重視數(shù)形結(jié)合 實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

于桂紅 于振海

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老也是最基本的研究對(duì)象，他們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。借助“數(shù)”的精準(zhǔn)性，可以闡明“形”的某些屬性。如我們給長(zhǎng)方形具體的長(zhǎng)和寬，給三角形邊長(zhǎng)、高，給圓半徑等數(shù)據(jù)，通過(guò)數(shù)據(jù)的計(jì)算來(lái)研究這些圖形的特征，即“以數(shù)解形”;借助圖形來(lái)闡明數(shù)與數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”。

無(wú)論是圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)問題的解決，還是統(tǒng)計(jì)與概率問題的處理，都需要借助圖形來(lái)使數(shù)變得更直觀或者借助數(shù)來(lái)使圖形變得更具體。在計(jì)算課的教學(xué)中，我們必須要重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，真正實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

一、 分析學(xué)情，確立數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵點(diǎn)

計(jì)算貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程，與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終相伴，它是每個(gè)學(xué)生必備的數(shù)學(xué)技能。當(dāng)前，很多學(xué)生的計(jì)算能力明顯下降，尤其是靈活計(jì)算的能力不足，這與學(xué)生沒有充分理解算理有密切關(guān)系。小學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律一般分為五個(gè)階段：激發(fā)動(dòng)機(jī)、知識(shí)感知、知識(shí)理解、知識(shí)鞏固、知識(shí)應(yīng)用，其中，“知識(shí)理解”是核心。學(xué)生真正理解知識(shí)的標(biāo)志，一是能用自己的語(yǔ)言或動(dòng)作將知識(shí)正確地表述出來(lái)，并能用例子進(jìn)行說(shuō)明;二是當(dāng)新知識(shí)以變式的方式呈現(xiàn)時(shí)，仍能掌握其實(shí)質(zhì);三是了解與其他知識(shí)的異同，并能把握知識(shí)的上下屬關(guān)系。教師應(yīng)遵循這一學(xué)習(xí)規(guī)律，夯實(shí)“知識(shí)理解”這一核心環(huán)節(jié)，提升學(xué)生的思維水平和能力，促使深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

不同地域、不同班級(jí)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和心理認(rèn)知特點(diǎn)都不盡相同，只有進(jìn)行學(xué)情分析，找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，才能根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的最近發(fā)展區(qū)，確定教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)。

北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊(cè)第一單元“過(guò)河”與前幾節(jié)課相比，出現(xiàn)了“小括號(hào)”的知識(shí)點(diǎn)。課前，可以這樣進(jìn)行前測(cè)。

1.計(jì)算：①60-30÷6，②（60-30）÷6，③27÷3+6，④27÷（3+6）。

2.小李要做60道口算題，已經(jīng)做了32道，剩下的要在4分鐘內(nèi)完成，平均每分鐘要做多少道？請(qǐng)列綜合算式進(jìn)行計(jì)算。你認(rèn)為應(yīng)該先算減法還是先算除法？為什么？

第1題中①和③兩個(gè)小題是前幾節(jié)課的知識(shí)，在筆者所教班級(jí)的30名學(xué)生中，有24人解答正確率達(dá)到了100%，其它6人這兩道題均做錯(cuò)了其中一道。第1題中②和④小題有10人全部正確。經(jīng)調(diào)查，是因?yàn)橛行W(xué)生提前預(yù)習(xí)了。有5人選擇放棄計(jì)算，有15人按照以往的經(jīng)驗(yàn)先乘除，再加減的順序進(jìn)行計(jì)算。第2題中要求列綜合算式，其中做對(duì)的學(xué)生只有2人，其他學(xué)生基本都寫成了60-32÷4=28÷4=7（分）。

分析前測(cè)結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)，一是學(xué)生對(duì)于上節(jié)課的知識(shí)掌握得較好，受上節(jié)課知識(shí)遷移的影響比較大;二是雖然有三分之一學(xué)生做帶小括號(hào)的計(jì)算題計(jì)算沒有問題，但是他們并不能準(zhǔn)確無(wú)誤地將知識(shí)運(yùn)用于問題的解決;還有一些學(xué)生在解決問題的過(guò)程中，雖然沒有加小括號(hào)，但是都根據(jù)解決問題的邏輯關(guān)系即算理進(jìn)行計(jì)算，并得出了正確的結(jié)果。這說(shuō)明學(xué)生對(duì)于為什么要加小括號(hào)及小括號(hào)的作用是不理解的，由此我們確定了本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)：體會(huì)小括號(hào)引入的必要性，理解，并掌握用小括號(hào)可改變運(yùn)算順序這一算理。

