可轉換債券的價值評估
——二叉樹期權模型的應用

■崔 勁 殷 霞 豁秋菊

（北京天健興業資產評估有限公司，北京100039）

一、引言

可轉換債券（Convertible Bonds）是一種可以根據約定條件在適當時間轉換成股票的公司債券，簡稱可轉債。可轉債賦予債券持有人在規定的期限內、依照約定的價格將其所持債券轉換為公司股票的權利，這種權利嵌入在固定收益債券中，因此可轉債有時也被稱為含權債券。

根據《企業會計準則第22 號——金融工具確認和計量》以及《企業會計準則第37 號——金融工具列報》的規定，可轉債屬于同時包含金融負債成分和權益工具成分的復合金融工具，應確認為發行公司的一項金融負債并以公允價值進行計量。隨著我國資本市場的發展，可轉債已逐漸成為上市公司普遍使用的融資方式，存量規模和債券數量都呈現較快增長態勢。截至2021年11月，我國上市公司可轉債存量規模突破6 400 億元，債券數量達到410 只，同比增長分別為20%和9%左右，可轉債已經成為資本市場的重要交易品種，受到投資者和上市公司的高度重視與廣泛歡迎（如圖1所示）。

圖1 我國上市公司可轉債存量規模及數量

然而，由于可轉債在發行時除了設置轉股權，還會附加贖回權、回售權等多項權利，使得可轉債同時具有債券、股權和期權的屬性，導致可轉債在合理定價方面存在諸多困難，這無疑將影響擁有可轉債公司的企業價值的恰當估值及相關會計計量的公允性和合理性，對上市公司債務融資以及可轉債市場的持續健康發展產生不利影響。

在資本市場實務中，可轉債交易市場價格波動激烈，僅在2020年，就發生了橫河轉債兩天翻倍，振幅高達138%，讓市場知道可轉債“有利可圖”的案例；也出現了泰晶轉債一天價格接近腰斬，跌幅達47.68%，要市場領略了可轉債的“無情”，也見證了贖回權的可怕“威力”。可轉債價格看似“神秘莫測”，吸引了資本市場的廣泛關注，其定價研究迫在眉睫。

本文將對可轉債的價值影響因素以及定價模型進行深入剖析，為資產評估服務資本市場及會計計量提供理論指導和實踐參考。

二、可轉債的價值影響因素

可轉債是固定收益債券與嵌入期權的混合產品，因此其價值影響因素可分為債券價值影響因素和嵌入期權價值影響因素兩大類。

（一）債券價值影響因素

債券的基本特征是債券發行人承諾在固定期限內定期（每年、每半年、每季度等）向債券持有人按照固定利率或浮動利率支付利息，其基本價值要素包括票面價值、息票利率、存續期限和違約風險等。

票面價值也稱面值（Face Value），是指標明每份可轉債的價值，也是每份可轉債持有至到期能夠獲得的本金數額。國內發行的可轉債面值一般都默認為100 元。可轉債的票面價值決定了可轉債的純債價值（Pure Value）以及轉股數量，而純債價值是考慮違約風險時測算可回收價值的基礎。

息票利率（Coupon Rate）決定了債券持有人享有的債券收益，進而影響可轉債的純債價值。發行人對支付可轉債利息采用的息票利率可以是固定的也可以是浮動的，不同形式的息票利率在實際操作時的繁簡程度會存在較大差異。

存續期限是指可轉債從發行日至到期日的時間長度，是可轉債的有效期限。可轉債的存續期限一般由發行公司根據自己的償債計劃、償債能力、股本擴張計劃等情況制定。可轉債存續期限越長，投資者面臨的不確定性、違約風險越高，要求的風險補償也就越高，因此會影響可轉債的價值。

違約風險直接影響可轉債內嵌權利的執行以及可轉債作為純債的價值回收情況。一般來說，違約風險越高，可轉債的回收價值就會越低，可轉債的價值也會越低。

（二）嵌入期權價值影響因素

可轉債中的嵌入期權賦予債券持有人或發行人一定的權利，包括轉股權、贖回權、回售權和轉股價格向下修正權等，不同權利的價值影響因素也有所不同。

轉股權的標的資產是公司股票，當可轉債持有人在滿足一定條件執行轉股權時，股價的高低將直接影響可轉債的價值，而轉股時股價的高低受到股票波動率、轉股期限及轉股數量、轉股價格等多種因素的影響。一般來說，股價波動率越高，意味著未來公司股票價格上升的空間就越大，可轉債能夠獲得的轉股收益也會越高，可轉債的價值就越大；轉股期限是指可轉債持有者能將債券轉換為普通股的起始日至截止日的時間，可轉債的起止時間直接影響轉股權利的行使時間，進而影響可轉債的價值；轉股價格越高，轉股數量越少，轉換價值就越低，可轉債價值也就越低。

