基于Vine Copula的機(jī)器人運(yùn)動精度可靠性分析*

劉春秋，周金宇，莊百亮，丁 力

（1.江蘇理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，常州 213001；2.金陵科技學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，南京 211169；3.機(jī)械科學(xué)研究總院江蘇分院有限公司，常州 213001)

0 引言

工業(yè)生產(chǎn)中，機(jī)器人受自身和使用環(huán)境影響，隨著時間的推移絕對定位精度逐漸下降。尤其對于高精度機(jī)器人，精度的下降無疑會對正常作業(yè)和生產(chǎn)造成不利影響。機(jī)器人運(yùn)動精度退化的主要表現(xiàn)是末端執(zhí)行器的實(shí)際輸出位姿在理想輸出附近波動，且造成精度退化的原因多具有不確定性，如操作臂的桿件變形、關(guān)節(jié)磨損、制造誤差和裝配間隙等。機(jī)器人運(yùn)動精度可靠性研究，就是衡量誤差對運(yùn)動精度的影響程度，用概率的方法分析機(jī)械手在指定公差范圍內(nèi)到達(dá)指定位置或?qū)崿F(xiàn)預(yù)期運(yùn)動軌跡的概率。

機(jī)器人運(yùn)動精度一般分為單一點(diǎn)精度和軌跡精度，軌跡精度又可稱為區(qū)間運(yùn)動精度，它是綜合評價機(jī)器人一段時間軌跡上的運(yùn)動輸出是否滿足預(yù)期的一種方式。早在20世紀(jì)90年代，Bhatti[1]就開展了工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動相關(guān)概率建模并提出了機(jī)器人運(yùn)動精度可靠性概念。隨著機(jī)器人工業(yè)化普及和精度要求的提高，此問題得到重視和研究。對于機(jī)器人點(diǎn)精度可靠性分析，廣大學(xué)者引入傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，如一階可靠度方法[2]，得到了較為理想的計算精度。對于機(jī)器人區(qū)間運(yùn)動精度的可靠性分析，只是在近些年才有所發(fā)展。目前區(qū)間（時變）可靠性分析法主要有極值法、首次穿越法、聯(lián)合概率方法以及包絡(luò)法。對于極值法，其原理是通過確定誤差函數(shù)的極值分布來估計區(qū)間可靠度。如MAHESH[3]將機(jī)器人軌跡離散為若干個點(diǎn)，利用最大熵原理推導(dǎo)機(jī)器人離散點(diǎn)的誤差極值分布，并以串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型計算機(jī)器人目標(biāo)軌跡的運(yùn)動可靠度。首次穿越理論是以運(yùn)動誤差第一次跨越誤差閾值的概率來估計區(qū)間失效概率。如Zhang[4]針對平面函數(shù)生成機(jī)構(gòu)提出了均值跨越率法，推導(dǎo)了上下跨越率公式，并將一次二階矩（FOSM）法推廣到時變可靠性分析中，此方法對于服從正態(tài)分布的小方差維數(shù)變量是準(zhǔn)確的。對于平面軌跡機(jī)構(gòu)的時變可靠性分析，陳放提出了聯(lián)合概率方法，文中認(rèn)為機(jī)構(gòu)區(qū)間運(yùn)動精度可靠度是區(qū)間內(nèi)各離散點(diǎn)處運(yùn)動誤差落在誤差限范圍內(nèi)的綜合效應(yīng)[5]，作者針對正態(tài)分布的誤差，推導(dǎo)了軌跡離散點(diǎn)間的多元正態(tài)累積分布函數(shù)計算公式。由于此方法并未限定軌跡離散點(diǎn)的數(shù)量，故在計算精度上需進(jìn)行預(yù)匹配。此外，為了提高時變可靠性分析的準(zhǔn)確性，Du和Zhang[6，7]等提出了基于包絡(luò)思想的時變可靠性分析方法，論文基于包絡(luò)原理計算并篩選出時間區(qū)間上的最易失效點(diǎn)，通過建立失效點(diǎn)間的多變量正態(tài)分布累積分布函數(shù)，計算區(qū)間失效概率。文中考慮了平面連桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)誤差和尺寸誤差，在誤差服從正態(tài)分布的情況下計算精度較高，但在變量非正態(tài)時產(chǎn)生局限性。為解決這一問題，Wang[8]在包絡(luò)思想的基礎(chǔ)上，引入Vine Copula模型來處理更多的誤差分布類型，此方法只需要誤差變量的邊緣分布和Copula連接函數(shù)即可得到多維聯(lián)合概率密度函數(shù)，且在平面連桿機(jī)構(gòu)中驗(yàn)證了此方法的精度。以上研究主要針對平面函數(shù)生成機(jī)構(gòu)，且獲得了較理想的求解效率和精度。但對于空間軌跡機(jī)構(gòu)如機(jī)器人的運(yùn)動精度可靠性分析問題，亟需拓展相關(guān)理論和方法。本文借鑒平面連桿機(jī)構(gòu)時變可靠性研究成果，利用Vine Copula函數(shù)和包絡(luò)法思想展開機(jī)器人軌跡的運(yùn)動可靠性分析，以機(jī)器人末端位置精度為目標(biāo)求解區(qū)間可靠度。