二、 分析教材，明確數(shù)形結(jié)合的語(yǔ)言表征方式

教師在閱讀和分析教材時(shí)，要能夠讀懂編者對(duì)教學(xué)內(nèi)容的具體要求，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況來(lái)確定教學(xué)策略。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在計(jì)算教學(xué)上提出：“應(yīng)通過(guò)解決問題進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，增進(jìn)算法的理解。”學(xué)生在解決問題的過(guò)程中，要把擺一擺、畫一畫、列表格等直觀表征的方法轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)、有邏輯性的語(yǔ)言表征方式，這實(shí)際上就是將數(shù)學(xué)思維外顯化。鑒于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，他們的思維水平相對(duì)較低，思維外顯對(duì)他們來(lái)說(shuō)有一定難度。教師在備課的過(guò)程中，要先分析教材中要求的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)具體教學(xué)內(nèi)容所具備的數(shù)學(xué)特征，然后結(jié)合學(xué)生已有語(yǔ)言表征的特點(diǎn)，明確數(shù)形結(jié)合的語(yǔ)言表征方式，最終幫助學(xué)生明白算理。只有這樣，才能有的放矢地幫助學(xué)生在體驗(yàn)算理的過(guò)程中感悟算法，發(fā)展思維。

北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“精打細(xì)算”的算理就是11.5除以5，用10元除以5等于2元，再把剩下的1.5元變成15角，15角除以5等于3角，2元加3角就是2.3元。在分析教材時(shí)要明確，這個(gè)算理是學(xué)生理解豎式計(jì)算方法的基礎(chǔ)，要理清用哪種數(shù)形結(jié)合的語(yǔ)言表征方式可以把這個(gè)算理講清楚、講到位。實(shí)際教學(xué)中，可以讓學(xué)生借助真實(shí)的人民幣這個(gè)具體的“形”，將除法算理的表達(dá)過(guò)程用語(yǔ)言描述出來(lái)。這樣，學(xué)生一方面能夠通過(guò)真實(shí)的情境理解具體數(shù)字所代表的含義;另一方面，在說(shuō)算理和組織語(yǔ)言的過(guò)程中，也能夠感悟除法算理，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

同樣，北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘法（三）”的算理是[3/4]乘以[1/4]，把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分成4份，其中的3份涂上顏色表示這個(gè)長(zhǎng)方形的[3/4]，再把涂色部分平分成4份，其中一份就占這個(gè)長(zhǎng)方形的[3/8]。教師必須在充分讀懂教材要求的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過(guò)畫圖或者折紙，講出算理得出的過(guò)程。這一算理，是五六年級(jí)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”這一單元中的“分?jǐn)?shù)乘法”時(shí)分?jǐn)?shù)單位轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)，學(xué)生只有理解了這一算理，在以后做分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題轉(zhuǎn)換單位“1”的時(shí)候，才不會(huì)在心里打一個(gè)大大的問號(hào)：為什么這樣一乘，單位“1”就變了呢？

三、抓住本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際情境中抽象出的數(shù)學(xué)問題、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過(guò)程。”可見，情境只是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)抽象化的一個(gè)直觀支撐，為了情境而情境的教學(xué)只會(huì)影響實(shí)際教學(xué)效果。教師只有抓住知識(shí)的本質(zhì)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥，才能“撓”到學(xué)生的“癢處”，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合。

北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“精打細(xì)算”一課中，當(dāng)我們把數(shù)學(xué)問題拋給學(xué)生的時(shí)候，他們一定會(huì)用很多方法解決，這時(shí)教師就需要到學(xué)生中巡視，把不同的方法展示到黑板上。實(shí)際上，用算理來(lái)解決問題的學(xué)生并不多，多數(shù)學(xué)生經(jīng)過(guò)多年的訓(xùn)練，一定會(huì)用豎式去做，但做法有對(duì)有錯(cuò)。這樣一來(lái)，教師就要把多種有價(jià)值的做法都展示到黑板上。學(xué)生匯報(bào)的時(shí)候，要有選擇地安排學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)，先安排用算理的學(xué)生做匯報(bào)，然后安排用豎式算錯(cuò)的學(xué)生匯報(bào)，最后安排用豎式算對(duì)的學(xué)生匯報(bào)。在匯報(bào)的過(guò)程中，教師一定要鼓勵(lì)學(xué)生不懂就問，有的學(xué)生能問到關(guān)鍵點(diǎn)，問不到也沒有關(guān)系。我們要抓住四個(gè)關(guān)鍵問題：整數(shù)部分算完余下的1表示什么？小數(shù)部分余下的5表示什么？明明余下了1.5元，豎式里為什么寫15，而不寫小數(shù)點(diǎn)呢？“商”為什么寫小數(shù)點(diǎn)呢？其中后面的兩個(gè)問題直接抓住了知識(shí)的本質(zhì)，指向算理。這樣一來(lái)，通過(guò)幾個(gè)問題，引領(lǐng)學(xué)生完成了數(shù)形結(jié)合，提升了思維品質(zhì)的深刻性和靈活性。

