整體把握，引導學生思維向更深處漫溯
——由教學一道“倍量關系”題想到的

江蘇睢寧縣雙溝鎮中心小學（221212）歐慧敏

“倍量關系”問題在小學數學中高年級的練習中經常出現。雖然它的結構不算復雜，思考難度也不是很大，但是面對不同的問題描述時，學生卻難以順利地進行解答，甚至很多學生覺得解決這類問題極其困難，無從下手。因此，要想學生更好地理解“倍量關系”問題，積累相應的數學活動經驗，構建解決這類問題的數學模型，教師就要引導學生學習整體把握問題的方法，形成有效的整體感知，從而讓思考更有針對性，讓問題研究方向更明確，最終解決問題，使學生的數學思維向更深處漫溯。

教學過程

多媒體出示題目：如果把3杯果汁倒入一個玻璃壺中，連壺一起稱重是580克；如果把5杯果汁倒入一個玻璃壺中，連壺一起稱重是820克。問：這個玻璃壺重多少克？一杯果汁有多少克？

（題目一出示，課堂頓時沸騰起來）

生1：老師，這道題是不是出錯了，一會兒果汁，一會兒玻璃壺的，兩個問題好解答嗎？

生2：這道題中有兩個不同的問題，還真是不好解決啊！

……

（教師沒有應答，而是采取觀望的態度。課堂頓時安靜下來，有的學生與同伴交流，有的學生皺眉沉思，有的學生在本子上寫寫畫畫……學生都在積極地尋找解決問題的方法）

師：老師發現有部分同學在畫圖思考，你們的研究有突破嗎？

生3：我也試著畫圖，但是感覺難以畫清楚，因為既要畫玻璃壺，又要畫果汁。

師：是個難題啊！大家一起來開動腦筋，想辦法克服這個困難。

（學生再次進行思考和討論，這次畫圖的學生明顯增多）

生4：我們小組用一個長方形代表玻璃壺，這樣就可以往里面倒果汁了。（出示右圖）倒入3杯果汁，就在長方形內畫出相同的3個小長方形；倒入5杯果汁，就在長方形內畫出相同的5個小長方形。不過，只能畫出圖來，還是沒有找到問題的解決方法。

生5：我們小組也是采取畫圖的方法，不過和你們畫的圖不一樣。（出示右圖）我們先把玻璃壺畫成一個圓，然后在它的右邊畫出3個相同的長方形；再同樣畫一個玻璃壺，在它的右邊畫出5個相同的長方形。這時我們發現玻璃壺是一樣的，它在每一次的稱重中都是固定不變的。第一次倒3杯果汁，總重量是580克；第二次倒5杯果汁，總重量是820克。如果把玻璃壺和3杯果汁的部分都去掉，第二次就多出2杯果汁，而重量也就是多出的部分，即820-580=240（克），這240克不就是2杯果汁的重量嗎？這樣一杯果汁就有240÷2=120（克）。

生6：我有點明白了。就是把前后兩次相同的玻璃壺、3杯果汁看成同樣多的部分，那第二次多出的2杯果汁就對應著原來的重量差，即820-580=240（克），那么一杯果汁就是240÷2=120（克）。

生7：從圖中可知，就是把相同的部分去掉，多出來的2杯果汁就是總重量的差，即240克，那么一杯果汁就是120克。這還真奇妙！通過畫圖，問題解決起來就容易多了。

師：通過分析圖，很容易看出其中的數量關系，所以我們要多學著用畫圖的策略解決問題。其實，第一位同學的畫圖也是可以的，只不過理解起來有難度，大家再想想就會有新的思路了。

生8：是的！第一位同學畫的圖可以先想出來再分析，即580克=玻璃壺+3杯果汁，820克=玻璃壺+5杯果汁，從中就能發現規律了。

生9：你的分析和語言表達非常好。我感覺到用文字來思考也很方便。玻璃壺+3杯果汁=580（克），玻璃壺+5杯果汁=820（克），這樣就會發現820-580=240（克），實際上就是2杯果汁的重量，即一杯果汁的重量是120克。