1 機(jī)器人運(yùn)動誤差模型

1.1 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析

機(jī)器人空間位姿建模的方法主要有矩陣法、矢量法和旋量法等。本文選用較為常用的矩陣法，此方法基本原理為：對于具有多個自由度的串聯(lián)機(jī)械手，在其每個連桿上建立關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，并定義變換參數(shù)θi，di，ai-1，αi-1，通過旋轉(zhuǎn)和平移變換理論來獲得用于描述任意相鄰連桿i-1和i 之間變換關(guān)系的矩陣i-1iT。對于改進(jìn)的DH參數(shù)模型，其一般表達(dá)式為

其中，cθi=cosθi，sθi=sinθi，θi為機(jī)器人各關(guān)節(jié)角，di為機(jī)器人相鄰連桿間的偏距，ai-1為各連桿長度，αi-1為描述相鄰關(guān)節(jié)軸相對位置的轉(zhuǎn)角。

通過變換矩陣的組合，可實(shí)現(xiàn)基坐標(biāo)空間到關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間的轉(zhuǎn)化。機(jī)械手末端參考點(diǎn)在基坐標(biāo)空間內(nèi)的位姿矩陣可表示為：

式中，矩陣的前3行前3列為操作臂末端的姿態(tài)矩陣，第4列前3個元素分別為末端參考點(diǎn)在基坐標(biāo)中的位置分量。通過以上運(yùn)動學(xué)分析得到的末端參考點(diǎn)位姿模型，即為機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析的基本方程。

1.2 機(jī)器人運(yùn)動誤差模型建立

影響機(jī)器人運(yùn)動精度的各種不確定因素主要通過機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的映射，到達(dá)機(jī)械臂末端參考點(diǎn)?？紤]機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的變換規(guī)律，選取機(jī)器人D-H參數(shù)作為誤差輸入變量。對于空間中任意相鄰關(guān)節(jié)i-1和i，由矩陣微分變換理論[9]對變換矩陣Ti求微分，可得

基于矩陣變換原理，對式(2)中的0nT求偏導(dǎo)并保留一階微分量，可得：

由式(3)知dTn=TnδTn，代入式(5)并化簡可得機(jī)器人末端誤差矩陣：

式(6)即為機(jī)器人末端位姿誤差矩陣，可簡化為：

式中，p和δ分別表示機(jī)器人末端位置誤差和姿態(tài)誤差，M1和M2分別為位置和姿態(tài)誤差系數(shù)矩陣，[ΔθΔdΔαΔa]T為各關(guān)節(jié)幾何參數(shù)誤差向量。

2 機(jī)器人軌跡運(yùn)動可靠性分析

2.1 軌跡運(yùn)動可靠性模型建立

機(jī)器人軌跡運(yùn)動受結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差等因素影響，實(shí)際軌跡在期望軌跡附近波動，軌跡運(yùn)動可靠性也稱為區(qū)間可靠性，它是一種不同于點(diǎn)（靜態(tài)）可靠性的時變可靠性問題，結(jié)合上一節(jié)內(nèi)容，對于任意時刻t，機(jī)器人的位置運(yùn)動誤差可表示為：

