既可以作為考點來考查,也可以作為工具用于解題,在處理某些函數最值問題或不等式證明問題時,通過構造復數,利用復數的運算及性質常可使問題簡捷獲解,主要的工具就是復數模的三角不等式:

例11已知函數f(x)＝(x∈R),則函數f(x)的最小值為________.

本題可以利用幾何法求解,即“將軍飲馬”模型,也可以利用復數的性質簡捷處理.

將函數變形得

設復數z1＝(1－3x)＋2i,z2＝3x＋i,則|z1|＝,利用復數模的三角不等式得|z1|＋|z2|≥|z1＋z2|＝|1＋3i|＝,故函數f(x)的最小值為 10.

例12已知a,b,c∈R*,求證:

本題的證明方法很多,可以利用代數法,也可以利用幾何法.在此利用復數法進行證明.

結合所證不等式的結構特征,設z1＝a＋bi,z2＝b＋ci,z3＝c＋ai,根據復數模的三角不等式得

綜上,復數問題難度雖然不大,但要注意易錯、易混問題的辨析,準確計算,避免造成無謂失分.上述幾個要點,希望對學生的學習有所幫助.

(完)