安時積分和擴展卡爾曼濾波的荷電狀態估算

楊偉東　董浩　萬峰

文章編號：1007-2373（2022）01-0015-06

摘要 電池在滿電狀態無法進行混合動力脈沖能力特性測試（Hybrid PulsePower Characteristic，HPPC），導致電池參數在荷電狀態（State of Charge，SOC）值為0.9～1區間無法辨識。針對這一問題，提出了安時積分（Ampere Hour， AH）與擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）綜合估算SOC的方案。首先基于HPPC實驗數據對建立的Thevenin模型進行參數辨識，然后使用新歐洲行駛工況（New European Driving Cycle，NEDC）對AH+EKF綜合估算方案進行了驗證。驗證結果表明采用AH+EKF綜合估算方案大大降低了EKF法在SOC值為0.9～1區間的估算誤差，當只采用EKF法的最大誤差為2.2%，而使用AH+EKF綜合估算方法最大誤差不超過0.9%。該方法提高了SOC估算精度，取得了較為理想的效果。

關 鍵 詞 鋰電池;荷電狀態;安時積分;擴展卡爾曼濾波;HPPC實驗

中圖分類號 TM911? ? ?文獻標志碼 A

Estimation of state of charge based on Ampere Hour

integration and extended Kalman filter

YANG Weidong1，2， DONG Hao1， WAN Feng1

（1. School of Mechanical Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin， 300401， China; 2. National Engineering Research Center for Technological Innovation Method and Tool， Tianjin， 300401， China）

Abstract When the battery is fully charged， the hybrid pulse power characteristic （HPPC） cannot be tested resulting in that the battery parameters cannot be identified in the state of charge （SOC） range of 0.9～1.0. In order to solve the problem， an integrated SOC estimation scheme based on Ampere Hour （AH） and extended Kalman filter （EKF） is proposed. Firstly， the parameters of Thevenin model are identified based on the experimental data of HPPC， and then the comprehensive estimation scheme of AH + EKF is verified by using the new European driving cycle （NEDC）.The verification results show that the AH+EKF comprehensive estimation method greatly reduces the estimation error of EKF method in the SOC value range of 0.9～1.0. The maximum error of EKF method is 2.2%， while the maximum error of AH+EKF comprehensive estimation scheme is less than 0.9%. This method improves the estimation accuracy of SOC and obtains good results.

Key words lithium battery; state of charge; Ampere Hour; extended kalman filter; hybrid pulsepower characteristic

當前存在的智能優化算法，均帶有各自的優點，但同時又各自存在或多或少的缺點。如：傳統遺傳算法雖然全局尋優能力較好，但是局部尋優能力較差，且容易陷入局部最優，容易早熟。粒子群算法的局部尋優能力較優，但是全局優化能力較差，還有一些其他的算法有各種不同的缺陷。為了彌補某些優化算法的缺陷，兩種或者兩種以上的優化算法的有效結合的理念便被大多數學者采用。針對粒子群算法在處理多峰函數優化問題時容易陷入局部尋優的問題，收斂速度慢等問題，Zhang等[1]將粒子群算法與正交學習法相結合，來提高粒子群算法的收斂速度。針對遺傳算法在處理復雜多峰函數優化問題時易于早熟和局部搜索能力差的等問題，大量的工作者針對該問題做了許多工作。主要工作集中在兩方面，一方面是提高遺傳算法的局部尋優能力，另一方面主要是降低遺傳算法的陷入早熟的可能性，保持遺傳算法在進化過程中的種群的多樣性。提高遺傳算法的局部尋優能力主要是將具有較強局部尋優能力優化算法，例如粒子群算法，與遺傳算法結合來提高遺傳算法的局部尋優能力[2-3]。保持種群多樣性的工作主要是將小生境技術，或者其他技術引入到遺傳算法中，來維持種群的進化過程中的多樣性，降低算法陷入早熟的可能性[4]。然而，傳統小生境遺傳算法雖然在種群多樣性上保持的較好，但是其局部搜索能力有待提高[5]。而且小生境遺傳算法對于不同問題的小生境半徑的確定都需要在開始之前經過大量的測試，以此來得到一個較為準確的參數設置。工作者們對此提出的解決方案，如動態調整小生境半徑[6-8]。為了解決小生境遺傳算法存在的早期成熟和陷入局部極值點等問題，部分學者對于此的改進主要集中在小生境遺傳算法的交叉概率和變異概率的動態調整上[9-12]。但是經過實際測試發現：‘S’型曲線的動態調整方式在進化代數較大的時候，會出現交叉概率和變異概率在短暫幾代中的突變。這有悖動態調整的最初設想。為此本文對于動態調整的公式做了進一步的改進。同時，這里調整了排擠小生境的操作方式，將小生境中的所有個體施加了一個等級削減。這樣可以既保留了個體之前所具有的適應度優勢，同時又給同一小生境中的適應度較低的個體進行了適應度的削減。完成了小生境的排擠操作。

