一道習題兩個答案的背后……

王永生

[摘 要]習題是訓練學生思辨力的主陣地，能幫助學生提高數學閱讀能力。教師在指導學生解決問題的過程中，要事前作好規劃和決策，總攬全局，科學籌劃，培養學生的審題能力和分析能力，這樣才能提高學生解決問題的能力。

[關鍵詞]數學;審題;計費;服務;流量;追及;最少

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）02-0021-03

筆者在一篇文章中看到一道題目：

中國電信公司為了拓展5 G網絡業務，特推出兩種優惠方案，具體預案如下表。

當天翼手機用戶每月上網流量最少是多少時，兩種方案收取的費用相等？

學生解答該題時，出現了兩種不同的思路和兩個答案。

一種思路是計算兩種方案保底消費的差價可支付多少超額流量：60-40=20（元），20÷0.2=100（G），100+60=160（G）。通過檢驗對比發現該思路的答案是正確的。

另一種思路則是采用設未知數列方程解應用題的方法，直接設未知數，然后根據題干中兩種方案收取的網費相等作為等量關系來列方程：設每月上網流量最少為x G時兩種方案征收的流量服務費相等，因此，40+（x-60）×0.2=60+（x-200）×0.3，解得x=280。通過檢驗所列方程和所求解，發現居然也是正確的。

為何會出現兩個不同的答案？而且兩個不同的答案居然都正確。對于這道題來說，正確答案只會是其中之一，那么是哪個呢？

一、在對比檢驗中找出多解原因

原文作者引導學生繼續討論，通過方方面面的對比，最后找到了原因：發現未知數x是上網流量，這個流量可能大于200 G，也可能少于200 G，第二種思路是用方程法解，其列式默認流量比200 G多，因為兩邊都減去了保底消費固定流量，所以此處的實際使用流量默認大于200 G。而兩種方案都涉及分段收費，也就是月結算使用流量未超出保底流量時，統一收取定額費用，因此還存在介于兩個保底流量之間的使用量，其中一種方案按照保底消費收費，另一種按照分段計費，所以還應該列出一個流量比200 G少但是比60 G多的方程，即設每月流量最少為x G（60

在這種情況下，即在流量達到160 G時，方案一使用了100 G的超標部分加收的流量費20元，再加上方案一的保底消費40元，共計60元，而這個實用額度160 G在方案二中屬于保底范圍，也就是說160 G還在每月固定流量200 G內，需要繳納的流量費仍屬于保底消費60元，此時在方案二下是一個恒量，與未知數x的大小無關，況且題目問的是“當天翼手機用戶每月上網流量最少是多少G時，兩種方案征收的費用相等”。題中出現了“最少”，這是一個極易被忽略的關鍵詞。因為這個關鍵詞的存在，所以還要在兩個可行答案里做一番篩選，去掉較大的值，也就是280 G，而保留160 G作為最終答案。因此，該題的答案應該是160 G。

此類問題，比過去單一的分段計費問題更加復雜，因為增加了另一種收費方式，兩種收費方式都是分段的，而且分段區間是錯開的，學生很難兼顧到兩種方式的動態變化。實際上，這類題的難點在于，未知數到達某個值時，其中起步價高一些的計費模式處于靜止定額狀態時，另一種模式已經啟動加收程序。如方案二流量在200 G以內費用固定為60元，而將這個60元作為方案一的收費，則會計算出一個新的流量數，此時，二者相等其實是固定方案二的起步價而等待方案一的追平。但是，在兩種方案同時達到60元額度、流量達到160 G后，方案二的費用還要維持60元一段時間，而此時，方案一已經開始持續低速上升，方案二達到200 G保底額度后，才開始高速追趕，最后動態追平方案一的收費。轉換成統計圖如下：

二、類比遷移到“追及問題”的缺陷

之后原文作者又借題發揮，類比遷移到“追及問題”中，把該問題比擬成追及問題：兩名跑步選手本身就拉開了一段距離，快者在前，慢者在后，一開始行進速度快者原地不動，行進速度慢者追上行進速度快者（類比160 G），行進速度快者還是沒動，行進速度慢者繼續往前跑，等行進速度慢者跑了一段時間，到了行進速度快者起程的時間，行進速度快者才開始追趕進速度慢者，經過一段時間（類比280 G），行進速度快者追上了行進速度慢者，再之后行進速度快者和行進速度慢者都在跑，行進速度慢者就永遠追不上行進速度快者了，也就沒有第三次追及了。

筆者認為原文作者的遷移能力和聯想能力非常高超，但是解題思路及決策路線存在瑕疵。

眾所周知，在解決應用題時，首要任務就是審題，將題干中涉及的信息一字一字讀清楚，不漏放任何一個細節和任何一個邏輯關鍵詞。就本題而言，由于原文作者和學生在列方程時本身就審題不到位，忽略了題干中能夠影響和左右解題思路和問題走向的關鍵詞“最少”，這是一個邏輯關聯詞，限定了答案的范圍，但是可惜被無視了。于是原文作者和學生就稀里糊涂得出兩個答案，而且作了一番驗算后，發現兩個答案都是正確的，而且無懈可擊、無法駁倒。他們沒有用發展變化聯系的眼光來看待兩個答案，把它們看成是孤立存在的，從而引發了為什么會有不同但是都正確的答案的疑惑。

