穩健協方差矩陣重構波束形成算法

陸家威，童 暉，許偉杰

(1. 中國科學院聲學研究所東海研究站，上海 201815；2. 中國科學院大學，北京 100049)

0 引 言

自適應波束形成的方法具有良好的穩健性，廣泛地應用于雷達、聲吶、探測、通信等領域。當接收數據協方差矩陣以及信號導向向量精確已知時，最小方差無失真(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)波束形成具有理論最優性能。當協方差矩陣中包含目標信號或信號導向向量存在誤差時，MVDR波束形成的性能將嚴重受限。文獻[1]通過引入不確定集的方法，給定真實導向向量與假設導向向量之間的誤差向量的上限。利用目標函數的旋轉不變性以及三角不等式的性質，可將文獻[1]中的不確定集約束方法等價轉換為凸問題，通過推導可知不確定集方法屬于對角加載類方法。

然而實際上，不確定集的約束范圍往往過于保守，即存在冗余度，通過假設誤差向量服從于給定概率密度函數[2]，可將不確定集約束與概率問題相結合。但上述基于不確定集約束的導向向量誤差的改進方法均需要預先設定參數，同時算法的性能取決于參數的設定。針對該問題，文獻[3]中通過推導給出了不確定集參數的合理設置范圍。文獻[4]中利用目標信號子空間與誤差信號子空間的正交性對誤差向量進行估計，并通過shrinkage方法[5]對接收信號協方差矩陣進行估計，該方法無需進行系統參數設定。

文獻[6]通過 Capon譜估計的方法重構干擾加噪聲協方差矩陣，該方法需要對目標信號的來波方向進行假設，并通過低分辨率的方法大致確定干擾信號的來波角度范圍。結合Capon譜重構方法積分區間的稀疏性，文獻[7]通過使用環積分的方法替代Capon譜重構方法中的離散求和，但該算法的計算量相對較大。利用導向向量之間的采樣特性，文獻[8]結合協方差矩陣衰減(Covariance Matrix Taper,CMT)方法對干擾信源協方差矩陣進行重構，但該方法在陣元數較少的情況下性能受限。文獻[9]通過利用接收數據協方差矩陣的特征向量與目標信號導向向量之間的相關性，對信源導向向量進行估計。

本文首先通過Capon譜重構的方法得出重構信源協方差矩陣，然后通過對重構信源協方差矩陣進行特征分解，得出信源導向向量的估計，根據所得信源導向向量，估算出干擾信號的功率。噪聲功率通過對除目標信號以及干擾信源以外的觀測區間進行Capon譜估計獲得，從而得到干擾加噪聲的重構協方差矩陣。最后，結合Capon譜重構中估計所得目標信號導向向量，可得最優加權向量。仿真結果顯示，與其他方法相比較，本文所提算法在來波角度存在誤差，陣元位置存在誤差以及陣元幅度相位存在誤差的情況下，均展現出良好的穩健性和收斂性。

1 信號模型

2 基于協方差矩陣重構的穩健波束形成算法

2.1 信源導向向量重構

為Ci的特征值。，特征值按降序方式排列，vi為與λi對應的特征向量。由子空間性質可知，最大特征值所對應的特征向量包含信源i的主要信息，因此取信源i最大特征值對應的特征向量作為導向向量的估計：

2.2 干擾加噪聲協方差矩陣重構

3 數值仿真與結果分析

本節將第2節所提算法與其他算法做比較，驗證算法的性能。假設陣列為由 10個半波長間距的各向同性陣元組成的直線陣。目標信號的來波方向θs為2°，干擾信號的來波方向分別為θ1= 3 0°，假設干擾信號的干噪比(Interference to Noise Ratio, INR)為30 dB。目標信號的來波角度范圍為[θs- 5°,θs+5°]，兩個干擾信號的來波角度范圍分別為[θ1-5°,θ1+5°]和[θ2-5°,θ2+5°]，對應的離散Capon譜求和中，采樣間隔為1°。

基于不確定集約束的最差性能最優(Worst Case Probability Optimize, WCPO)波束形成[1]，概率約束(Probability constrained, PROC)波束形成[2]，基于shrinkage方法重構協方差矩陣并通過約束優化方法求解誤差向量(Shrinkage Reconstructed Quadratic Constrained, SRQC)波束形成方法[4]，經典Capon譜重構波束形成方法(Capon Reconstructed, CR)[6]以及基于最大相似系數重構導向向量(Correlation Coefficient Matrix Reconstructed, CCMR)波束形成方法[9]將用作與本文所提算法進行比較。在WCPO波束形成中，ε= 0 .3M；在概率約束波束形成(PROC)中，概率p= 0 .95。相似系數重構(CCMR)中，離散求和的角度范圍為Θ1′ =[ - 9 0°,θs-5°]， Θ2′=[θs+ 5°,9 0°]。下列不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比變化仿真實驗中，接收數據的快拍數固定為60；不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數變化仿真實驗中，輸入信噪比固定為 20 dB。下列三組仿真中的曲線分別代表不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線；不同波束形成算法的輸出信干噪比隨數據快拍變化曲線以及不同波束形成算法的算法性能與理論最優值之間的差值隨輸入信噪比變化曲線。所有實驗結果均由200次蒙特卡洛仿真結果取平均所得。

3.1 角度誤差條件下算法性能分析

假設目標信號和干擾信號的來波方向誤差服從[- 4°,4°]均勻分布，即滿足

圖1表示不同波束形成算法的輸信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線，其中快拍數K=60。

圖1 存在波入射角誤差時不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比變化曲線Fig.1 Variations of output SINR with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in the angle of incidence

