運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的案例研究

王錦熙

(廣東省珠海市北京師范大學(xué)(珠海)附屬高級(jí)中學(xué) 519000)

2017年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2020年修訂)提出在高中階段，要在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算這六方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).如何在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中幫助學(xué)生提升這些方面的學(xué)科核心素養(yǎng)，是廣大高中數(shù)學(xué)教師一直面臨的問(wèn)題，也是一直在積極思索、期待解決的問(wèn)題.教師引領(lǐng)學(xué)生有效開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，通過(guò)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作、利用信息技術(shù)開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以提升高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效果，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提升數(shù)學(xué)抽象能力

學(xué)生剛步入高中，就要進(jìn)入函數(shù)部分的學(xué)習(xí)，而對(duì)于函數(shù)概念和函數(shù)性質(zhì)的理解，許多學(xué)生都會(huì)遇到不同程度的困難.這其實(shí)就是學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力還需要提升.數(shù)學(xué)抽象能力的提升沒(méi)有一步到位的方法，我們可以利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)抽象思維的能力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念和函數(shù)性質(zhì)的理解和掌握.

學(xué)生在學(xué)習(xí)雙曲線的時(shí)候會(huì)感覺(jué)到抽象，學(xué)習(xí)過(guò)程中有些吃力.教師可以借助動(dòng)手操作的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手畫(huà)出雙曲線，加深對(duì)雙曲線概念的理解.可以這樣設(shè)計(jì)該數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的具體操作步驟：

準(zhǔn)備好細(xì)繩、鐵環(huán)、筆、白紙，同桌的兩位同學(xué)相互配合.

(1)準(zhǔn)備一長(zhǎng)一短兩根細(xì)繩，將兩繩其中一端打結(jié)；并將兩根細(xì)繩均穿入鐵環(huán)；

(2)在紙上取兩定點(diǎn)F1、F2，并將兩繩的另一端點(diǎn)分別固定在這兩點(diǎn)；

(3)把筆尖放在鐵環(huán)處，拉緊細(xì)繩，緩緩移動(dòng)筆尖，隨著兩繩拉開(kāi)或閉攏畫(huà)出一條軌跡；

(4)交換兩繩端點(diǎn)的位置，依照上述步驟畫(huà)出另一條軌跡.

學(xué)生在移動(dòng)筆尖，親自動(dòng)手畫(huà)出雙曲線的過(guò)程中體會(huì)雙曲線的定義.教師還可以指導(dǎo)學(xué)生移動(dòng)F1、F2的位置，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)畫(huà)出相應(yīng)的軌跡，體會(huì)定義中0<2a<|F1F2|這個(gè)條件的限制.

2 運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提升邏輯推理的能力

通過(guò)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，可以提升學(xué)生的邏輯推理能力，掌握邏輯推理的形式和方法，可以有邏輯有條理地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.在教學(xué)中，可以通過(guò)具體的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，由特殊到一般，讓學(xué)生思考、總結(jié)出一般化的邏輯規(guī)律.

在研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時(shí)，從函數(shù)圖象的角度出發(fā)，討論參數(shù)變化時(shí)對(duì)函圖象的影響，探究圖象變換的實(shí)質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律.這里以探究參數(shù)ω(ω>0)對(duì)y=sin(ωx)的圖象的影響為例進(jìn)行說(shuō)明.

(1)當(dāng)ω=2時(shí)，探究y=sinx圖象和y=sin2x圖象間的關(guān)系.

問(wèn)題1：從整體上看，y=sinx與y=sin2x圖象有什么區(qū)別和聯(lián)系？

根據(jù)函數(shù)圖象，充分考慮問(wèn)題的難易梯度，逐步引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究和思考，通過(guò)預(yù)設(shè)的問(wèn)題激發(fā)學(xué)生積極思考，提升學(xué)生的邏輯思維能力.利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra可以動(dòng)態(tài)分析任意點(diǎn)的變化規(guī)律，進(jìn)而對(duì)所有點(diǎn)進(jìn)行分析，提升學(xué)生對(duì)三角函數(shù)伸縮變換的理解.通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行具體點(diǎn)的分析后，再進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明，從特殊到一般，提升學(xué)生的邏輯推理能力.

3 運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提升直觀想象能力

直觀想象能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中一直在慢慢培養(yǎng)的能力.高中學(xué)生需要掌握利用幾何圖形刻畫(huà)問(wèn)題，利用幾何圖形來(lái)幫助解決問(wèn)題.學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)分析、解決問(wèn)題，這時(shí)候就需要教師和學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，畫(huà)出幾何圖形，將抽象問(wèn)題直觀化.