贖回權的行使一般會受到贖回期限、贖回價格及贖回條件等幾個要素的影響。就贖回期限而言，贖回期限越短，可轉債持有者通過股票増長行使轉股權的機會就越大，可轉債價值也會越高，反之則越低；贖回價格是發行人按照約定贖回可轉債的價格，一種是按照可轉債面值贖回，另一種是面值加當期（應計）利息贖回；贖回條件的設置是贖回條款的關鍵內容，直接決定了贖回權對可轉債價值的影響程度，贖回條件越寬松，對可轉債價值產生的負面影響越大，可轉債的價值就越低。

回售權使可轉債持有人有權按事先規定的價格將債券賣給發行人，當股價大跌或面臨發行人信用危機時，債券持有人可行使回售權以最大限度地減少損失。相對于贖回權而言，回售權是保護投資者的一種權利，因此具有回售權的可轉債價值更高。回售權的行使主要包括回售期限、回售價格及回售條件等要素，可轉債回售期限越長，回售條件越寬松，可轉債價值就越高，反之則越低。

轉股價格向下修正權是指發行人具有對轉股價格進行調整的權利，主要有兩種情形：一種是標的股票出現分紅、增發、送股等行為時，發行人可根據股票市場表現調整轉股價格，以消除股利發放和股票數量變化導致的股票價格變化對可轉債價值的影響，保護可轉債持有者的利益；另一種是當標的股票價格長期下行出現預先設定的情形時，發行方可向下修正轉股價格，以保證可轉債價值的同時確保可轉債持有者能夠盡可能多地轉股，降低大規模償債的風險，但這種修正除了股價需要滿足一定的條件外，最終是否要對轉股價格進行修正還需要經過股東大會的投票同意。

三、二叉樹期權模型在可轉債定價中的應用

（一）定價原理和思路

1.只有轉股權的可轉債定價

以一個零息可轉債為例，假設持有人在可轉債存續期內能夠將面值為N的可轉債轉換為Cr股、股價為S 的股票，那么該可轉債的價值就是獲得本金（即面值）與獲得轉股價值之間的較高者，用公式可表示為：

為進一步理解上述零息可轉債的價值等式，可以對其進行分解，將max 函數中兩部分分別減去面值N，得到：

此時該可轉債的價值等于普通零息債券的面值加上一個看漲期權的價值即這個看漲期權的價值也是轉換權的價值，其中執行價是票面價值N，只要轉股價值高于面值，可轉債持有人就會行使轉股權，可轉債價值也會高于票面價值。

需要注意的是，若該可轉債只有在債券到期時才能行使轉股權，則上述看漲期權就是一個歐式看漲期權，在不考慮違約風險及利息支付的情況下可采用標準BS 模型對其進行定價：

式中：

其中：S是持有人在轉股時標的股票的市場價格，為轉換率，N為可轉債票面價值，t是可轉債的存續期限，r是對應于該期限的無風險利率，是標的股票的波動方差。

然而，現實中可轉債一般在發行一段時間后（常見是6 個月）至債券到期前都具有轉股權，此時上述看漲期權就是一個美式看漲期權，再加上很多可轉債在其存續期內的不同時點都有付息的要求，如需要較為準確地衡量可轉債的價值，違約風險就需要被考慮進來，此時求解其價值就需要采用其他定價模型如二叉樹模型，關于二叉樹模型的具體應用將在后面以實例的形式做詳細介紹。

2.加入贖回權和回售權的可轉債定價

具有贖回權的可轉債，發行人會根據債券的存續價值①對應時點可轉債未行使任何權利的價值（Continuation Value）與贖回價值的大小判斷是否進行贖回，然后可轉債持有人會再根據股價及相關條件判斷是否轉股或者回售，這一過程決定了可轉債的定價思路，可用函數表示如下：

顯然，對于具有贖回權和回售權的可轉債，BS模型已經無法解決其定價問題，此時以股價為判斷標準并行使各種權利的可轉債定價問題，就可以利用二叉樹模型在確定股價走勢的基礎上，對贖回權、回售權及轉股價格向下修正權進行判斷，進而確定二叉樹各節點上可行使的權利，據此對各節點的可轉債價值進行測算。具體來說，利用二叉樹對上述可轉債進行定價的主要思路是：

第一步：研究發行人標的股票的基本信息以及可轉債的具體條款，比如股票價格、股息率及歷史波動率、可轉債各種內嵌權利的要求，包括但不限于各權利的觸發條件、執行價格、行使時間及期限等與可轉債價值有關的信息。