基于Capon譜重構的方法CR[6]，CCMR[9]以及所提算法性能均優于SRQC[4]，WCPO[1]以及PROC[2]波束形成方法。基于Capon譜重構的方法在低輸入信噪比以及高輸入信噪比的情況下，其算法性能均與理論最優值接近，圖2給出了接收數據快拍數對輸出信干噪比的影響，在來波角度存在誤差的情況下，且數據快拍較少時，所提算法仍能快速收斂。

圖2 存在波入射角誤差時不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數變化曲線Fig.2 Variations of output SINR with snapshots for different beamforming algorithms when there is an error in the angle of incidence

圖3則補充說明了不同算法性能上的差異。本文所提算法對CR[6]和CCMR[9]波束形成方法中離散求和區間進行了改進。基于各信源的波達方向的角度信息，將Capon譜估計的區間冗余度降低，減少空間噪聲對信源協方差矩陣估計的影響。得益于對干擾加噪聲協方差矩陣以及目標信號導向向量的準確估計，所提算法展現出良好的性能。圖1中，proposed表示本文所提算法，optimal表示理論最優值，下同。

圖3 存在波入射角誤差時不同波束形成算法的輸出信干噪比與最優值的差值隨輸入信噪比變化曲線Fig.3 Variations of the deviation of output SINR from the optimal value with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in the angle of incidence

3.2 陣元位置誤差下算法性能分析

假設陣元位置誤差服從[-0.05λ,0.05λ]的均勻分布，其中λ為波長。圖4表示不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線，其中快拍數 K=60。基于 Capon譜估計的波束形成方法CR[6]，CCMR[9]以及所提算法輸出信干噪比幾乎一致，與圖1對應的角度誤差情況相較，算法性能波動增大。

圖4 存在陣元位置誤差時不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比變化曲線Fig.4 Variations of output SINR with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in array positions

圖5為不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數的變化曲線，其中輸入信噪比SNR為20 dB。結果表明，對基于Capon譜重構的波束形成方法而言，快拍數并不會對其算法性能造成嚴重的影響。

圖5 存在陣元位置誤差誤差時不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數變化曲線Fig.5 Variations of output SINR with snapshots for different beamforming algorithms when there is an error in array positions

圖6為不同波束形成算法的輸出信干噪比與理論最優值之間的差值曲線。與CR[6]波束形成方法相比較，所提算法利用Capon譜的空間分布，降低了離散求和的區間冗余度。此外，基于信號子空間的特性，對目標信號導向向量進行估計，避免了CR[6]中約束優化方程的求解過程，降低了運算復雜度。

圖6 存在陣元位置誤差誤差時不同波束形成算法的輸出信干噪比與最優值的差值隨輸入信噪比變化曲線Fig.6 Variations of the deviation of output SINR from the optimal value with input SNR for different beamforming algorithms when there is an error in array positions

3.3 幅相誤差下算法性能分析

考慮基陣陣元之間存在幅相誤差。假設陣元幅度誤差以及相位誤差分別服從正態分布N( 1 , 0.05)和 N ( 1 , 0.25π)。

圖7為不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線，其中快拍數 K=60。在此仿真設置下，所提算法無論是高輸入信噪比或是低輸入信噪比，均表現出良好性能。圖8為不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數變化曲線，其中輸入信噪比SNR為20 dB。圖9為陣元之間存在幅相誤差時不同波束形成算法的輸出信干噪比與最優值的差值隨輸入信噪比變化曲線。從圖9可以看出，當SNR小 于0 dB時，WCPO[1]和PROC[2]波束形成算法優于基Capon譜重構的波束形成方法。基于波達方向的先驗信息，所提算法能夠起到將目標信號分離的作用。

圖7 陣元之間存在幅相誤差時不同波束形成算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比變化曲線Fig.7 Variations of output SINR with input SNR for different beamforming algorithms when there are errors between amplitudes and phases of array elements

圖8 陣元之間存在幅相誤差時不同波束形成算法的輸出信干噪比隨快拍數變化曲線Fig.8 Variations of output SINR with snapshots for different beamforming algorithms when there are errors between amplitudes and phases of array elements

圖9 陣元之間存在幅相誤差時不同波束形成算法的輸出信干噪比與最優值的差值隨輸入信噪比變化曲線Fig.9 Variations of the deviation of output SINR from the optimal value with input SNR for different beamforming algorithms when there are errors between amplitudes and phases of array elements

綜上，在本文設置的各種誤差情況下，Capon譜重構類算法的性能及其收斂性均優于基于不確定集約束的算法(WCPO[1]與 PROC[2])，以及基于Shrinkage方法重構協方差矩陣的波束形成方法。

4 結 論

本文提出了一種基于干擾加噪聲協方差矩陣重構的穩健波束形成算法。該算法首先利用Capon譜重構的方法估計出信源的導向向量，通過所得導向向量計算出信源的功率，噪聲功率由目標信號以及干擾信源以外的觀測區間通過Capon譜估計計算得到，從而得出重構干擾加噪聲協方差矩陣，進而得到最優加權向量。仿真結果表明，在信源來波角度，陣元位置存在誤差以及陣元存在幅相誤差時，所提算法的性能均與理論最優值接近。從輸出信干噪比隨數據快拍的變化曲線中可以看出，算法在快拍數較低時便能快速收斂，證明了算法具備良好的收斂性。