數十年來，對于橡膠材料的研究已經有了十足的發展。對于橡膠材料的特性的認識已經較為全面。橡膠材料在實際應用中主要表現出一種非線性彈性特性，可作為超彈性材料處理。 當前工作者對于描述橡膠的本構模型主要集中在多項式模型和Ogden模型。這些本構模型的材料參數都必須從橡膠實驗中得出。但是通過材料實驗確定材料參數的方法相對繁瑣，同時試件之間的尺寸差異和試件的制作工藝都會對實驗有或多或少的影響[14]。于是參數反演的求參方式便被多數學者采用來獲取橡膠的材料參數[15-19]。 Bohdana[15]采用非線性優化方法對于填充橡膠的粘彈性本構模型進行了參數識別，并采用粘彈性本構模型以及識別得到的材料參數對于碳黑填充橡膠的松弛，壓痕以及圓柱壓縮進行了數值計算。為了研究橡膠的力學屬性，Guelon等[16]提出了一種用于橡膠材料參數識別的反演方法。Hartmann[17]基于不可壓縮材料的Rivlin’s 超彈性本構關系，對碳黑填充橡膠進行了參數識別的工作。Wen等[18]提出了一種高精度的非線性動力學模型和參數識別方法，用于預測沖擊試驗中橡膠波形發生器產生的沖擊脈沖。楊坤鵬等[19]利用等效阻尼理論對金屬橡膠隔振系統進行了動力學建模，然后利用遺傳算法對其進行了參數識別工作。

本文選取了多項式模型作為擬合硫化橡膠的單軸拉伸實驗。然后將本文所提出的改進型遺傳算法作為參數反求的搜索算法，并將該參數反求程序應用到計算橡膠材料的材料參數上去。

1 小生境遺傳算法的改進

1.1 交叉概率和變異概率的動態調整

進化算法的種群在一開始一般是隨機生成的，種群的多樣性較強。種群進化的方向應該是向著收斂方向前進。在進化初期，變異操作未起主要作用，為最大范圍搜索到所需要的極值，可使交叉概率比較大，隨著進化次數的增加，種群逐漸趨向于極值，種群已經基本上趨于穩定，為了跳出局部最優解，保持種群多樣性，應該降低交叉概率，增大變異概率，從而加速算法的收斂過程。武興亮等[9]對于動態交叉概率和變異概率采用了如下的調整公式：

式中：[Pcro]為初始交叉概率;[Pmut]為變異概率;[GEN]為總的遺傳代數;[x]為當前的進化代數。對此函數進行一次測試（這里以遺傳代數10，30，100代為例，初始交叉概率為1，變異概率為0.2），其動態調整的變化如圖1所示。通過對比圖1中的a），b），c），會發現武等[9]所提出的用于小生境交叉和變異概率的動態調整公式會在進化中期代會有一個突變，無法實現在進化的整個過程中對該兩個概率有一個很好的過渡調整。

對于小生境交叉概率和變異概率的動態調整策略， 為了使其在整個變化過程中有一個很好的過渡，本文提出了改進的動態調整公式。如式（3），式（4）所示：

式中：[Pcro]是初始交叉概率;[Pmut]是初始變異概率;[TMAX]是總的遺傳代數;[gen]是當前遺傳到的代數。通過對比圖2中的a），b），c），會發現本文所提出的動態調整公式會使得交叉概率和變異概率在整個進化過程中有一個很好的動態平穩過渡，提升了算法的性能。

這樣也基本滿足了對于交叉概率和變異概率的動態調整的要求。在進化初期，種群分散度較大，應該把交叉概率調大，變異概率調小。在進化后期，個體之間逐漸趨于同一小生境內，或者趨于同一極值點，調大變異概率來讓種群跳出局部最值點。在進化中期時，本文所提出的變異交叉概率將會平穩的過渡。 此動態調整公式被選取作為本次的改進型小生境遺傳算法的交叉概率和變異概率的動態調整公式。

1.2 小生境的排擠和衰減因子

對于處于同一個小生境內的個體，要對適應度低的個體在適應度上施加一個罰因子。文獻[9]對于同一小生境內的適應度較低的個體的處理是將該個體的適應度歸0。但是在多維問題中，即使適應度較低的個體，也可能保留著非常優秀的信息[13]。如果直接將該個體的適應度歸0，可能對于提高算法的收斂速度并不會起促進作用。本文對此提出的改進意見如下所示。

