一種新的嶺估計解法及精度評定

翁燁，邵德盛

(1.云南省地震局，云南 昆明 650200； 2.昆明理工大學國土資源與工程學院，云南 昆明 650093)

1 引 言

在經典線性平差模型中，采用最小二乘求解未知參數稱為最優線性無偏估計，而在實際中因|BTPB|≈0導致法方程的參數解變得不穩定，此時的法方程稱為病態方程[1]。最小二乘估計雖然是無偏估計，但是在自變量相關性較強或者某些自變量變化范圍較大時的估計結果差強人意，基于對法方程系數矩陣的病態性考量，Hoerl和Kenard通過對法方程系數矩陣對角線上添加一個參數k得到了嶺估計[2，3]，嶺估計目的在于按照正則化法則取目標函數的最優化選擇，達到減小均方誤差的同時提升參數的估計可信度[4]。嶺估計中主要是關于嶺參數的求解，因此嶺參數的選取至關重要，目前關于嶺參數的選取方法主要有嶺跡法、L-曲線法[5，6]、U-曲線法[7，8]、廣義交叉檢核法[9]。文獻[10]總結了8種求取嶺參數的方法、對含有較多自變量的大型回歸問題的解法進行研究；文獻[11]提出了一種可以利用典則參數重復計算的方法，使得均方誤差逐步減小，該方法改進了Hoerl和Kennard的相應方法；文獻[12]提出了一種廣義嶺估計的直接解法，不需要計算嶺參數就可以直接求得具有最小均方誤差的解。文獻[13]闡述了在病態情形下對于病態矩陣的兩步解法。由于廣義嶺估計算法確定嶺參數太過繁雜，計算量龐大，而嶺估計對病態問題的參數改正考慮得不夠全面，缺乏針對性。本文在廣義嶺估計的基礎上將參數進行分塊擬定，根據特征值的貢獻率確定分塊大小，按照法方程矩陣的病態性影響大小分類計算，將不同的對角線元素分塊添加嶺參數。在均方誤差下驗證了新的嶺估計優于狹義嶺估計和LS估計，推導出新的嶺估計嶺參數選取方法，通過算例驗證了該估計的可行性和適用性。

2 新的嶺估計模型

2.1 線性模型的嶺估計解

在線性模型[14]

(1)

中，L為觀測向量，B為系數矩陣，X為未知參數，△為觀測向量的隨機誤差，Q已知正定矩陣且滿足Q=P-1，P為權矩陣。設G為正交方陣，使得GT(BTPB)G=Λ=diag(λ1，λ2，…，λt)，λi(i=1，2，…，t)為法方程系數陣的t個特征根，引入典則參數α=GTX，并記A=BG。

典則參數α在模型(1)中的最小二乘估計和嶺估計分別為[14]：

(2)

(3)

廣義嶺估計的參數估計為：

(4)

廣義嶺估計的均方誤差為[14]：

(5)

(6)

2.2 新的嶺估計模型

本文在線性模型(1)上重新構造嶺估計，相對于式(3)做出改進：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

=f1(k1)+f2(k2)+f3(k3)+f4(k1)+f5(k2)+f6(k3)=F(k)

(12)

(BTPB+GKGT)-1BTB(BTPB+GKGT)-1

(13)

3 新嶺估計的嶺參數確定方法

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

4 算例及分析

4.1 算例一

圖1 嶺回歸參數估計

觀測值真值以及添加微小誤差后的觀測值Li 表1

模型參數X的計算結果表 表2

參數估計的協因數矩陣 表3

4.2 算例二

采用文獻[19]和[20]中的數值算例，含有5個未知數，病態設計矩陣和觀測向量真值如下所示：

法矩陣N的條件數為cond(N)=2.084×104，嚴重病態性。嶺跡法得出的嶺參數k=0.10，如圖2所示。表4中顯示了求未知參數的LS估計、嶺估計以及本文方法的計算結果，新的嶺估計參數值的協因數矩陣如表5所示。

圖2 嶺跡法確定嶺參數

模型參數X的計算結果表 表4

參數估計的協因數矩陣 表5

通過算例1～2可以得出以下結論：

新的嶺估計可以有效地改善LS估計和狹義嶺估計，提升參數估計的可信度。就算例一而言，新的嶺估計相比較LS估計，殘差值和均方誤差值分別為：

均方誤差減小明顯，殘差增加也在可控范圍內。相比較狹義嶺估計，參數估計可信度也有一定的提升。在算例二中，新的嶺估計相比較LS估計，殘差值和均方誤差值分別為：

因此本文新的嶺估計優于LS估計和狹義嶺估計。

5 結 語

新的嶺估計相比較于LS估計和普通嶺估計，對參數的估計更加貼近于真值，相比較LS估計、狹義嶺估計更加具有可信度；新的嶺估計相比較LS估計和嶺估計在均方誤差上有所改善，同時殘差值增加也在限制范圍內。本文的廣義平差方法針對貢獻率較小的多數特征值有很大的改進作用，能在一定要求范圍內快速求解參數估計值。可以在大型病態矩陣中減少計算量，提高計算效率。