第二步：確定股價二叉樹模型的上升因子u、下降因子d以及上升概率pu和下降概率pd，在考慮違約風險時還需要確定發行人的違約概率pb。常用于可轉債定價的二叉樹模型是基于Cox,Ross and Rubinstein（簡稱CRR）提出的股價二叉樹模型（簡稱為CRR tree），在該模型中不考慮違約風險和考慮違約風險的各因子測算公式如下：

（1）不考慮違約風險的股價二叉樹：

（2）考慮違約風險的股價二叉樹：

兩個模型的相同參數具有相同的含義，主要差異在于參數λ，λ被稱之為違約密度（Default Intensity），是時間的函數，在應用中常被設定為一個常數，也可用違約概率（Default Probability）倒推獲得。已知違約密度，則發行人的違約概率可表示為：

第三步：根據股價二叉樹模型模擬股價走勢路徑，并計算各節點的股價。股價二叉樹可以用圖2表示，實線代表各節點股價均經歷上升和下降兩個走勢，虛線部分表示發行人公司破產，此時股價降為0。

圖2 股價二叉樹走勢

等式兩邊同時除以S，則有：

若考慮股息率q的影響，則上式就變成：

這一推導過程能夠很好地理解股票上升與下降概率的含義，盡管式中含有違約密度，但其中并不包含違約概率，這一點從股票價格S 等式中可以看出來。理解這一點非常重要，因為在計算可轉債價值時，和也會同時出現在其定價公式中，切忌出現因中含有違約密度就不再考慮違約風險或違約概率而造成的錯誤。

第四步：利用股價二叉樹測算各節點的轉股價值并結合可轉債各項權利條款判斷是否觸發贖回權、回售權，對于設置轉股價格向下修正條款的可轉債，需要根據各節點股價進行判斷并確定新的轉股價。

轉股價值直接決定可轉債價值的大小，但贖回權、回售權則影響轉股的執行時間和執行效果。利用股價二叉樹判斷各節點是否觸發贖回、回售等條款，為發行人和可轉債持有人確定最佳的執行策略提供依據，作為確定各節點可轉債價值的基礎。

第五步：確定各節點的可轉債價值，形成可轉債價值二叉樹。各節點的可轉債價值可根據下列公式測算：

在可轉債價值二叉樹的終端節點，可轉債的存續價值等于其面值加上當期（應計）利息，即到期時可轉債持有人收到本金和利息，在二叉樹的中間節點，存續價值等于后一節點的可轉債價值經過折現并乘以相應的概率進行求和，同時考慮當期利息的影響，用圖形表示如圖3：

圖3 可轉債的存續價值

用公式表示可轉債的存續價值，則有：

需要說明的是，發行公司在發生破產或違約時，公司股價降為0，可轉債作為固定收益證券的價值也將面臨損失，即還本付息部分也會出現支付困難，但債券持有人享有標的公司變賣財產并給予優先支付的權利。根據優先級及有無擔保的不同，債券面臨違約時的回售率（Recovery Rate）有很大差異。下表是穆迪評級公司公布的不同級別的公司債在違約時的回售情況，優先級越高，平均回收率越高；有抵押擔保債券回收率高于無抵押擔保債券的回收率，優先支付且有抵押擔保的債券平均回收率在50%左右，次級債券回收率在30%左右甚至更低。

因此，在發行公司面臨破產或違約時，可轉債在到期時的可回收價值可表示為：

Ps=0,t=R×BF,t

第六步：確定評估時點可轉債的理論價值。發行人與可轉債持有人在各節點做出了理性決策之后，根據各節點已知的贖回價格、可轉債存續價值、轉股價值及回售價格，各節點的可轉債價值就可以根據進行確定，并成為前一節點求取可轉債存續價值的基礎，如此循環往復直到第一個時點，經過折現就能得到評估時點（t=0 時刻）的可轉債理論價值，公式如下：

（二）應用舉例

本案例以國內A 上市公司發行的A 可轉債為例，展示二叉樹模型在可轉債定價中的具體應用，為評估人員實際操作提供更為直觀的理解。

為重點說明二叉樹在可轉債定價中的應用思路，本案例將該可轉債的具體信息做了一定的簡化處理，比如付息日定在每年年底，贖回權、回售權和轉股價格向下修正權的觸發條件由多個交易日股價滿足某一水平的要求簡化為對各節點股價是否滿足該要求的判斷。根據A 公司發布的《公開發行可轉換公司債券上市公告書》中的信息，該可轉債重要的條款信息簡化如下表2所示。