此外，二年級(jí)上冊(cè)“有多少點(diǎn)子”一課的教學(xué)目標(biāo)是通過(guò)計(jì)算點(diǎn)子的數(shù)量進(jìn)一步體會(huì)加法和乘法之間的聯(lián)系，其知識(shí)的本質(zhì)就是對(duì)乘法意義的理解并靈活運(yùn)用。乘法的意義是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。在引導(dǎo)學(xué)生處理“問題串”的時(shí)候，學(xué)生擺出了7行4列或者是4行7列。無(wú)論怎樣擺，都是4個(gè)7相加或7個(gè)4相加。這時(shí)，教師應(yīng)相機(jī)板書：

7+7+7+7=28 4個(gè)7 4×7 或 7×4

4+4+4+4+4+4+4=28 7個(gè)4 4×7 或 7×4

讓學(xué)生觀察板書并提問：“你發(fā)現(xiàn)了什么？”這里面的信息量很大，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是4個(gè)7相加還是7個(gè)4相加都可以用兩個(gè)相同的算式表示。這時(shí)，需要教師點(diǎn)撥：“看第一行，在這里，4個(gè)7中，7表示加法算式中的什么？4表示什么？算式4×7中7表示什么？4表示什么？”這樣的點(diǎn)撥，緊緊圍繞乘法意義這一本質(zhì)進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生明白了4×7在不同情況下表示不同的意義。意義不同，都可以用相同的算式表示。

四、去情境化，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的抽象建模

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要一個(gè)先“內(nèi)化”再“泛化”的過(guò)程，要通過(guò)大量的例舉，在觀察、比較、分析、抽象、概況的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，將數(shù)學(xué)知識(shí)從具體情境中抽象出來(lái)，由現(xiàn)實(shí)情境走向數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的超越，建立數(shù)學(xué)模型;再反過(guò)來(lái)，將自主建構(gòu)的知識(shí)運(yùn)用于新的情境，解決新的問題。

北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“乘法分配律”這一知識(shí)點(diǎn)，就要經(jīng)歷以下建模過(guò)程。

首先，發(fā)現(xiàn)問題。教材呈現(xiàn)了如下“貼瓷磚”的情境圖，并要求結(jié)合圖與同伴說(shuō)說(shuō)等式3×6+4×3=（6+4）×3為什么成立。學(xué)生通過(guò)兩種不同的算法得出：

3×10+5×10=（3+5）×10，4×8+6×8=（4+6）×8

學(xué)生對(duì)規(guī)律的觀察、理解、分析必須要有一個(gè)量的積累，才會(huì)實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍。教材只提供這一個(gè)情境，教師如果在這里急著總結(jié)乘法分配律的規(guī)律顯然為時(shí)過(guò)早。因此，可以再提供一個(gè)情境問題拓展學(xué)生的感知。

學(xué)校要給28人的合唱隊(duì)買服裝。每件上衣46元，每件褲子54元，一共需要多少元？

學(xué)生會(huì)列出兩個(gè)不同的算式，并發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)算式可以用等號(hào)連接：46×28+54×28=（46+54）×28。在前面兩個(gè)情境的基礎(chǔ)上，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察等號(hào)兩邊的算式，并提問它們有什么特點(diǎn)？

其次，驗(yàn)證規(guī)律。要求舉例驗(yàn)證符合上面規(guī)律的算式就一定相等。

再次，歸納規(guī)律。讓學(xué)生自己總結(jié)和歸納上面得出的規(guī)律。

最后，運(yùn)用規(guī)律。這時(shí)，可以出示拓展類的題型，學(xué)生在運(yùn)用規(guī)律的同時(shí)，學(xué)會(huì)舉一返三，真正達(dá)到對(duì)規(guī)律的理解。

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)并不是簡(jiǎn)單地由教師或其他人傳授給學(xué)生，只能由每個(gè)學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)地加以建構(gòu)，最終形成屬于他們自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。因此，教師必須引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的現(xiàn)象中抽象出它們最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)從方法到模型，從模型到應(yīng)用的轉(zhuǎn)變。

總之，數(shù)學(xué)是抽象和形象相結(jié)合、嚴(yán)謹(jǐn)和直觀相統(tǒng)一的課程，在小學(xué)、中學(xué)乃至高中的整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，數(shù)形結(jié)合思想方法始終貫穿其中，它不僅是一種思想方法，更是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)、解決、探索和研究數(shù)學(xué)問題必備的能力。鑒于數(shù)形結(jié)合的重要性及其意義，教師一定要重視并善于在課堂上進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）