基于變步長(zhǎng)因子的改進(jìn)LMS算法

鄭鴻瑞，趙亞文，周風(fēng)波，甘昭林，胡祎，譚燕花

（邵陽(yáng)學(xué)院，湖南邵陽(yáng)，422000）

0 引言

信號(hào)自適應(yīng)濾波算法主要是為了處理一些由于噪聲干擾太強(qiáng)導(dǎo)致信噪比較小的信號(hào)，因?yàn)樵趯?shí)際的測(cè)試中，噪聲的干擾無(wú)處不在，這些噪聲或大或小都影響到了實(shí)際測(cè)量的結(jié)果的精確性。減小這部分噪聲對(duì)測(cè)試的影響，一方面可以將噪聲消除，另一方面可以將所需的信號(hào)增強(qiáng)。如何將信號(hào)中的噪聲減少一直都是信號(hào)處理中的一個(gè)重點(diǎn)研究話題，傳統(tǒng)意義上的傅里葉變換去噪方法只適用于平穩(wěn)信號(hào)，但是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理就顯得很無(wú)力。

目前國(guó)內(nèi)已知的信號(hào)增強(qiáng)算法常用的有小波信號(hào)增強(qiáng)算法、Savitzky-Golay去噪增強(qiáng)算法和LΜS算法。通過(guò)對(duì)LΜS算法展開(kāi)研究，發(fā)現(xiàn)這種算法其本身計(jì)算復(fù)雜程度低，收斂性和穩(wěn)定性好，在國(guó)內(nèi)也得到了廣泛的應(yīng)用，但是在對(duì)其優(yōu)越性的研究的過(guò)程中也發(fā)現(xiàn)其本身存在一些缺陷，比如基本的LΜS算法收斂速度較慢，所需要的去噪時(shí)間長(zhǎng)。如何找到辦法去降低去噪的時(shí)間，提高去噪效率，使得輸出信號(hào)在更較短的時(shí)間內(nèi)收斂趨于平穩(wěn)。為解決這個(gè)問(wèn)題，小組對(duì)LΜS算法展開(kāi)了一種方法的研究。

本方法具體實(shí)現(xiàn)是通過(guò)引出誤差因子這一概念，構(gòu)造誤差因子與誤差函數(shù)非線性關(guān)系的相關(guān)修正函數(shù)，并將誤差因子的范圍規(guī)范在一個(gè)較小的區(qū)間內(nèi)，通過(guò)以誤差函數(shù)作為自變量的函數(shù)關(guān)系式的變化去對(duì)步長(zhǎng)因子進(jìn)行進(jìn)一步的修正，且對(duì)于每一個(gè)誤差函數(shù)值，誤差因子的修正都有不同的適應(yīng)性變化，最后由適應(yīng)性變化后的步長(zhǎng)因子再更進(jìn)一步對(duì)每一個(gè)加權(quán)系數(shù)進(jìn)行適應(yīng)性的修正，最后起到了對(duì)帶噪聲信號(hào)的優(yōu)化和對(duì)收斂速度的提高的效果。

1 LMS理論分析

1.1 LMS算法

LΜS算法又被稱為最小均方（Least mean square）算法，是一種檢索算法，它是通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)修改[1-2]。在1960年由B.Widrow[3-5]和Hoff提出來(lái)的，這種算法也被稱為Δ規(guī)則。具體實(shí)現(xiàn)是通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修改以便簡(jiǎn)化梯度向量的計(jì)算算法。LΜS也是建立在維納濾波的算法基礎(chǔ)之上，借助最陡下降法得到了又進(jìn)一步的發(fā)展。

LΜS算法的具體原理如圖1所示。

圖1 LMS算法原理圖

輸入信號(hào)矩陣：

加權(quán)系數(shù)構(gòu)成一個(gè)權(quán)系數(shù)矢量：

輸出信號(hào)：

誤差信號(hào)：

LΜS算法利用最小均方誤差函數(shù)作為優(yōu)化之后的目標(biāo)函數(shù)，以此方法來(lái)尋找到最優(yōu)的加權(quán)系數(shù)W。LΜS算法最小均方值的準(zhǔn)則[6]：

利用最陡下降算法，使信號(hào)沿著性能曲面下降最快速的方向（即負(fù)梯度方向）調(diào)整加權(quán)向量，并尋找到性能曲面的最小點(diǎn)。計(jì)算權(quán)向量的迭代公式為：