表2 A 可轉債條款信息

續表

根據上述可轉債具體條款的內容，可提煉出二叉樹定價模型所需要的參數信息如表3所示，其中股票波動率及違約密度是主觀給定的，實際操作中可結合發行公司標的股票的歷史數據表現采用一定的方法對其進行量化，或對管理層進行訪談得到，在此暫不做贅述。

表3 二叉樹模型對可轉債定價所需的基本參數信息

根據CRR 模型可以測算二叉樹模型所需的上升因子、下降因子，上升概率和下降概率等參數，如表4所示。

表4 參數測算結果

根據上表具體參數信息，股價二叉樹可表示如表5所示。

表5 股價二叉樹測算結果

得到股價二叉樹之后，需要根據各節點的股價水平判斷是否觸發轉股價格向下修正條款，以此確定各節點最新的轉股價格。

對于股價始終處于上漲和始終處于下跌的兩條特殊路徑上的節點，由于到達這些節點的情形只有一種路徑，因此可以直接通過轉股價格向下修正條款的約束進行確定，即當前股價水平是否低于當期轉股價格的90%，如果是，則將當前股價水平作為最新的轉股價；如果不是，則保持當期轉股價格不變。

對于其余股價節點，都由前一期兩個股價路徑經過下降、上升而來，回溯每種到達該節點的股價路徑，通過可轉債的特別向下修正條款確定該路徑上哪些節點的轉股價格需要進行修正。對于每一條可能的股價路徑，都可以得到一個轉股價格，而該二叉樹節點對應的轉股價格即是所有股價路徑對應的轉股價格的期望，即：

通過對各節點股價水平的判斷，形成的最新轉股價二叉樹如下表6所示，表中藍色部分的每一節點轉股價均是其對應股價路徑上各轉股價格的期望值。

表6 最新轉股價二叉樹

同樣地，根據各節點股價水平以及贖回、回售條款的要求，對各節點是否觸發贖回或回售進行判斷，即該節點股價是否高于當前轉股價的130%（觸發贖回）還是低于當前轉股價的70%（觸發回售），判斷結果如下表所示，“-”表示既沒有觸發贖回，也沒有觸發回售。需要注意的是，根據條款信息，發行人在可轉債發行6 個月后至可轉債到期（即t=1 至t=6）在滿足條件的情況下均具有贖回權，而可轉債持有人僅僅在到期前兩年（即t=5 和t=6）滿足條件時才具有回售權。

表7 不同時點觸發的權利

續表

明確了各節點最新轉股價以及觸發的權利條款，可以得到各節點的轉股價值、純債價值（用來確定各節點違約時的債券可回收價值）、存續價值以及可轉債理論價值，由于存續價值的計算會用到它后一節點的可轉債理論價值，因此在此僅展示可轉債的轉股價值、純債價值及理論價值，測算結果分別如表8、表9、表10所示：

表1 1982～2012年企業債券的回售率（面值百分比）

表8 轉股價值二叉樹（轉股價值

表8 轉股價值二叉樹（轉股價值

t 0 1 2 3 4 5 6 100.40 122.74 150.18 183.71 224.35 273.83 100.40 114.12 123.42 140.35 163.79 194.19 100.60 111.26 121.97 135.45 153.26 101.00 110.45 120.64 132.53 101.50 115.32 123.01 101.80 112.26 102.00

表9 可轉債的純債價值

表10 可轉債的理論價值

需要說明的是，表10 橙色單元格表示可轉債面臨違約時的可回收價值（各節點可回收價值回收率×該節點對應的純債價值），以體現違約風險對可轉債價值的影響，考慮了違約風險后的可轉債價值樹更像是三叉樹模型，這也是很多研究學者在引入波動率、利率和違約密度函數等更復雜情形時直接建立三叉樹模型的原因。

通過以上計算過程，該可轉債的理論價值為110.08 元。

四、小結

可轉債除了具有轉股權以外，還有很多其他附加權利，如贖回權、回售權和轉股價格向下修正權，加上這些權利的行使期限一般會貫穿可轉債整個存續期間，因此用來對歐式期權進行定價的標準BS 模型對可轉債評估就具有較大的局限性。而二叉樹定價模型的理論相對成熟，且能夠兼顧利率、股價以及可轉債違約風險等影響可轉債價值的諸多因素，是對可轉債較為合適的定價方法。雖然也有很多學者采用蒙特卡洛模擬最小二乘法對可轉債進行定價，但該方法需要模擬大量的路徑，同時還需要對每條路徑的中間時點都需要進行策略判斷，然后進行價值回歸，定價精度的提高伴隨著較大的時間成本；此外，蒙特卡洛模型較少也難以衡量違約風險對可轉債價值的影響。綜上，二叉樹定價模型是理論與實務中解決可轉債定價問題較為適用的評估方法。