壓電材料反平面斷裂問題的邊界元方法研究

劉邦劍 盛冬發(fā)*

（西南林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院,云南 昆明 650224）

1 概述

壓電材料是指在壓力作用時(shí)會在兩端面間出現(xiàn)電壓的晶體材料,這一效應(yīng)被稱為壓電效應(yīng)。而某些壓電材料具有在外電場作用下壓電體產(chǎn)生變形的能力,這被稱為逆壓電效應(yīng)。由于這些特性的存在,可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能之間的相互轉(zhuǎn)換,因此壓電材料被廣泛運(yùn)用于傳感器元件當(dāng)中,例如壓力傳感器、加速度傳感器和聲電傳感器等[1]。然而,壓電材料由于其特性在服役過程中不可避免的受到機(jī)械應(yīng)力以及電應(yīng)力的作用,這會使壓電材料產(chǎn)生缺陷而過早失效。因此,對壓電材料的斷裂問題進(jìn)行分析研究是十分重要的。

壓電材料的斷裂發(fā)生在多場耦合作用下,這為研究帶來了困難,需要優(yōu)異的數(shù)值方法來解決此類問題。邊界元法作為一種在有限元法發(fā)展起來之后一種較為精確有效的方法。以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程,對邊界剖分,化為代數(shù)方程組進(jìn)行求解[2]。邊界元法在一定程度上解決了積分奇異性所帶來的困難,更是對收斂性等形式進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析,對于解決斷裂問題是十分有效的。

因此,利用邊界元法解決壓電材料中的斷裂問題是十分可靠的。本文利用邊界元法,對壓電材料矩形板上的反平面裂紋展開研究分析。提出滿足控制方程以及邊界條件的試函數(shù),根據(jù)壓電材料的基本公式推導(dǎo)出應(yīng)力強(qiáng)度因子（SIFs）的結(jié)果,考慮了尺寸效應(yīng)對結(jié)果的影響。與已有結(jié)果進(jìn)行比對,并進(jìn)行了收斂性分析,證明了結(jié)果的可靠性。

2 邊界元法簡介

對于邊界元法所研究的邊值問題,其控制方程和邊界條件如下所示：

式中,R,R1和R2分別代表了域Ω,邊界Γ1和Γ2的殘差。

設(shè)w 為權(quán)函數(shù),利用高斯公式,關(guān)于殘差R,R1和R2的積分公式如下所示：

對于邊界元法,式(7)可表示為殘差形式：

式中,N為配點(diǎn)數(shù)目。為了獲得精確解,N應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于M。進(jìn)一步,可將邊界元法運(yùn)用于壓電材料的反平面斷裂問題。

3 壓電材料的控制方程與邊界條件

對于壓電材料,彈性- 壓電場耦合下的反平面彈性本構(gòu)方程：

對于反平面剪切斷裂問題,變形與x3方向無關(guān),即?3/?=0,可得用于計(jì)算的平衡方程：

采用邊界元法對壓電材料矩形板上的反平面斷裂問題進(jìn)行研究。如圖1 所示,展示了壓電材料矩形板邊裂紋的示意圖。

圖1 壓電材料矩形板裂紋示意圖

對于矩形板上邊裂紋的邊界條件如下所示：

4 壓電材料邊裂紋算例分析

為了構(gòu)建位移函數(shù),可以采用三角級數(shù)、冪函數(shù)以及樣條函數(shù)等函數(shù)作為試函數(shù)。在邊裂紋以及中心裂紋的情況下,采用冪函數(shù)作為試函數(shù)。為了滿足邊界條件,試函數(shù)可能為位移函數(shù)的實(shí)部或虛部。

壓電材料矩形板邊裂紋：

對于矩形板邊裂紋情況[4],位移函數(shù)為：

將式（15）代入式（11）,利用黎曼- 柯西不等式,可得應(yīng)力分量：

將式（16）轉(zhuǎn)化為矩陣形式,可得：

基于邊界條件和斷裂力學(xué)理論,III 型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子可以表示為：

式中,Kτ和Kγ是應(yīng)力強(qiáng)度因子和應(yīng)變強(qiáng)度因子。Kσ和KD是彈性場應(yīng)力強(qiáng)度因子和壓電場應(yīng)力強(qiáng)度因子。Kε和KE是彈性場應(yīng)變強(qiáng)度因子和壓電場應(yīng)變強(qiáng)度因子。

將式(17)代入式(18)當(dāng)中,可得：

5 結(jié)果展示

據(jù)文獻(xiàn)[5]可知,本文用于計(jì)算壓電材料的參數(shù)如下所示：C44=3.53×1010N/m2,e15=17C/m2,λ11=151×10-10C/Vm。由于實(shí)驗(yàn)及其他客觀條件的限制,通過比較壓電材料與彈性解退化結(jié)果,對壓電材料的反平面斷裂問題進(jìn)行了驗(yàn)證。當(dāng)忽略壓電效應(yīng)時(shí),材料退化為彈性材料。

如圖2 所示,展示了壓電材料矩形板邊裂紋情況下的收斂性分析。圖2(a)表示的是求和項(xiàng)數(shù)與不同裂紋長度下的歸一化應(yīng)力強(qiáng)度因子變化結(jié)果圖。當(dāng)求和項(xiàng)數(shù)的數(shù)目較少時(shí),結(jié)果變化幅度較大,而當(dāng)求和項(xiàng)數(shù)大于15 以后,結(jié)果呈現(xiàn)出了穩(wěn)定性。圖2(b)展示的是配點(diǎn)數(shù)對不同裂紋長度下的歸一化應(yīng)力強(qiáng)度因子影響結(jié)果圖。與求和項(xiàng)數(shù)的規(guī)律一致,結(jié)果的收斂性說明了所采用數(shù)值方法的可靠性。

圖2 邊裂紋情況下的收斂性分析

如圖3 所示,展示了壓電材料邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果圖。在不同的尺寸效應(yīng)下,不同裂紋所對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子不同。圖中散點(diǎn)表示通過應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊[6]計(jì)算彈性場下的結(jié)果,通過對比發(fā)現(xiàn)二者具有一致性,說明了邊界元法對壓電材料反平面斷裂問題的研究是可靠有效的。

圖3 歸一化應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果圖

6 結(jié)論

壓電材料多場耦合下會產(chǎn)生缺陷,有必要對其進(jìn)行研究。邊界元法作為一種優(yōu)異的數(shù)值方法,可以減少此類問題研究的自由度。根據(jù)壓電材料的本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)出了反平面斷裂情況下壓電材料邊裂紋的結(jié)果。邊界法的結(jié)果具有收斂性,說明了該方法的可靠性。與應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊結(jié)果的對比具有一致性,說明了邊界元法對壓電材料的斷裂問題的研究結(jié)果是有效的。尺寸效應(yīng)對應(yīng)力強(qiáng)度因子有明顯的抑制作用,故可以通過增加矩形板尺寸的方法來有效減少壓電材料裂紋能量釋放,從而抑制裂紋擴(kuò)展。