其中s（n）為期望值。LΜS算法所需要的加權(quán)系數(shù)是通過(guò)對(duì)前一時(shí)刻特性的估算來(lái)確定下一個(gè)時(shí)刻的值，通過(guò)不斷的估算，使誤差值逐漸減少，不斷趨近于0，一步一步得到最接近理想信號(hào)的波形。這種算法是通過(guò)迭代法求解實(shí)現(xiàn)的，所以會(huì)造成信號(hào)去噪的時(shí)間比較長(zhǎng)，而且算法要求步長(zhǎng)因子α的范圍處于0到最大特征值的倒數(shù)1/λmax之間[7]。因?yàn)椴介L(zhǎng)因子α對(duì)算法的收斂性起著決定性的作用，若步長(zhǎng)因子α的值太小，可能會(huì)導(dǎo)致噪聲過(guò)大，影響收斂速度；如果α太大，可能會(huì)導(dǎo)致參數(shù)更新的幅度大，使信號(hào)產(chǎn)生失真，同時(shí)也會(huì)使得信號(hào)收斂于局部最優(yōu)點(diǎn)，或者處于震蕩狀態(tài)，甚至?xí)?dǎo)致信號(hào)失真。因此，選擇合適的α參數(shù)值是LΜS算法的關(guān)鍵所在。

1.2 基于LMS算法的改進(jìn)變步長(zhǎng)因子算法

由于無(wú)法提前了解到外界環(huán)境中的各種隨機(jī)干擾信號(hào)和那些隨時(shí)間而規(guī)律性變化的噪聲，我們無(wú)法對(duì)步長(zhǎng)因子進(jìn)行強(qiáng)制性規(guī)定，故本章提出了一種改進(jìn)型LΜS算法，該算法是在LΜS算法的基礎(chǔ)上對(duì)步長(zhǎng)因子和與步長(zhǎng)因子有關(guān)的函數(shù)參量進(jìn)行誤差分析和適應(yīng)性變化去改進(jìn)實(shí)現(xiàn)更為優(yōu)化的輸出信號(hào)，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)算法降低了信號(hào)在初始收斂時(shí)刻較大的噪聲的現(xiàn)象，使信號(hào)收斂速度提高，穩(wěn)定性增強(qiáng)。

1.2.1 改進(jìn)LMS算法的變步長(zhǎng)數(shù)學(xué)模型

該模型中0<μ<1/λmax的實(shí)現(xiàn)是通過(guò)將誤差因子μ規(guī)定在一個(gè)可調(diào)節(jié)的范圍內(nèi)，即λmax是輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的最大特征值。

函數(shù)通過(guò)取μ為一個(gè)中間值開(kāi)始并在一定范圍內(nèi)進(jìn)行變化和修正，降低了初始μ值過(guò)大或者過(guò)小引起的初始情況中噪聲較大的現(xiàn)象。因每一次迭代都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與期望值存在誤差的誤差值，所以這里提出了修正函數(shù)和誤差因子的概念，由μ與error（n）存在的非線性關(guān)系，利用誤差因子的大小ee去修正μ值的大小，使μ可以通過(guò)每一個(gè)輸入得到的誤差值的不同而適應(yīng)性改變，得到適應(yīng)性μ值。具體數(shù)學(xué)式如下：

在本模型中取0.00001<μ<0.20 ，設(shè)定參數(shù)a=0.99，r=0.0008。因?yàn)槊恳淮蔚鷷r(shí)對(duì)μ值進(jìn)行修正時(shí)都是利用與誤差值的函數(shù)關(guān)系來(lái)進(jìn)行修正的，但是在修改誤差因子時(shí)，仍在初始時(shí)刻有較小的噪聲干擾，導(dǎo)致收斂性能不高。因此需要改變誤差因子ee的函數(shù)模型進(jìn)而去改變信號(hào)初始收斂時(shí)刻的收斂性能。

1.2.2 改進(jìn)誤差因子ee

論文參考了Sigmoid函數(shù)，對(duì)誤差函數(shù)的方值進(jìn)行修改，其定義式為：

然后將上述誤差因子代入之后再進(jìn)行變換得到改進(jìn)后的誤差函數(shù)，具體算法改進(jìn)函數(shù)為：

根據(jù)圖2改進(jìn)算法原理圖，通過(guò)exp指數(shù)函數(shù)和誤差函數(shù)的非線性關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，再通過(guò)error(n)修改每一次ee值從而對(duì)μ值進(jìn)行修正達(dá)到預(yù)期的結(jié)果。

圖2 LMS改進(jìn)算法原理圖

2 實(shí)驗(yàn)與仿真

為了驗(yàn)證改進(jìn)變步長(zhǎng)LΜS算法的濾波去噪的效果，采用了ΜATLAB軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，將不同條件下的去除噪聲效果進(jìn)行比較并得出相關(guān)結(jié)論。

圖3里面第一幅圖展示的是研究所構(gòu)造的初始正弦信號(hào)模型，第二幅圖中是構(gòu)造的隨機(jī)高斯白噪聲信號(hào)波形，第三幅圖展示的是將高斯白噪聲加到信號(hào)后的帶噪聲信號(hào)波形，并將其信噪比設(shè)置為10。

圖3 原始信號(hào)輸入信號(hào)