式中，gA(X，t)為實(shí)際運(yùn)動位置，gd(t)為期望運(yùn)動位置，Xi=[θi，di，αi-1，αi-1]T，（i=1，2，…，n)為各關(guān)節(jié)DH參數(shù)向量，n為機(jī)器人關(guān)節(jié)個數(shù)。對于任意時間區(qū)間[t0，te]上的一段軌跡，其軌跡精度可靠度可表示為區(qū)間內(nèi)每個點(diǎn)的位置誤差小于誤差閾值ε的概率，相應(yīng)的可靠度模型可表示為：

其中：Pr｛·｝表示概率，gx(·)表示軌跡坐標(biāo)在X軸上的運(yùn)動誤差函數(shù)。相應(yīng)的失效概率可表示為：

其他坐標(biāo)分量上的可靠度計算模型同理可得。

2.2 區(qū)間可靠度求解方法

在平面連桿機(jī)構(gòu)中，傳統(tǒng)包絡(luò)法被用來計算區(qū)間可靠度，如文獻(xiàn)[6，7]。此方法思路是：首先尋找目標(biāo)時間區(qū)間內(nèi)的包絡(luò)展開點(diǎn)，然后建立展開點(diǎn)之間的多元正態(tài)累積分布函數(shù)來求解區(qū)間可靠度。此方法在輸入變量服從正態(tài)分布的情況下是有效的，其它分布情況下將變得復(fù)雜甚至失效，在機(jī)器人工程實(shí)際中，影響其運(yùn)動精度的誤差分布類型具有不確定性，如在非正態(tài)誤差變量情形，傳統(tǒng)包絡(luò)法將失效。因此本文在包絡(luò)法的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行改進(jìn)，即在求得包絡(luò)函數(shù)展開點(diǎn)之后，引入Vine Copula函數(shù)模型來建立展開點(diǎn)之間的聯(lián)合概率密度函數(shù)。此方法較傳統(tǒng)包絡(luò)法具有以下優(yōu)點(diǎn)：一是此方法不受誤差變量分布類型的影響，對于變量非正態(tài)情形仍然適用；二是Copula函數(shù)描述的秩相關(guān)系數(shù)和尾相關(guān)系數(shù)對比多元正態(tài)累積分布函數(shù)中的積矩相關(guān)系數(shù)，是更為合理的相關(guān)性測度，可以較完整的反應(yīng)變量間的相關(guān)特征，有助于提高求解精度。

3 軌跡運(yùn)動可靠性分析中的Vine Copula模型

3.1 Copula函數(shù)理論

由Sklar定理[11]可知：多維隨機(jī)向量X=(x1，x2，…，xn)的n維聯(lián)合分布F(x1，x2，…，xn)可表示為所有一維邊緣分布函數(shù)ui=Fi(xi)(i=1，…，n)構(gòu)成的多元Copula函數(shù)C(u)，即：

通過上式可導(dǎo)出其概率密度：

式中，fi(·)表示各變量的邊緣概率密度，i=1，2，…，n。

3.2 Vine Copula函數(shù)模型

二元Copula函數(shù)模型簡單，便于計算，但只能處理二維變量間的相關(guān)問題。對于多變量相關(guān)情況，多元Copula函數(shù)雖然也可以使用，但是其求解難度較高，分析較復(fù)雜。所以本文引入由二元Copula函數(shù)組成的Vine Copula模型來建立多維隨機(jī)變量間的聯(lián)合概率分布。在Vine Copula模型中，Vine是一種描述聯(lián)合概率分布的圖形結(jié)構(gòu)，用于締造高維分布中的約束鏈接，使得該模型可以利用輸入變量的邊緣分布和Copula連接函數(shù)來建立多維聯(lián)合分布。此函數(shù)模型將變量邊緣分布和變量間相關(guān)結(jié)構(gòu)分開研究，簡化了多變量概率建模的過程[10]。對于任意維Copula函數(shù)，Vine Copula分解模型都可將其分解為多個二元Copula函數(shù)的集合。下面以3維D-Vine模型為例，圖1為模型樹形圖。T1層列舉了所有輸入變量；T2層為Copula連接層，表示二元Copula函數(shù)將上方數(shù)組兩兩連接；T3層為條件連接層，表示Copula函數(shù)將上方條件數(shù)組連接。其中，T2層受隨機(jī)變量間相關(guān)性的影響最大，越往下，影響越弱，所以由初始層樣本選取第二層的Copula函數(shù)至關(guān)重要。