4 運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提升數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)建模是指學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中能夠發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，用數(shù)學(xué)角度去思考和分析問(wèn)題，并把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題表達(dá)為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的方法去解決問(wèn)題.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力？教師帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，通過(guò)完整的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，讓學(xué)生感知發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、建立和求解模型、檢驗(yàn)和改進(jìn)模型，分析和解決問(wèn)題.

這里以生活中的非常常見(jiàn)的實(shí)例來(lái)展開(kāi)數(shù)學(xué)建模的教學(xué).例如，某位教師通過(guò)在網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)進(jìn)行手機(jī)品牌和性能的對(duì)比之后，計(jì)劃購(gòu)買某品牌價(jià)格為2980元的一款手機(jī).如果選擇某銀行信用卡分期付款，等額本息還款方式，按照12期分期還款，每期月利率為0.6%，也可以選擇一次性付款和利用信用卡分期付款，請(qǐng)幫忙給該教師合理的建議.

要解決上述問(wèn)題，首先教師需要引導(dǎo)學(xué)生提前了解何為等額本息還款.第二步，2980元按照12期分期還款，每期月利率為0.6%，那么每月利息為2980×0.6%=17.88元，每月需還本金2980/12=248.33元，每月需還款金額為17.88+248.33=266.21元.12期總共還款金額為266.21×12=3194.52元.第三步，結(jié)合計(jì)算結(jié)果，如果近期經(jīng)濟(jì)狀況比較寬裕，推薦一次性付款方式，不需要額外支出利息214.52元.如果近期經(jīng)濟(jì)狀況緊張，推薦信用卡分期付款方式，可以減輕短期的資金壓力.

5 運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提升數(shù)據(jù)分析能力

數(shù)據(jù)分析的能力就是要能夠在現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)和生活中收集和整理數(shù)據(jù)，并加以理解，利用數(shù)學(xué)方法分析處理數(shù)據(jù)，得到相關(guān)結(jié)論，最終運(yùn)用到生產(chǎn)和生活中去.數(shù)據(jù)分析能力是現(xiàn)在大數(shù)據(jù)時(shí)代的重要能力，也是科學(xué)研究、科學(xué)技術(shù)、工程建設(shè)新等生產(chǎn)和生活各個(gè)方面都可能需要的能力.2017年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把數(shù)據(jù)分析作為高中數(shù)學(xué)六大學(xué)科核心素養(yǎng)之一，也充分說(shuō)明了數(shù)據(jù)分析能力培養(yǎng)的重要性.如何在教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力？這里介紹一個(gè)利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提升數(shù)據(jù)分析能力的案例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明.

在學(xué)習(xí)《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》這部分知識(shí)時(shí)，教師可以好好利用這個(gè)模塊來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，特別是帶領(lǐng)學(xué)生利用身邊的學(xué)習(xí)和生活中的實(shí)例進(jìn)行數(shù)據(jù)分析處理.例如，在大多數(shù)人的觀念中，都有一個(gè)看法就是一般數(shù)學(xué)成績(jī)好的學(xué)生，物理也不錯(cuò).那么事實(shí)上，這個(gè)看法對(duì)不對(duì)呢？一個(gè)高中學(xué)生的物理成績(jī)多大程度上可以由數(shù)學(xué)成績(jī)解釋呢？第一步，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生收集和整理某次考試20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī).得到如下表的數(shù)據(jù).

第二步，利用MicrosoftOffice的Excel表格畫(huà)出散點(diǎn)圖，見(jiàn)左下圖.從圖中可以看出學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)近似線性相關(guān).

第三步，添加趨勢(shì)線，選擇線性趨勢(shì)線，并勾選顯示公式和顯示R平方值，得到右上圖.從圖中可以看出，并求得物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的線性回歸方程為y=0.8822x-29.181，物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)正相關(guān)，數(shù)學(xué)成績(jī)提高一分，物理成績(jī)可能提高0.8822分.物理成績(jī)大約70.56%可以由數(shù)學(xué)成績(jī)解釋.散點(diǎn)圖中有一個(gè)點(diǎn)(109,45)離得較遠(yuǎn)，通過(guò)查驗(yàn)，數(shù)據(jù)并沒(méi)有錯(cuò)誤.出現(xiàn)這種情況的原因可能是該次考試的偶然情況，也可能是該學(xué)生雖然數(shù)學(xué)掌握較好，但在物理學(xué)習(xí)上有待提高.

在實(shí)際教學(xué)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師需要充分挖掘教材，有效利用學(xué)生學(xué)習(xí)和生活中的實(shí)例，有效開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué).通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，改進(jìn)課堂教學(xué)效果，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力學(xué)科核心素養(yǎng).