二元計算全息法產生復雜無衍射光束

楊婧羽，任志君，黃文俊，許富洋

（浙江師范大學 浙江省光信息檢測與顯示技術研究重點實驗室，浙江 金華 321004）

1 引 言

不同的科學研究實驗，要求激光束有不同的空間形態分布。調控產生具有不同空間結構的激光束，是激光技術的重要研究內容。在光與物質相互作用的許多研究中，常常需要一類光學結構穩定或盡可能穩定的光束。在這種情況下，無衍射光束應運而生。常見的無衍射光束有貝塞爾光束（包括渦旋光束）[1-3]、馬蒂厄光束[4]、拋物光束[5]、以及艾里光束[6]等。過去調控產生無衍射光束，主要是利用相位調制法和振幅調制法。早期用于產生貝塞爾光束的Durnin環縫法就是典型的振幅調制法[1]。后來采用的全息法[7]和利用錐鏡來產生貝塞爾光束的方法[8]，則屬于相位調制的方式。2007年誕生的艾里光束是一種具有加速傳輸特性的無衍射光束。艾里光束主要采用立方相位調制的方式產生[6,9]，近年來，研究者又采用振幅調制法[10]以及基于超表面技術[11-12]產生了艾里光束。此外，Pearcey光束的產生，既有振幅調制法[13-15]，也有相位調制法[16]。事實上，不論采用相位調制法還是振幅調制法操控光束，技術上都不難實現。這是因為現有的商用化調制元件，既有相位型，也有振幅型。利用這些調制元件，既能實現單純的相位調制，也能實現單純的振幅調制。

基于波動方程在不同坐標系下的特解，研究者還陸續發現了幾簇具有復雜光學形態的無衍射光束。包括馬蒂厄光束[17]、非對稱貝塞爾光束[18-19]、Lomme光束[20-21]等。要產生這類具有復雜光學形態的無衍射光束，必須構建既能調制光束振幅也能調制光束相位的復振幅調制元件。也就是說，經典的相位調制法或振幅調制法并不能調控產生這類具有復雜結構的無衍射光束。而采用復振幅調制法調控光束，卻并非易事。為此，人們不得不采用振幅和相位分開調制的方式來產生復雜結構無衍射光束。以馬蒂厄光束為例，Anguiano-Morales等利用扇形透光屏（振幅調制元件）結合錐鏡（相位調制元件），產生了近似零階馬蒂厄光束[22]。任志君等采用錐鏡（相位調制元件）結合振幅膠片（振幅調制元件），也近似產生了馬蒂厄光束[23]。采用振幅和相位分開調制的方式，雖然可以產生一簇具有復雜光學形態的無衍射馬蒂厄光束，但采用分離的振幅和相位調制元件調控光束，在實驗中存在調節難度大、難以準確對位的問題。因此，之前的研究者只能產生低質量的無衍射馬蒂厄光束。

有研究者在振幅型空間光調制器[24-25]與相位型空間光調制器[26]上使用不同編碼方式實現了光束的復振幅調制，比如采用超像素編碼的方式，產生了非對稱貝塞爾光束[27]和Lommel光束[28]。不同于超像素編碼，本文主要采用羅曼型迂回相位編碼的方法，設計、構建了馬蒂厄二元計算全息圖(Binary Computer Generated Hologram, BCGH)。之后通過投影成像光刻系統，將BCGH加工為實振幅掩膜板，制作出像素數高達28 000 pixel×28 000 pixel的掩膜板，這為高質量產生復雜結構的馬蒂厄光束奠定了基礎。實驗結果也證實基于二元計算全息編碼全息圖是一種能夠產生具有復雜光學結構無衍射光束的新途徑。

2 二元計算全息圖的制備

隨著計算全息技術的發展[29]，人們發現，通過編碼的方式，可以在同一塊掩膜板上同時編碼光波的振幅信息和相位信息。此外，不同于傳統只能記錄實際物體的全息圖，計算全息圖[30-31]還可以編碼綜合復雜的、由計算機計算的全息圖。計算全息圖由于是利用計算機替代了激光器和其他光路，使用LCD等成像設備替代了傳統的全息干板，這使得全息圖的加工過程方便快捷，更加靈活。鑒于計算全息技術能夠靈活地對振幅和相位進行同時調制的優勢，本文基于羅曼型迂回相位編碼全息圖的原理，利用全息直寫打印系統，以馬蒂厄光束為例，進行復雜結構無衍射光束的調控。