圖1 3維D-vine模型

對于三維變量情況，假設(shè)隨機(jī)變量向量X=(x1，x2，x3)，經(jīng)圖1輸出的聯(lián)合概率密度函數(shù)可表示為：

式中，c12(·)，c23(·)，c13/2(·)為雙變量Copula密度函數(shù)。c13/2(·)中的條件隨機(jī)變量計算如下：

其中c12(·)，c23(·)，為Copula分布函數(shù)。同樣的，對于n維隨機(jī)向量X=(x1，x2，…，xn)，其聯(lián)合概率密度函數(shù)可表示為：

通過以上分析可知，雙變量Copula函數(shù)是連接隨機(jī)變量和建立聯(lián)合分布模型的關(guān)鍵。下面給出二元Copula函數(shù)的選取方法，本文利用極大似然估計（MLE）法來獲取目標(biāo)Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，并以赤池信息準(zhǔn)則[12]（AIC）作為最優(yōu)Copula函數(shù)的選取標(biāo)準(zhǔn)。對于任意隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)樣本信息，可建立對數(shù)似然函數(shù)：

其中c(·)為Copula密度函數(shù)，α為Copula函數(shù)的參數(shù)。，(i=1，2，…，N)是隨機(jī)變量X1和X2中的一對樣本，N為數(shù)據(jù)樣本容量。其中參數(shù)α可由最大化對數(shù)似然函數(shù)得到：

對所有候選Copula函數(shù)進(jìn)行上述估計，得到各參數(shù)集，以變量樣本對和各候選Copula參數(shù)集作為輸入，代入式(21)得到各Copula函數(shù)的AIC值：

其中k為c(·)中參數(shù)的數(shù)目，通過對比計算結(jié)果，AIC值最小的Copula函數(shù)即為最優(yōu)函數(shù)。

4 基于包絡(luò)思想和Vine Copula模型的機(jī)器人區(qū)間可靠性分析方法

4.1 包絡(luò)函數(shù)展開點(diǎn)求解

包絡(luò)函數(shù)主要思想是將時變可靠性問題轉(zhuǎn)化為時無關(guān)可靠性問題且保持最大的轉(zhuǎn)化精度。本文只需利用包絡(luò)函數(shù)計算得到包絡(luò)展開點(diǎn)即可。假設(shè)機(jī)器人末端位置誤差閾值為ε，通過式(7)和式(8)可得到機(jī)器人位置誤差極限狀態(tài)功能函數(shù)g(X，t)=ε和g(X，t)=-ε，由文獻(xiàn)[6]中的包絡(luò)理論可知正向誤差邊界的包絡(luò)方程G+(X)=0可表示為：

負(fù)向誤差邊界的包絡(luò)方程G-(X)=0可表示為：

上式中，當(dāng)時間t改變時，包絡(luò)函數(shù)將由一系列時間相關(guān)的失效邊界函數(shù)組成，故時間區(qū)間[t0，te]上的區(qū)間可靠度可定義為：

經(jīng)以上分析可知，G(X)=0表示了誤差極限狀態(tài)函數(shù)組成的包絡(luò)面方程，而包絡(luò)函數(shù)呈隱式，求解異常困難。為解決此問題引入包絡(luò)函數(shù)展開點(diǎn)思想，其原理是通過求解包絡(luò)函數(shù)的極值失效點(diǎn)，利用有限個失效狀態(tài)超平面來近似復(fù)雜的包絡(luò)函數(shù)面，實(shí)踐證明這是十分有效的方法。由于包絡(luò)函數(shù)的高非線性，給極值展開點(diǎn)的求解帶來難度，考慮到機(jī)器人誤差變量的標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)小于變量均值，可采用一階泰勒展開的近似方法，在保證較高計算精度的同時也能有效降低計算難度。下面以正向邊界包絡(luò)函數(shù)為例，假設(shè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)DH參數(shù)X服從正態(tài)分布，即X～N(μx，σ2x)。將誤差函數(shù)g(X，t)在輸入變量X的均值μx=｛μx1，ux2，…μXn｝處一階泰勒展開，可得：

其中g(shù)d(t)為機(jī)器人期望運(yùn)動輸出。令σXi(i=1，2，…，n)（其中σX1為變量Xi的標(biāo)準(zhǔn)差），可得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)U空間下的線性時變功能函數(shù)：

