基于“導問”的高中數學變式教學

【摘 要】“導問式”教學立足新課標，落腳課堂教學實踐，圍繞“問題”開展教學研究，在提升學生“四能”、培養數學學科核心素養等方面起到了積極作用。“導問式”教學與變式教學課堂范式相得益彰，有利于提升高中生的數學思維品質。

【關鍵詞】導問式教學；變式教學；融合；思維提升

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）67-0023-04

【作者簡介】李健，江蘇省外國語學校（江蘇蘇州，215104）教師，高級教師。

所謂“導問式”教學，指基于不同的教學目標和教學內容，以“問題和引導”為基本特征的一種教學活動形式。［1］其外部特征一般呈現為：教師通過設置一定的情境，引導學生發現問題，在與學生共同解讀問題的過程中，圍繞核心概念提出一系列問題，啟發學生思考探究并解決問題，最終達到把握問題本質的目的。其內涵主旨為：通過動態思辨，幫助學生啟迪思維、生成智慧。

變式教學指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化的教學方式，它主張保持問題的本質特征不變，將問題的非本質屬性不斷遷移，通過深化認知的一系列策略與途徑，在動態教學中把握數學本質，這與“導問”的教學目標與實施手段高度契合。筆者著眼于提升高中生數學思維品質，以高三一輪復習的課堂教學為落腳點，從一道課本習題出發，薄口深切，例談基于“導問”的變式教學策略。

一、教學背景概述

在學習“直線和圓”過程中，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）要求學生“能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓位置關系，并能解決一些簡單的數學問題”。從整個解析幾何單元的學業要求來看，《課標》強調了幾何問題與代數問題間的轉化與融合。

針對高三學生的知識儲備與思維特點，筆者設計了一個圍繞“直線和圓位置關系”的進階微專題，以蘇教版教材（2019年版）選擇性必修一（以下簡稱《選必一》）第62頁習題2.2第10題為研究起點展開變式教學，以期引導學生逐步深化對直線和圓位置關系的認知，“沉浸式”地感知幾何與代數的深刻關系，最終把握解析幾何（以下簡稱“解幾”）的本質。

二、教學設計呈現

1.借“一題多變”導出問題情境

師：很好！研究直線和圓的位置關系需要緊緊把握圓心到直線的距離d與圓半徑r之間的大小關系。同時，直線l：x0x+y0y=r2似乎與圓O：x2+y2=r2有一種“神秘”的聯系，接下來我們將通過一系列問題來進行探討。

本環節中，問題1最后設置“一題多變”，利用《選必一》中第62頁的習題12設置變式情境，帶領學生進一步探究。通過問題2的兩個“非標準化”變式，突出了直線與圓位置關系的本質屬性，即“d與r之間的大小關系”。再利用其所包含的代數形式的共同特征，引導學生進行深入探討。

2.由“一題多解”導向問題本質

師：大家有別的方法來證明上述這個結論嗎？

（限于版面，求解過程略）

師：問題1和問題3的答案均為x0x+y0y=r2，這是一種巧合嗎？還是它們之間存在著一種內在聯系？大家可交流探討。

生5：可以從圖形的角度動態地理解“切點弦”和“圓上一點切線”的內在聯系，當點M從圓的外部向圓逐步靠近時，此時A、B兩點也會沿著圓弧不斷向其靠近，當點A、B、M無限接近“重合”狀態時，原本作為割線的切點弦AB所在直線也會“逼近”成為一條過圓上一點M的切線了。

師：（可配合幾何畫板動態演示）很好！根據同學們的分析，我們可以將其簡單地理解為“過圓上一點的切線就是某割線的極限狀態”。在探討的過程中，我們深刻地感受到直線與圓的問題可以用代數方法來解決，同時也可以從幾何角度探索、感知其內在本質。

本環節通過問題3啟發學生“一題多解”，從幾何和代數兩個維度來深化教學內容，凸顯了“解幾”本質，隨后教師引導學生探究問題1與問題3的內在聯系，設置變式追問，引導學生深度思考。最后利用幾何畫板動態展示，幫助學生從抽象和具象兩個層面去理解數和形的關系，從而把握“解幾”本質。

3.用“多題一解”導引問題深化

師：不難看出，該過程體現的解題思路與問題3中生5所展示的思想方法相同，都是根據解題需要將點進行“動態”與“靜態”間的切換，在解決問題時再次利用了問題3的相關結論，這就是所謂的“多題一解”。接下來，我們通過一道模擬題來深化對這一知識點的掌握。