……

師：今天大家研究問題很積極，思考也很有見地。那么，你們有些什么收獲？

生10：我感覺畫出一個合適的示意圖，對研究問題很有幫助。

生11：將畫圖與文字表達結合起來，也會讓問題研究容易些。

師：不錯！畫圖雖然是很好的解決問題的策略，但我們還得把它與數量關系對應起來，這樣研究問題的效率會大大提高哦！

……

實踐反思

從上述教學案例可以看出，教師給予學生探究的自由與時空，他們可以充分地發揮自己的聰明才智，運用已有的知識經驗去分析問題、解決問題，靈動地展示自己的學習個性。同樣，這樣的學習歷程也是學生自我判斷、自我反思的過程，對學生學習能力的發展、數學素養的提升大有裨益，也是極具深遠意義的。

1.相信學生能行

現代教育學和心理學研究表明：信任是深度交往的前提。同理，教師相信學生能行，則是學生學習的動力之源，更是他們樹立美好愿景的力量之源。

基于此，在“倍量關系”問題教學中，教師始終把學生置于探究的最前沿，引導他們嘗試、探討和質疑，使他們不斷迸發思維的火花，展現自己的聰明才智。教師則退居“二線”，在必要的時候給予學生指導與幫助，從而保證學生探究的方向不發生偏移，使學生的注意力和興趣始終聚焦于問題的研究之中。

回顧整個教學過程，出現多次師生對話，從中不難看出，教師真正把問題探究的主動權交給了學生，并給予學生充分的信任。如“老師發現有部分同學在畫圖思考，你們的研究有突破嗎”，這是教師的第一次引導，目的非常明確，就是引導學生把注意力集中到畫圖策略的運用上，避免學生空想、胡亂猜測等無目的學習行為發生，從而提高教學的有效性，為打造高效課堂服務。又如，“其實，第一位同學的畫圖也是可以的，只不過理解起來有難度，大家再想想就會有新的思路了”，教師提示學生研究問題的方法有很多，雖然方法有差異，但不是一無是處的，可能不太認可的方法反而閃現著智慧的光芒。正因為教師的肯定和認可，學生的思維不斷發生碰撞，想到了將圖意用等量關系式表達出來，這樣的表示更加凸顯問題的本質，能夠提高學生的學習效率，也讓他們的學習個性得到充分彰顯。也許，這就是信任的魅力所在，也是信任的力量所在。

2.鼓勵特立獨行

特立獨行不是指學習的另類，而是學習個性的彰顯。因此，在組織學生探究時，教師要鼓勵學生大膽思考，從不同的方向、不同的角度去分析與解決問題，實現學習的突破。首先，營造寬松自由的氛圍，讓質疑成為點燃思維的導火索。課堂上，教師沒有把學生的學習活動局限在一個范圍內，而是讓他們盡其所思、想其所想，助推學生的思維發生碰撞，激發學生的靈感。于是，就有學生大膽質疑：“老師，這道題是不是出錯了，一會兒果汁，一會兒玻璃壺的，兩個問題好解答嗎？”這時，就會有更多的學生敢于發表自己的觀點，如“這道題中有兩個不同的問題，還真是不好解決啊”等。質疑和困惑有時并不是學習的真正難點，學習的真正難點是沒有思路，沒有點燃思維的星星之火，而質疑恰好是點燃星星之火的火種。其次，創設適宜的探究情境，促使學生迸發出思維的火花。如上述教學中，學生產生疑惑，這是最需要點撥的時候。教師根據學生的表現，問道：“老師發現有部分同學在畫圖思考，你們的研究有突破嗎？”這看似是對學生學習進展的詢問，實質上是給予學生更多的啟迪，讓他們意識到畫圖策略是一種不錯的選擇，如此才有了后續教學中的那份精彩與絢麗。

當然，這期間并非一帆風順的，有些學生還是不知從何處下手解題。如有學生發出這樣的感慨：“我也試著畫圖，但是感覺難以畫清楚，因為既要畫玻璃壺，又要畫果汁。”這樣教學既讓學生意識到用畫圖策略解決問題并非萬能的，甚至效果是不明顯的，又能激發學生的探究意識：“老師都認可的畫圖策略，為什么你會這樣說呢？我偏不信這個邪，我要通過畫圖好好地研究這道題。”也許，這就是學生繼續畫圖思考、繼續進行小組交流的動力所在吧！

