求函數值域的三種路徑

王洪峰

由于求函數值域問題的綜合性較強，因而很多同學感覺求函數值域問題的難度較大.事實上，求函數值域的思路有很多種，如采用反函數法、換元、利用函數的單調性、借助基本不等式、數形結合等.下面我們主要談一談求函數值域的三種常規路徑，以期幫助同學們突破難點，掃除學習障礙.

一、數形結合

在解答函數問題時，將數形結合起來，有助于提升解題的效率.在求函數的值域時，可先根據函數的解析式或函數的性質畫出函數的圖象，仔細研究函數圖象，了解函數的變化趨勢，明確函數曲線在單調區間或定義域內的最小、最大值，求得函數的最值，便可確定函數的值域.

目標函數式和已知關系式中都含有兩個變量，可采用基本不等式法進行求解.將xy視為兩數x、y的積，運用基本不等式建立已知關系式與目標函數式之間的聯系，得到關于目標式的不等式，通過解不等式求得目標函數式的值域.

由此可見，求函數的值域，需仔細研究函數的解析式，抓住其特點，將函數解析式進行適當的變形，如換元、分離常數、配湊為兩式的和或積的形式，或畫出函數的圖象，以尋找到與之對應的解題思路，采用數形結合、分離常數、借助基本不等式法進行求解.

（作者單位：山東省無棣縣第二高級中學）