師：結合解決問題5的經歷，大家能否推導出有關切點弦的一般性結論？

師（追問）：能推廣出問題1的一般性結論嗎？

師：非常好！大家在幾何的層面進行了思考、類比和歸納，但要得出確鑿的結論還需從代數的角度去演繹推證，請各位同學課后完善上述問題的證明過程。

設置問題4既是從思維上對問題3中生5解法的鞏固，同時也引導了學生關注問題3所衍生出的各種“副產品”，讓其主動接受“多題一解”這一變式教學載體。最終利用問題5引導學生通過合情推理深化理解這類問題的共性，并以演繹推理來作為教學的課后延伸，達到讓學生把握這類問題本質的同時，深刻感知數學嚴謹性的雙重目的。

三、教學策略總結

從上述的教學案例中我們不難看出，以“導問”作為方法論、“變式”作為教學手段的課堂教學需要教師進行數學的結構化組織，在讓知識變得系統化的同時也要關注其可操作性。這對教師的教學素養提出了較高的要求。結合本節課的教學實際，筆者對基于“導問”開展的變式教學課型總結了如下三點策略。

1.“導”中生“變”

導問式教學講究教學內容重難點的針對性，需要教師由淺入深、層層遞進、呈梯度狀設問。［2］在研究問題1至問題3的過程中，我們圍繞本課例的教學重點之一——深度研究直線和圓的位置關系，構建了“變式問題串”，將一系列“導問”以“變式”的形態出現，即通過相關點的動態變化來探究相關直線與圓的位置關系。

學生能夠在“變”中逐步把握住直線和圓位置關系的幾何本質，并能夠用代數語言去刻畫其幾何關系，既完成了思維由“發散”到“匯聚”的變化過程，又強化了用代數方法去解決幾何問題的“解幾意識”。

2.以“變”聯“導”

作為直線和圓位置關系中的一個“特別的存在”，聚焦“切點弦方程”是本節課的教學難點，同時也是思維的一個躍升點。如何做到既能貼合學生認知規律又能有效地將教學內容合理聯結，本課例中，變式起到了關鍵作用。

通過對問題2與問題3形式上的“統一化”與內容上的“延續化”，將變式作為“聯結點”嵌入導問中，在結構上采用了“過程性變式”即“數學活動的有層次推進”［3］，達到了“潤物細無聲”的教學效果。同時，以問題3作為導問載體，使用“一題多解”的變式途徑，引導學生對其解決方法進行深度探究，將三種解題思路從不同維度有效地聯結在一起，從思維的層面實現了“匯聚”至“發散”的轉變過程。

3.“導”“變”相融

解析幾何是“數形結合”的典范，本課例中，“一題多變”“一題多解”及“多題一解”等變式手段，本質上都是服務于“數形結合”這一思想方法，是提高學生發散思維與形象思維的有效途徑。［4］

因此，將“導問”和“變式”合而為一，能幫助學生在解決問題中，同步實現思想方法的掌握和思維品質的提升，這在問題3的教學過程中得到了充分體現。同樣問題4的導入既做到了對問題3結論的“即時性學以致用”，又通過研究軌跡問題滲透了“幾何問題代數化”的解幾思維。將問題5設置為真題，其目的在于用特例引導學生將問題3的結論一般化，即滲透“特殊到一般”數學思想方法，加以教師的追問，引導學生的思維進行了一次躍遷。

總而言之，無論是采用“導問”的漸進式授課模式，還是借助于“變式”的動態化教學手段，其最終目的都是指向學生思維能力的培養與數學素養的提升。以此為引，形成更多行之有效的教學范式，是我們在今后教學實踐中不斷求索的目標。

【參考文獻】

［1］趙士元.導問 讓解題教學更有效［J］.數學通報，2017（8）：20-23.

［2］程漢華，劉云濤.“導問式”教學方法研究［J］.高等教育研究學報，2010（3）：66-68.

［3］顧泠沅，黃榮金，費蘭倫斯·馬頓.變式教學：促進有效的數學學習的中國方式［J］.云南教育：中學教師，2007（3）：25-28.

［4］李健.例談單元教學設計下的變式教學探索［J］.數學通報，2020（12）：45-48.