式中：

由式(27)可得變換后的功能函數(shù)L(U，t)對應(yīng)的包絡(luò)方程：

由式(32)即可推導(dǎo)出包絡(luò)函數(shù)展開點(diǎn)計算公式：

同理，推導(dǎo)G-(X)=0的展開點(diǎn)計算方程為：

式(36)和式(37)均為時間t的一元方程，求解可得包絡(luò)函數(shù)展開點(diǎn)。至此，區(qū)間失效問題已轉(zhuǎn)化為對目標(biāo)區(qū)間內(nèi)有限個典型失效點(diǎn)（展開點(diǎn)）的聯(lián)合失效求解問題。

4.2 基于包絡(luò)思想和Vine Copula模型的區(qū)間可靠度求解方法

以上分析分別闡明了Vine Copula模型的建立以及包絡(luò)函數(shù)展開點(diǎn)的推導(dǎo)計算過程。下面給出此聯(lián)合方法在機(jī)器人軌跡運(yùn)動可靠性分析中的操作步驟，具體流程如圖2所示。本方法主要分以下三個階段實(shí)現(xiàn)。

圖2 聯(lián)合方法求解區(qū)間可靠度流程圖

第一階段，建立機(jī)器人運(yùn)動誤差函數(shù)模型。通過機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析可得到其運(yùn)動學(xué)方程，由機(jī)器人位姿誤差模型建立如式(8)的運(yùn)動誤差函數(shù)。

第二階段，求解包絡(luò)函數(shù)展開點(diǎn)?；跈C(jī)器人運(yùn)動誤差函數(shù)以及式(20)、式(21)得到位置誤差包絡(luò)方程，由式(32)推導(dǎo)包絡(luò)函數(shù)展開點(diǎn)計算方程，求解式(36)和式(37)即得到包絡(luò)函數(shù)展開點(diǎn)ti。

第三階段，構(gòu)建聯(lián)合概率密度函數(shù)。首先利用抽樣技術(shù)獲取各展開點(diǎn)時刻的運(yùn)動誤差樣本Si；其次對數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行處理，利用核密度估計方法獲取數(shù)據(jù)的邊緣密度函數(shù)fi(Si)和邊緣分布函數(shù)Fi(Si)，基于赤池信息準(zhǔn)則（AIC）和極大似然估計法選取最優(yōu)二元Copula函數(shù)；最后由Vine Copula分解模型建立基于雙變量Copula的多維聯(lián)合概率密度函數(shù)并計算可靠度。

5 算例分析

以KUKA高精度機(jī)器人為例。該機(jī)器人對軌跡位置精度具有較高要求，其本體由6個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成，關(guān)節(jié)DH參數(shù)如表1所示，各關(guān)節(jié)運(yùn)動規(guī)律[13]如下：

關(guān)節(jié)運(yùn)動周期T取10s。假設(shè)機(jī)械臂為剛性桿，以各關(guān)節(jié)參數(shù)取表1中名義值時的末端運(yùn)動位置為期望輸出，以誤差函數(shù)等于給定誤差閾值ε作為極限狀態(tài)功能函數(shù)，求解機(jī)器人末端參考點(diǎn)軌跡的時變可靠度值。

表1 KUKA機(jī)器人DH參數(shù)

5.1 算例1

考慮機(jī)器人制造和裝配誤差，對機(jī)器人關(guān)節(jié)DH參數(shù)a和d引入N(0，0.052)的正態(tài)分布誤差，誤差單位為mm，求解機(jī)器人末端位置在時間區(qū)間[0，2.5]秒上的區(qū)間可靠度值。具體求解步驟如下：

步驟1：首先確定研究目標(biāo)為機(jī)械手末端參考點(diǎn)在X軸坐標(biāo)分量上的運(yùn)動位置精度，設(shè)定誤差閾值ε=0.08mm，利用包絡(luò)法求取目標(biāo)區(qū)間[0，2.5]上的包絡(luò)展開點(diǎn)，得到時間序列t=[0，0.5677，1.5423]。

步驟2：利用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)生成和抽樣技術(shù)，在各失效時刻取1000組運(yùn)動誤差數(shù)據(jù)作為樣本，不同時刻間的誤差樣本散點(diǎn)圖分別如圖3和圖4所示。從圖中可看出誤差變量之間呈不完全線性相關(guān)關(guān)系，需使用匹配的Copula函數(shù)來表征變量間的相關(guān)性特征。