1）首先找到在同一小生境內的所有個體。

2）然后按照適應度降序的順序將個體進行排序。將這些個體寫入到一個列表，記名為：[Ik]，[k=1，2，3…] 。

3）對[Ik]中的第[k]個個體在適應度上施加一個削減因子[1k]，[k=1，2，3…] 。

該改進的小生境排擠操作具有如下的性質。

1）在對于同一小生境內的個體，本文拋棄了對于那些適應度較低的個體進行了適應度歸0的操作，然后對于不同適應度的個體會施加一個不同的削減因子。

2）既不希望將適應度低的個體的適應度削減太多，又不會給同一個小生境內的所有的個體都進行相同的削減，因為不同個體的適應度值并不一定相同，不應該對于不同適應度值的個體進行相同的削減。這樣個體才會因為自己本身的適應度優勢做出不同的調整策略。于是本文做出的改進便如上所示。

1.3 改進小生境遺傳算法的具體實現步驟

步驟1：初始化種群[Qg]，初始種群規模為[N]，初始演化代數[g=1]。

步驟2：計算出種群的適應度列表[Fg]。

步驟3：依據[Qg]每個個體的適應度對其進行降序排列，并記憶前[M]個個體，不妨取[M=N2rand+1]， 其中[rand]為[0～1]之間的隨機數。

步驟4：對隨機生成的[N]個個體采用比例選擇運算，得到群體[Q'g]。

步驟5：交叉和變異。初始交叉概率[Pcro]，變異概率[Pmut]，并對群體[Q?（g）]利用式（3）和式（4）來調整交叉和變異概率，得到群體[Q″（g）]。

步驟6：將步驟 4得到的[N]個個體和步驟 3記憶的[M]個個體的新群體[Hg]。

然后對[Hg]按照適應度降序的順序對種群進行排序。進入步驟6.1。

步驟6.1：挑選出當前列表[Hg]中適應度最大的個體作為小生境的中心[xc]。并將該個體從[Hg]中去掉。然后在[Hg]中挑選出那些相對于小生境中心的距離小于指定的小生境半徑的所有個體。即為當前小生境內的所有個體。然后將這些被選中的個體從[Hg]中排除掉。進入步驟6.2。

步驟6.2：將剩下的個體重新按照適應度降序排列，重復步驟6.1。直到[Hg]中的所有個體被選擇完畢。

步驟6.3：對經過步驟6.2所生成的所有列表進行小生境操作。對各列表中所有個體進行等級削弱。

步驟7：經過步驟6～步驟 6.3處理之后的列表重新歸并到一起，記名為[Lg]。然后按照適應度降序排序。

步驟8：終止條件的判斷。若滿足終止條件，則輸出算法結果，算法完成，若不滿足終止條件，進入步驟9。

步驟9：保留[Lg]中前[N]個個體，更新演化代數[g]。

2 改進小生境遺傳算法在橡膠參數反求上的應用

2.1 材料參數反求的主要思想

首先假定材料參數，采用有限元進行正向分析，計算出一個仿真響應。然后將仿真響應與實驗響應進行對比。通過優化算法不斷調整材料參數，直到找到一組材料參數使得仿真響應與實驗響應之間的誤差最小[20-21]。

本文便選用改進的小生境遺傳算法作為優化搜索算法，來實現對于橡膠的材料參數反求。

2.2 對于橡膠材料的單軸拉伸實驗

對于單軸拉伸試驗，本文參考最新的國家標準GB_T 528-2009《硫化橡膠或熱塑性橡膠拉伸應力應變性能的測定》，選用標準所規定的1型啞鈴狀試件，厚度為2 mm。根據國家標準，試件的實驗部分為中心的25 mm，即認為在這部分范圍內產生最大均勻變形，用兩個黑色的標定線標定。實驗設置如圖3所示。采用Instron3365萬能材料實驗機完成單軸拉伸實驗，該試驗機載荷量程為5 kN，載荷由實驗機內置傳感器測得，并根據試件的橫截面積得到名義應力;位移由接觸式引伸計測得，并由此得到名義應變。在進行單軸拉伸實驗時，首先設置實驗參數，包括試件的形狀尺寸、拉伸方法等等。接著用夾具夾緊啞鈴狀試件的上端;然后調整位置，確保上下端是垂直方向，并且夾具所夾的部分大小一致，保證實驗部分，即兩黑色標定線之間部分，在測試范圍內。接著調整實驗機，使之達到穩定狀態，用接觸式引伸計夾在兩條標定線的位置。完成上述操作后，開始進行實驗和采集數據，為了消除MULLINS效應，即在預應力作用后表現的應力軟化現象，每個試件在正式拉伸前均進行預循環實驗，如果試件在預循環拉伸過程中斷裂，或者斷裂位置在標定線范圍之外，需要將這組實驗數據舍去，重新進行下一個試件的實驗。