實際上，從該題“當用戶每月上網流量最少是多少G時，兩種方案征收的費用相等”中，就可以敏銳判斷出無線流量服務費相等的流量節點至少有兩個，否則邏輯關聯詞“最少”就是廢話。而數學語言的凝練簡潔告訴我們，這種決定問題走向影響解題大勢的邏輯關聯詞是不會輕易出現的，事出必有因，所以當學生求得流量達到160 G時流量費相等，教師就應該敏銳覺察到此時的流量節點超過了方案一的固定流量，而沒有達到方案二的固定流量。也就是說，方案一加收超額流量費后，方案二還是保底消費，也就是方案一的超額收費追平方案二的定額收費，而在前期雙方都未達到節點時，發現方案一的收費無論如何都不可能與方案二的收費相等（40<60），此時就應該推斷出160 G是首次追平的流量節點，那么還存在第二次追平，就是月使用流量超過方案二的固定流量（200 G）后，方案二的收費就會逆勢上漲（因為0.3元>0.2元）。教師引導學生尋求流量費用相等的另外一個流量節點，這個流量節點預判出現在200 G后，再通過比較得出最少的流量節點，而不是在學生誤打誤撞得出答案后討論為什么會有不同但是都正確的答案。這個問題本身就很幼稚，也容易誤導學生，出現“一問兩答”的尷尬局面。

由此可見，原文作者在指導學生解決問題時審題嚴重不過關且敷衍。如果按原文作者的做法，那么在學生獨立解決該問題時，當求出一個流量費用相等的流量節點后就不可能再分析是否有流量費用相等的其他的流量節點，因為根據答案的唯一性，求出一個流量節點就算大功告成。毫無疑問，這不僅會讓學生養成麻痹大意的習慣，還容易制造錯解。

因為意外出現了兩個答案，才引起教師的重視，去深入探究這個問題，但是這種探究其實是沒有必要的，甚至將簡單問題復雜化，這種復雜的雙線變化問題，明顯已經超綱，而且也不符合分段收費教學的真正目標定位。造成這種被動局面的原因是審題不嚴，教師沒有把握好這類題目的關鍵命門。題中說到的“最少”其實已經指明了方向，學生只要對比分析出：方案一收費模式的基礎額度低于方案二的，起步價也低于方案二的，而且增速也低于方案二的。如此一來，在方案一收費模式的增長階段和方案二收費模式的停滯階段，也就是60 G和200 G之間，必有一個交匯點，這個交匯點就是最小值，因為此時方案二是保底收費，只能是方案一去追平方案二的收費，而方案二的收費無法降至與方案一收費相等。

三、折線統計圖的啟用

筆者佩服原文作者豐富的想象力，在確定是否還有其他流量費用相等的流量節點時，腦洞大開地把該問題類比遷移成“追及問題”模型，從而讓學生在直觀的行程問題中類推揣摩，明白除了上面兩個答案，絕無第三個答案的可能。

但是這種遷移類比是要以學生對追及問題爛熟于心為前提的，而教材沒有單設這一內容，教材中只有行程問題中的相遇問題，鮮有提及追及問題，追及問題只是課后的拓展內容。如果學生對“追及問題”本身就一知半解，或者印象模糊，那么也就不可能想象出追及問題的情境。更何況課外教輔中追及問題的變形變式很多，很多編者將追及問題中的追及過程編寫得曲折離奇，其過程復雜多樣，所以筆者認為讓學生通過追及問題來對照理解只有兩個流量費用相等的流量節點還是有困難的。那么如何讓學生明白流量費用相等的流量節點只有這兩個呢？筆者認為折線圖是首選。

觀察分析折線圖可以直觀地發現：表示方案一的折線與表示方案二的折線在160 G和280 G這兩個坐標處匯合。對照縱坐標可以看出，這兩種方案在160 G和280 G時流量費用相等，第一次是60元，第二次高于60元。流量超過280 G后，兩條折線的差距越拉越大，從趨勢上看漸行漸遠，不可能再交匯，所以流量費用相等的流量節點只有兩個。

通過復式折線圖還容易看出流量少于160 G時，方案一的流量費用一直少于方案二的;流量處于160 G和280 G之間時，方案一的流量費用反超方案二的流量費用;流量多于280 G時，方案一的流量費用又處于劣勢，方案二的流量費用逆勢而上。兩種方案費用的對比“反轉再反轉”，所以作為天翼手機用戶，如果每月流量少于160 G或多于280 G，選擇方案一比較劃算，而流量恰在160 G與280 G之間，那么選擇方案二比較劃算，這樣不僅保留原有情境，還讓學生在回顧和起用舊知復式折線統計圖的同時，進一步體驗到復式折線統計圖能反映多組數據對比高低和變化趨勢的特性，逐漸形成分類討論和分段計費思想以及數形結合的思想。

將收費問題轉化成追及問題，似乎只有通過折線統計圖才能展現出來，這種直觀的手段可以很好地揭示出兩個變量的對應關系，但是如果從問題本身的角度出發，這種做法似乎又增加了思考難度，因為學生必須清楚地理解數量關系才能成功繪制出復式折線統計圖。而繪制復式折線統計圖的難點在于學生要相對準確地把握各個量的大致差距以及增長性收費的增長率，也就是折線的斜率，這些都需要學生對數據變化有敏銳的洞察力和判斷力，而如果學生真有這種分析力，那么脫離折線統計圖同樣也能找到正解。

綜上所述，習題是訓練學生思辨力的主陣地，教師在指導學生解決問題的過程中，要事前作好規劃和決策，培養學生的審題能力和分析能力，總攬全局，科學籌劃，這樣才能提高學生對問題的解決能力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 鄭保華.小學數學“問題解決”教學的優化策略[J].數學教學通訊，2021（04）.

[2] 劉春風.優化小學數學解決問題的教學策略[J].基礎教育研究，2019（06）.

[3] 苗培林.小學數學問題解決的優化策略[J].教書育人，2017（28）.

（責編 吳美玲）