3.不斷引導反思

反思對于學生的數學學習大有裨益，正因為學生對問題不斷反思，才會從中獲得啟發，找到問題解決的關鍵，迸發出研究、分析問題的靈感。在不同的思維碰撞中，學生對畫圖策略的運用會更加熟練，會逐步掌握解決問題的要領。如課堂上第一批學生呈現的示意圖，圖意清晰，給人一目了然的感覺，盡管他們難以清楚地闡述其中蘊含的數量關系，但對于其他學生的思考有很大的促進作用。緊接著，第二批學生呈現示意圖，他們不僅改變了原先的圖示，而且對各種數量關系的表述也更加清晰、有條理，他們對圖示的解讀就成為解決問題的關鍵。如“這時我們發現玻璃壺是一樣的，它在每一次的稱重中都是固定不變的……”這樣的解讀，不僅是打開思維困局的“金鑰匙”，更是點燃思維的星星之火。因此，我們看到了可喜的一幕：學生不僅自己能把這道“倍量關系”題解讀得非常清晰，而且可以給其他學生的學習提供思維指引，從而出現了更多精辟的分析，如“從圖中可知，就是把相同的部分去掉，多出來的2杯果汁就是總重量的差，即240克，那么一杯果汁就是120克”等。不難看出，引領學生對一些解決問題的關鍵之處進行反思，能夠收獲不一樣的精彩。

4.鼓勵總結提煉

古語云“學而不思則罔”，這說明了學生的數學學習需要思維做支撐。這樣學生才能在思考中理解、在理解中內化，并在反思中明晰數學知識的本質，實現學習的突破，使數學學習愈發靈動、富有生機。因此，在數學課堂中，教師不僅要教授解決問題的基本方法與策略，還要重視問題探究過程中的思維啟發，引導學生深入理解其中的數學思想方法，挖掘學生的潛能。同時，教師還要幫助學生積累相關的數學活動經驗，為他們的持續學習、探究提供動力支持。

（1）鼓勵反思，舉一反三

上述教學，教師引導學生用畫圖策略解讀與分析問題，并在學生的思考中逐步滲透數學思想方法，為學生數學素養的提升提供了有意義的“養料”。同時，教師還引導學生進行必要的學習梳理，以此加速學生的學習進程，使學生的數學學習更具智慧。如在圖示分析與研究的基礎上，教師鼓勵學生進行深入探究，拓展學生的學習視角，使學生習得了更多的數學知識。有學生就提出“我感覺到用文字來思考也很方便：玻璃壺+3杯果汁=580（克），玻璃壺+5杯果汁=820（克），這樣就會發現820-580=240（克），實際上就是2杯果汁的重量，即一杯果汁的重量是120克”“將畫圖與文字表達結合起來，也會讓問題研究容易些”等思考。這樣通過反思，學生學會舉一反三，完善了自己的認知。

（2）引導提煉，總結規律

數學課堂中，教師既要重視對學生反思的引導，使學生完善自己的知識體系，又要教會學生總結提煉的方法，幫助學生掌握規律和積累數學活動經驗。如上述教學，教師指導學生比較不同的圖示，引發學生更為深入的思考，并組織學生進行辯論，使學生對“倍量關系”問題的本質愈發明晰。通過對學習過程進行反思，學生明白解決“倍量關系”問題的本質就是把握住變量和不變量：首先剔除不變量，明確前后數量的變化是由變量引起的；其次，梳理總結其中的規律，找出問題解決的關鍵；再次，形成規律和有效的數學思維方式，使學生的數學學習更理性，充溢著思考的活力。

總之，教師要從整體上布局，善于用整體的觀點組織和設計教學活動，努力讓每一個學生成為知識的探究者、問題的研究者，使他們積極投身于數學探究之中。同時，教師在教學中要因勢利導，切實做好學生學習的引領者，適時啟發他們探尋現象背后的奧秘，引導他們進行更加深入的思考，使他們的數學學習更有靈性、更富智慧。