圖3 t1和t3時刻運(yùn)動誤差樣本散點(diǎn)圖

圖4 t2和t3時刻運(yùn)動誤差樣本散點(diǎn)圖

步驟3：利用高斯核密度估計法獲取極值失效點(diǎn)處誤差樣本的邊緣概率密度函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，作為后面選取Copula函數(shù)的依據(jù)。通過赤池信息準(zhǔn)則（AIC）以及MLE方法選取最優(yōu)Copula函數(shù)并估計其相關(guān)參數(shù)，篩選結(jié)果如表2所示。相應(yīng)的二元Copula密度函數(shù)如圖5和圖6所示。由密度函數(shù)圖可見，t-Copula較正態(tài)Copula具有更厚的尾部，更能反映誤差數(shù)據(jù)之間的尾部相關(guān)信息。

圖5 Gaussian Copula密度函數(shù)圖

圖6 t-Copula密度函數(shù)圖

表2 Copula函數(shù)參數(shù)值及AIC值

步驟4：聯(lián)合概率密度函數(shù)的計算。將步驟3得到的參數(shù)代入對應(yīng)的Copula密度函數(shù)解析式，通過式(16)得到三維聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x1，x2，x3)，最終的可靠度可由下式計算：

為了觀察不同誤差閾值對區(qū)間可靠度的影響，改變ε的取值進(jìn)行多次計算，并對比基于多元正態(tài)累積分布函數(shù)求解的傳統(tǒng)包絡(luò)法計算結(jié)果。最后利用蒙特卡洛模擬方法進(jìn)行驗(yàn)證計算，仿真次數(shù)為20萬?？煽慷惹€如圖7所示。從圖中可以看出，采用本論文方法求解得到的區(qū)間可靠度值和蒙特卡洛仿真結(jié)果非常接近，且在計算精度上較傳統(tǒng)包絡(luò)法有顯著提高。

圖7 KUKA機(jī)器人軸向區(qū)間可靠度

5.2 算例2

在算例1的基礎(chǔ)上，只改變機(jī)器人連桿長度和連桿偏距的參數(shù)分布類型，其他條件均不變。具體分布參數(shù)如表3所示，表3中各變量均值分別對應(yīng)表1中各參數(shù)值。

表3 機(jī)器人連桿長度和連桿偏距參數(shù)及其分布

分別計算不同誤差閾值下的區(qū)間可靠度，利用蒙特卡洛模擬20萬次進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如圖8所示。由圖可見，本文方法在計算精度上與蒙特卡洛仿真結(jié)果相一致，證實(shí)了改進(jìn)方法可有效處理機(jī)器人末端位置精度分析中的誤差變量非正態(tài)問題。

圖8 KUKA機(jī)器人軸向區(qū)間可靠度

6 結(jié)語

本文以時變可靠性分析方法——包絡(luò)法為基礎(chǔ)，引入Vine Copula函數(shù)建立機(jī)器人運(yùn)動軌跡失效概率模型。結(jié)合算例，結(jié)論如下：

1）本文利用KUKA機(jī)器人驗(yàn)證了基于包絡(luò)思想的Vine Copula方法在機(jī)器人時變可靠性分析中的可行性，為實(shí)際工程分析提供了理論支持。

2）Vine Copula函數(shù)模型解決了傳統(tǒng)包絡(luò)法在求解機(jī)器人運(yùn)動區(qū)間可靠度時受正態(tài)分布誤差制約的問題，同時展現(xiàn)出較高的求解精度。

3）機(jī)器人運(yùn)動軌跡可靠性在一些高端制造業(yè)生產(chǎn)中 尤為重要，而影響機(jī)器人運(yùn)動軌跡精度的因素往往具有不確定性，本方法可以有效處理誤差變量分布類型多樣和多相關(guān)問題，更貼合實(shí)際工程分析。本文最終給出了機(jī)器人末端軌跡任意軸向的區(qū)間可靠度計算方法，對于機(jī)器人運(yùn)動軌跡的系統(tǒng)可靠度而言，需要考慮多個軸向失效模式之間的聯(lián)合失效相關(guān)問題，可作為下一步研究的重點(diǎn)方向。