空間分數階Ginzburg-Landau方程的一種塊分裂迭代法 *

宋 巖，凌永輝

（閩南師范大學 數學與統計學院，福建 漳州 363000）

0 引言

分數階Ginzburg-Landau方程（FGLE）是從分形介質的變分Euler-Lagrange方程中提出，［1-2］已被用來描述各種物理現象，如具有分形色散的連續體的動力學過程和具有分形質量維數的介質［2］。由于分數階算子的非局部性質常常導致分數階微分方程的精確解無法得到。因此，數值方法成為求解分數階微分方程的重要工具，關于FGLE的數值方法研究很多，如He等人［3］提出了FGLE的無條件穩定線性差分格式，Zhang等人［4］提出了二維FGLE的三層線性差分格式。由于有限差分方程的解析解很少，所以數值解成為求解有限差分方程的主要方法， 但大多數分數階微分方程的數值解法傾向于生成全系數矩陣，如何有效地求解分數階微分方程引起了大家的關注。

1 空間FGLE的離散

考慮如下空間分數階Ginzburg-Landau方程（FGLE）［1］

取時間步長τ=TN，空間步長h=(b-a)(M+1)，其中N，M是正整數，記tn=nτ(n=0，1，…，N)，xj=a+jh(j=0，1，…，M+1)，令unj≈u(xj，tn)。通過分數階中心差分，［5］在有界區域中將分數階Laplace算子離散為

對式（1）~（3）的空間FGLE采用三層線性差分格式進行如下離散

則差分格式（4）可改寫為以下矩陣向量形式

其中系數矩陣

則式（7）的系數矩陣可改寫為

I表示單位矩陣。根據系數ck的性質，可知Toeplitz矩陣T是嚴格對角占優矩陣，又Dn+1是非負對角矩陣，所以W和S是對稱矩陣，故系數矩陣A是對稱矩陣。令H=(1-γτ)I+W，則有許多迭代方法可求解形為(H+iS)u=b的復線性方程組，如MHSS法［6］、PMHSS法［7］、GSOR法［8］、PGSOR法［9］等。然而，這些方法都需要求解系數矩陣為H，S或H+S的線性方程組，不能保留Toeplitz結構，從而導致分數階Ginzburg-Landau方程的求解效率不高。

在下一節中，我們利用系數矩陣A的結構，對離散線性方程組（7）提出了一種新的分裂方法，并分析了其收斂性。

2 塊分裂迭代法

考慮如下復線性方程組

其中A=(1-γτ)I+W+iS是對稱矩陣，是虛數單位。通過將復線性方程組轉化為2×2塊線性方程組，并利用塊LU迭代法構造一種新的求解復雜線性方程組（10）的快速迭代方法。

令u=y+iz，b=p+iq，其中y，z，p，q∈RM，則復線性方程組（10）可以等價寫成2×2塊線性方程組

將系數矩陣A分裂為

則塊分裂迭代法的構造如下

塊分裂迭代法 給定一個初始向量(y(0)T，z(0)T)∈R2M，對于k=0，1，2，…，計算

直到迭代序列{(y(k)T，z(k)T)}∞k=0∈R2M收斂。

由式（13）可以看出，系數矩陣(1-γτ)I是單位矩陣， 因此在迭代過程中不需要求解矩陣的逆，大大減少了計算量和內存需求。并且塊分裂迭代法是采用矩陣向量乘法求解線性方程組（10）。同時，觀察到S是由對角矩陣和Toeplitz矩陣組成的，所以可以使用快速傅里葉法計算矩陣向量乘法，也可減少計算量。

引理1［3］對于差分格式（4），u(x，t)存在唯一有界解。

定理1根據式（8）定義的矩陣A，對任意初始向量(y(0)T，z(0)T)∈R2M，當時間步長τ和空間步長h滿足

塊分裂迭代法收斂，其中1<α<2，v>0，κ>0，η>0，ζ>0，γ，C是實常數。

證明：根據迭代矩陣

其中W=τvT+τκDn+1，S=τηT+τζDn+1，可得

因此，迭代矩陣L的譜半徑的上界為

根據圓盤定理［10］和系數ck的性質有

其中ω是矩陣W的特征值，λ是矩陣S的特征值，化簡可得

再根據引理1，對于離散格式（4），u(x，t)存在唯一有界解，因此

其中C是常數，故

由以上可得

因此，當時間步長τ和空間步長h滿足

有ρ(L)<1，即塊分裂迭代法收斂。

3 數值算例

本節將通過空間分數階Ginzburg-Landau方程的算例來比較塊分裂迭代法（記為BS）和MHSS法、PMHSS法、PGSOR法的計算效能。選取初始條件u0=0∈RM，并在每個測試中給出迭代次數（記為IT）和迭代時間（記為CPU），算法終止的條件是

所有實驗均在CPU 3.60 GHz（Intel（R）Core（TM）i7-4790），RAM 4 GB環境下進行，MATLAB版本為2013a。

算 例［3］考 慮 定 義 域 為[-10，10]×[0，1]，v=1， η=1， κ=2，ζ=2， γ=1， 1<α<2，且 初 始 條 件 為u(x，0)=exp(-2x2)的分數階Ginzburg-Landau方程。

從表1和表2的數值結果可以看出，塊分裂迭代法不僅迭代步驟比MHSS、PMHSS、PGSOR方法少，且CPU時間也是最短的。還發現塊分裂迭代法可以達到與PGSOR法相同的計算效果，并且塊分裂迭代法的計算效果往往優于PGSOR法。如表1中M=4096時，PGSOR法的CPU時間是塊分裂迭代法的4倍多，迭代步驟也是塊分裂迭代法的5倍。因此，可以認為在求解式（1）~（3）的問題上塊分裂迭代法更優。

表1 α=1.2的數值結果

表2 α=1.8的數值結果