2.1 不同算法收斂過(guò)程比較

圖4中的第一幅圖仿真所得到的是常規(guī)LΜS算法濾波去噪過(guò)程中噪聲函數(shù)收斂過(guò)程，第二幅圖是變步長(zhǎng)LΜS算法所得到的噪聲函數(shù)收斂過(guò)程圖，第三幅是改進(jìn)之后的變步長(zhǎng)LΜS算法得到噪聲函數(shù)收斂過(guò)程，將三個(gè)結(jié)果進(jìn)行了比較可以知道：變步長(zhǎng)LΜS算法所得到的結(jié)果雖然加快了去噪濾波效果和收斂速度，但在初始時(shí)刻仍存在有一定的噪聲干擾，而改進(jìn)之后的LΜS算法的初始時(shí)間段的收斂速度明顯優(yōu)化了很多，濾波去噪效果也提高了，信號(hào)波形也相對(duì)更為平穩(wěn)。

圖4 算法的收斂過(guò)程

2.2 不同信噪比下收斂速度的比較

圖5(a)表示信噪比為10時(shí)不同LΜS算法中噪聲信號(hào)的收斂過(guò)程，圖5（b）表示信噪比為5時(shí)的LΜS算法的收斂過(guò)程，由圖可以看出信噪比減少之后，即噪聲占比增大后，變步長(zhǎng)的LΜS算法的收斂速度明顯更優(yōu)于其他兩種方法且穩(wěn)定性并沒(méi)有下降的趨勢(shì)，這也驗(yàn)證了變步長(zhǎng)LΜS算法的收斂速度會(huì)隨著噪聲的增大而下降，而改進(jìn)之后的變步長(zhǎng)LΜS算法去噪性能并沒(méi)有因此而減小，收斂速度也沒(méi)有下降，信號(hào)波形也依舊平穩(wěn)。這也是改進(jìn)算法的其中一個(gè)優(yōu)勢(shì)。

圖5 在不同信噪比下三種算法的比較

2.3 誤差函數(shù)比較

圖6中將變步長(zhǎng)中采用的誤差因子與改進(jìn)后的誤差因子進(jìn)行了對(duì)比，從圖4中可以很明顯的看出，變步長(zhǎng)中所采用的誤差函數(shù)的幅度區(qū)間比較大，所以得到的結(jié)果跳變性也比較大，通過(guò)不斷迭代之后所得到的輸出函數(shù)需要的時(shí)間也較為長(zhǎng)。改進(jìn)之后的誤差函數(shù)跳變性明顯要小很多，大大減少了收斂所需要的時(shí)間，這也是改進(jìn)算法在數(shù)學(xué)理論上的優(yōu)化之處。

圖6 誤差函數(shù)

2.4 LMS改進(jìn)算法性能比較

圖7 三種算法性能比較

表1 三種方法的均方誤差性能比較

通過(guò)采集三種算法下的數(shù)據(jù)并分別計(jì)算其均方值，再進(jìn)行對(duì)比之后，可以發(fā)現(xiàn)，相同信噪比條件下，常規(guī)的LΜS算法的誤差均方值是相對(duì)較大的，而變步長(zhǎng)算法的均方值相對(duì)之前顯著減少很多，改進(jìn)LΜS算法的均方誤差值最小。當(dāng)信噪比減小之后，變步長(zhǎng)算法的均方誤差值變化較大，說(shuō)明其收斂速度受噪聲影響大，相比之下，改進(jìn)LΜS算法的誤差均方值變化較小，驗(yàn)證了改進(jìn)后的LΜS算法的噪聲屏蔽性能和收斂性能更佳。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)比較三種LΜS算法的誤差性能和濾波去噪后的信號(hào)波形，可以得出：定步長(zhǎng)算法的初始噪聲干擾比較大，但是伴隨著時(shí)間與迭代次數(shù)的增加，噪聲干擾會(huì)逐漸減少，信號(hào)會(huì)慢慢趨于平穩(wěn)，但是收斂的速度非常慢，需要迭代次數(shù)多；變步長(zhǎng)因子算法改進(jìn)了收斂慢的缺點(diǎn)，使得算法收斂性提高，但是仍存在一些缺陷，觀察可知道初始噪聲雖然比較小，但依舊存在，其初始收斂速度也有待提高，除此之外，收斂速度會(huì)隨著噪聲的增大而減小；改進(jìn)步長(zhǎng)因子算法消除了初始時(shí)刻存在較小噪聲的問(wèn)題，且收斂速度不會(huì)隨噪聲的增加而改變，整體的收斂穩(wěn)定性也相對(duì)得到了很大的提高。仿真結(jié)果表明，提出的改進(jìn)LΜS算法去噪性能較前面兩種算法有更快的收斂速度、更小的穩(wěn)態(tài)誤差與更強(qiáng)的抗干擾能力。