計算全息圖的制作大致可以分成以下幾個步驟：（1）對于所需的物面或者波面信息進行數學描述，提供離散的數據信息；（2）計算波面在全息圖上的復振幅光場分布；（3）將光場分布編碼成全息圖的透光率變化；（4）全息圖進行數據輸出；（5）加工計算全息圖，實現目標光場。

計算全息圖本質就是將二維光場的復振幅轉換成二維實振幅透過率函數，即：

式中，hi(x,y)表示二元全息函數，它是實值非負函數，f(x,y)是所需變換的復值函數，Ci表示相應編碼的編碼算法，i表示采用的編碼技術。

利用計算機進行全息計算時，需要對數據進行抽樣處理，假設需要記錄的復振幅函數為

對其進行傅里葉變換，變為

利用梳狀函數對連續復振幅函數f(x,y)抽樣，抽樣函數fs(x,y)由 梳狀函數的 δ函數的整列構成：

根據抽樣定理，抽樣間隔應滿足以下條件：

其中，δx、δy、δu、δv分別是波面在空域和頻域的抽樣間隔，Δx、Δy、Δu、Δv分別是波面的空間和頻帶寬度，抽樣單元的總數為M×N=Δx·Δy·Δu·Δv。

對于待轉換的離散復振幅函數，本文主要采用羅曼型迂回相位編碼法，將其復振幅函數轉換成實值非負函數。下面主要介紹羅曼型迂回相位編碼原理[32-33]。

由圖1所示，設光柵的柵距為d，第k級光柵的衍射角為 θk，那么由光柵方程可知，在 θk方向上相鄰光線的光程差為Lk=dsinθk=kλ。當使用平面光波垂直照射光柵時，如果光柵的柵距相等，即為等距光柵，那么第一級衍射是平面波，等相位面是垂直于這個傳輸方向的平面。如果光柵的柵距有變化，例如某一位置處柵距變化Δ，則此位置上沿θk方 向相鄰光線的光程差變為Lk′=(d+Δ)sinθk。衍射角為 θk方向上的第k級衍射光波在該位置處會帶來相應相位超前或者延遲（Δ為正值表現為相位延遲，Δ為負值表現為相位超前），柵距變化導致的相位額外變化大小為 φk=2πk|Δ|/d， φk被羅曼稱為迂回相位，迂回相位的值與柵距的偏移量和衍射級次成正比，而與入射光波波長無關。從迂回相位效應可知，通過改變光柵各個局部的柵距，可制作出各處柵距都滿足要求的非等間距光柵，從而在某個衍射方向上得到目標相位。

圖1 不規則光柵的衍射效應Fig. 1 Diffraction effect of irregular grating

基于上述不規則光柵的衍射效應特征，如圖2所示，利用羅曼型迂回相位編碼法設計二元全息圖時，需在全息圖每個抽樣單元內開一個矩形通光孔徑。即，通過改變通光孔徑的面積來對復值光波的振幅進行編碼，通過改變通光孔徑中心偏離抽樣單元中心的距離，對復值光波的相位進行編碼。圖2中，矩形孔徑的寬度為Wδx，W為一常數，矩形孔徑的高度是Labδy，與歸一化后振幅Aab成 正比，Lab的 取值范圍為0～1。Pabδx是孔徑中心與單元中心的距離，與抽樣單元的相位 φab成正比，取值范圍為?0.5～+0.5。Lab和Pab的具體取值為

圖2 抽樣單元Fig. 2 Sampling cell

過去的研究表明，馬蒂厄光束是一種具有復雜光學結構的無衍射光束，經典貝塞爾光束只是馬蒂厄光束的一個特例。產生馬蒂厄光束，需要如式(7)所示的復振幅調制函數[23]：

式中，C(φ,q)為 角向馬蒂厄函數，q為橢圓度參數，n為錐鏡的折射率，θ0為錐鏡底角（錐鏡入射平面和出射錐面間的夾角），R為錐鏡的入瞳半徑。式(7)是一個復振幅函數，這意味著，入射的平行光只有經過具有復振幅分布（包括振幅和相位信息）的調制元件，才能夠產生馬蒂厄光束。

為產生馬蒂厄光束，基于前述的二元全息編碼原理，將式(7)的二維復振幅分布變換為二維實振幅非負分布，流程圖如圖3所示，最后得到輸出的馬蒂厄光束二元數字全息圖如圖4所示。圖4中，構建了兩種產生馬蒂厄光束的二元計算全息圖，分別為橢圓系數q=10，拓撲荷數m=0,1的馬蒂厄光束。