圖4是5個試件在多次拉伸后曲線趨于穩定的名義應力和應變曲線。

由圖4中曲線可以看出，不同試件的應力應變曲線差異性較小，說明實驗結果較為集中，因此可以認為實驗是成功的，這些數據結果是有效的。為了減小實驗中的一些誤差對結果的影響，應該選用平均值曲線的數據進行參數反求。

2.3 橡膠超彈性材料本構模型理論

圖5是本文的單軸拉伸的有限元模型。在連續介質力學中，認為橡膠是各向同性材料，用單位體積的應變能來表示本構模型。它對應變分量的導數就是相應的應力分量。應變能可以分解成應變偏量能和體積應變能兩部分，其多項式形式如下：

式中：n是多項式的階數;[Cij]和[Di]是溫度相關的材料參數;[I1，I2]是和主伸長率有關的第1第2主不變量。[J]是彈性體積比，[J=1]時可以認為材料是不可壓縮材料。

本文選取當[n=2]時的多項式本構模型進行材料參數的反求。

2.4 參數反求及其結果

為了與通過參數反求工作所計算出來的結果進行一個對比，首先通過ABAQUS材料屬性模塊中的Evaluate功能來得到材料參數，如表1所示。

通過該材料參數計算出來的仿真響應與實驗響應的對比圖如圖6所示。

觀察圖6，可以發現通過Evaluate計算得到的仿真響應與實驗響應從應變一開始便有很大的偏差。而且隨著應變的遞增，實驗響應與仿真響應之間的偏差會越來越大。除本構模型對于該橡膠材料的大變形階段的描述不準確之外，其材料參數也是與實際值更有一個較大的偏差。因為采用該本構模型在應變低于1.5時，實驗響應與仿真響應之間的誤差同樣較大。

接下來便通過反演程序來計算該橡膠材料參數，參數反演的主要思想如Section 2.1所述，通過Python編寫了該反演程序，其中改進小生境遺傳算法主要是用來在指定參數范圍內找到較為優秀的材料參數值，該參數值能使得實驗響應與仿真響應之間的誤差最小。對于該反演程序所需要的各參數范圍定義如表2所示。

參數反演計算得到的橡膠材料參數如表3所示。

通過表3所示的材料參數所計算出來的仿真響應與實驗響應的對比圖如圖7所示。

通過對比圖6和圖7，可以發現，圖7所示的實驗響應和仿真響應之間的偏差要遠小于圖6所示的兩者之間的偏差。所得到的材料參數相對于ABAQUS的參數擬合所得的材料參數要更加接近實際值。說明通過本文所提出的參數反演技術來計算得到的材料參數更加精確。但是我們也注意到在應變超過150%之后，實驗響應與仿真響應之間的偏差開始逐漸增大，除了實驗精度的誤差之外，本文的結果也表明2階多項式模型無法準確描述硫化橡膠的大變形階段的應力/應變響應。如果通過2階多項式模型來預測硫化橡膠的大變形，其預測得到的橡膠所產生的應力會遠遠大于實際橡膠的單軸拉伸實驗所產生的拉伸應力。

3 結論

1）本文對于小生境遺傳算法的改進，使得遺傳的交叉概率和變異概率在整個變化的過程中都處于動態調整，且在整個進化過程中，交叉概率和變異概率不會在某幾代中發生突變。使得動態調整貫穿整個進化過程。這樣的改進可以有效維持小生境遺傳在進化過程中的種群多樣性。而且我們對于小生境的排擠操作的改進能充分利用每一代中的每個個體的優秀信息，加快算法的收斂速度。

2）通過有限的實驗來獲取材料參數，參數反求是一個非常優秀且廣泛使用的方法。本文對于橡膠材料的參數反求結果顯示我們的方法能獲取到一個與實際參數值比較接近的結果。采用本文所獲取到的材料參數能更好的預測橡膠的變形特性。

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收稿日期：2020-12-05

基金項目：河北省教育廳重點研發項目（ZD2017215）

第一作者：楊偉東（1972—），男，教授。通信作者：萬峰（1971—），男，教授，wf_hebut@163.com。