對2020年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽第4題的多視角探究

李 勇

(貴州省貴陽市息烽縣第一中學)

復數(shù)雖然在高中教材中講得簡單,在高考中考得也簡單,但在競賽中試題難度比較大,綜合性比較強,它往往會與向量、函數(shù)、方程、不等式、幾何意義等知識綜合.解決此類問題常常需要將問題轉化為函數(shù)、不等式、解析幾何的一些幾何意義來解答.本文以2020年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽第4題為例,從9種不同的視角探究這一類問題的解題策略.

1 試題呈現(xiàn)

題目設Z為復數(shù),若為實數(shù)(i為虛數(shù)單位),則|Z＋3|的最小值為________.

2 命題背景

1)復數(shù)的加法、減法、乘法、除法,復數(shù)為實數(shù)的條件、復數(shù)的模長.

2)函數(shù)、方程、不等式、幾何意義.

3 試題分析

本題是一道典型的復數(shù)與其他知識綜合的問題,涉及的知識面廣,有方程與函數(shù)、方程與不等式、方程的幾何意義(點到直線的距離、兩點間的距離)等,是一道關系錯綜復雜的動態(tài)問題.

4 解法探究

視角1由方程a＋2b－2＝0的特點聯(lián)想到等差數(shù)列的等差中項,故先借助等差數(shù)列把a,b用公差d表示出來,然后將其代入得到一個以d為自變量的二次函數(shù),最后求這個二次函數(shù)的最小值即可.

解法1消元(等差數(shù)列)→二次函數(shù)

由a＋2b－2＝0,得a＋2b＝2,則a,1,2b成等差數(shù)列.

設公差為d(d∈R),則a＝1－d,b＝所以

視角2根據(jù)方程a＋2b－2＝0,可用b把a表示出來,再將其代入中消去a,使得目標變成了一個以b為自變量的二次函數(shù),最后求出這個二次函數(shù)的最小值即可.

解法2消元→二次函數(shù)

由a＋2b－2＝0,可得a＝2－2b,所以

視角3根據(jù)方程a＋2b－2＝0,可用b把a表示出來,再將其代入中消去a,然后構造一個基本不等式的模型,最后用基本不等式即可求出|Z＋3|的最小值.

解法3消元→基本不等式

由a＋2b＝2,可得a＝2－2b,所以

當且僅當4－b＝b,即b＝2時,|Z＋3|取得最小值

視角4根據(jù)方程a＋2b－2＝0,可用b把a表示出來,再將其代入中消去a,然后構造一個權方和不等式模型,從而求出|Z＋3|的最小值.

解法4消元→權方和不等式

由a＋2b＝2,可得a＝2－2b,所以

視角5直接由構造一個權方和不等式模型,從而求出|Z＋3|的最小值.

解法5權方和不等式

由a＋2b－2＝0,可得a＋2b＝2,所以

視角6直接由構造一個柯西不等式模型,從而求出|Z＋3|的最小值.

解法6柯西不等式

由a＋2b－2＝0,可得a＋2b＝2,所以

視角7由方程a＋2b－2＝0的特點聯(lián)想到直線的參數(shù)方程,先將a,b用參數(shù)t表示出來,然后將其代入中消去a,b,得到一個以參數(shù)t為自變量的二次函數(shù),最后求二次函數(shù)的最小值即可.

解法7直線參數(shù)方程→二次函數(shù)

解法8圓的參數(shù)方程→三角函數(shù)

視角9由的特點聯(lián)想到兩點之間的距離公式,表示平面直角坐標系aOb內的定點(－3,0)與直線a＋2b－2＝0上的動點(a,b)間的距離,求|Z＋3|的最小值,即求定點(－3,0)與直線a＋2b－2＝0上的動點(a,b)之間距離的最小值,易知當定點(－3,0)與直線a＋2b－2＝0上的動點(a,b)的連線垂直于直線a＋2b－2＝0時,距離最小,最后由點到直線的距離公式即可求出|Z＋3|的最小值.

解法9幾何意義

由|Z＋3|＝|(a＋3)＋bi|＝,則|Z＋3|表示平面直角坐標系aOb內的定點(－3,0)與直線a＋2b－2＝0上的動點(a,b)間的距離,如圖1所示.

圖1

易知當定點(－3,0)與直線a＋2b－2＝0上的動點(a,b)的連線垂直于直線a＋2b－2＝0時,距離最小.由點到直線的距離公式得|Z＋3|的最小值為

5 反思

從多角度探究一道試題,是培養(yǎng)學生能力的重要方式,是實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的一個重要的載體.多角度探究一道試題有利于學生由點到面的掌握有關知識,有利于學生抓住問題的本質、求解方法以及蘊含的結論,最終實現(xiàn)做一題得一類題,做一題掌握更多的知識.思考角度不同,方法就不相同,所涉及的知識也不同,解題的難易程度也不盡相同,對發(fā)散學生思維非常重要,它有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

(完)