圖3 構建馬蒂厄光束二元全息圖過程Fig. 3 The process of constructing a Mathieu beam binary hologram

圖4 產生馬蒂厄光束的二元計算全息圖。(a)m=0, q=10;(b) m=1, q=10Fig. 4 Binary computer-generated hologram of a Mathieu beam. (a) m=0, q=10; (b) m=1, q=10

3 實 驗

基于上述的羅曼型迂回相位編碼技術，本文設計構建了具有復振幅調制功能的二元實振幅非負計算全息圖，如圖4所示，放大后的部分細節如圖5所示。之后采用實驗室自制的投影成像光刻系統[34]，將圖4左側的二元全息圖加工成振幅掩模板，如圖6所示，其上6個點為光刻時的調焦點。投影成像光刻系統的工作原理詳見參考文獻[34]。首先，將設計好的28 000 pixel×28 000 pixel的光刻文件（即全息圖）自動分割成一系列600 pixel×600 pixel的單元圖形。將這些圖案按照順序自動輸入到數字顯微設備（Digital Micromirror Device，DMD）中，然后逐行掃描，在銀鹽干板上進行投影曝光。當光刻完成后，銀鹽干板被加工以獲得振幅掩模板。

圖5 放大后的計算機全息圖部分結構Fig. 5 Computer-generated hologram

圖6 掩模板實物圖Fig. 6 Physical picture of the mask plate

實驗光路如圖7所示，He-Ne激光器經準直擴束之后，用加工好的的振幅掩模板作為調制元件對衍射光做濾波，用科學CCD記錄+1級光束，CCD上記錄的光束如圖8所示。q=10，m=0, 1的兩塊掩模板的光能透過率分別為15.65%與21.95%。圖9給出了模擬的馬蒂厄光束，可以看出實驗與理論吻合很好。

圖7 實驗光路圖Fig. 7 Optical path of experimental system

圖8 采用掩模板產生的馬蒂厄光束。(a) m=0, q=10; (b)m=1, q=10Fig. 8 Mathieu beam produced by the mask. (a) m=0,q=10; (b) m=1, q=10

圖9 理論模擬產生的馬蒂厄光束。 (a) m=0, q=10; (b)m=1, q=10Fig. 9 Mathieu beam generated through theoretical simulation. (a) m=0, q=10; (b) m=1, q=10

為了對比實驗效果，圖10給出了過去采用分離的振幅和相位元件產生的具有相同參數的馬蒂厄光束[23]。對比圖8和圖10，不難發現，本文的二元計算全息圖所產生的馬蒂厄光束，質量明顯好于過去采用振幅調制元件和相位調制元件分離調制產生的馬蒂厄光束。原因容易理解，采用振幅調制元件和相位調制元件分別調制的方式，需要采用位移平臺對二者進行精確對準。這在實驗過程中不僅耗時耗力，而且，不可避免地會存在對準誤差，最終使得實驗結果很難理想。本文所述的采用二元計算全息編碼法，通過采用羅曼型迂回相位編碼方式，將振幅和相位信息，以非負實振幅的方式，編碼在同一塊調制元件上。采用單一調制元件產生馬蒂厄光束，不僅在根本上避免了振幅和相位分開調制時引起的實驗誤差，顯著提高了所產生光束的質量，而且實驗過程更加簡單快捷。特別重要的是，利用本文所述方法產生的高質量無衍射馬蒂厄光束，為將其更好地用于實際的科學研究奠定了基礎。

圖10 采用振幅與相位分開調制產生的馬蒂厄光束。 (a)m=0, q=10; (b) m=1, q=10Fig. 10 Mathieu beams produced by modulating amplitude and phase separately. (a) m=0, q=10; (b) m=1,q=10

4 結 論

基于二元計算全息原理，采用羅曼型迂回相位編碼方法，以橢圓系數q=10，拓撲荷數m分別為0和1的馬蒂厄光束的產生為例，通過編碼產生非負的實振幅分布二元全息圖。使用投影成像光刻系統將全息圖加工成二元振幅掩模板，用二元振幅掩模板調制光束，實驗得到了高質量的馬蒂厄光束。實驗結果證實了采用二元計算全息原理，通過編碼的方式，產生具有復雜光學結構無衍射光束的可行性。該方法也為后續產生包括非對稱貝塞爾光束、Lommel光束、拋物線光束等其他幾簇具有復雜結構的無衍射光束，奠定了理論和技術基礎。