二階共振哈密頓方程重周期解 ①

邢秀梅

伊犁師范大學 應用數學研究所， 新疆 伊寧 835000

平面時變Hamilton周期系統的一個典型模型是x″+f(t，x)=0， 其中f(t，x)∈C1(R×R， R)關于變量t是2π周期的． 關于此系統周期解的存在性和重性的研究已開展了很多工作： 關于半線性非奇異位勢的工作見文獻[1-7]， 關于奇異位勢的工作見文獻[8-11]， 關于擾動方程的工作見文獻[12-14]． 本文考慮二階半線性共振Hamilton方程：

x″+g(x)=p(t，x，x′)

(1)

(2)

p滿足

(3)

有界、 連續且關于第一個變量是2π周期的．

當p(t，x，y)=p(t)時， 方程(1)即為Duffing方程：

x″+g(x)=p(t)

(4)

(5)

和全局李普希茲條件

|g(x)-g(y)|≤L|x-y|(其中L為常數)

(6)

下， 證明方程(4)至少存在一個2π周期解和無窮多次調和解． 文獻[3]將文獻[1]中的振動位勢條件減弱為弱振動位勢

(7)

亦得到類似結論． 文獻[4]去掉李普希茲條件， 增加弱振動位勢條件和共振條件

(8)

得出方程(4)至少存在一個2π周期解．

最近在條件

(9)

與條件

(10)

下， 文獻[5]證明方程(1)至少存在一個2π周期解． 注意條件(10)排除了τ(e)的共振點． 一個自然的問題是： 在半線性共振條件下， 加怎樣的條件能保證方程(1)存在周期解． 本文結論如下．

為了證明定理1， 先給出一些引理．

引理1[4]設條件(2)成立， 則存在常數e0>0， 使得當e>e0時，Γe是一條包圍原點的星形閉曲線．

引理2[4]設條件(2)成立，M為固定常數， 對滿足0≤y-M≤u≤y≤e的u和y， 有

考慮方程(1)的等價系統

x′=yy′=-g(x)+p(t，x，y)

(11)

它的極坐標形式為：

(12)

以(r(t)，θ(t))， 表示方程(12)滿足(r(0，r0，θ0)，θ(0，r0，θ0))=(r0，θ0)的解． 類似文獻[4]可得：

引理4假設條件(2)成立， 則有：

1) 方程(11)(或(12))的每個解都在t軸上存在；

引理4結論2)表明， 在任意確定的時段內， 對充分大的e， 自Fe上出發的方程(11)的解Λ是繞原點順時針旋轉的． 記解Λ繞一圈所用的時間為T．

證參考文獻[4]方法． 證明過程分兩步．

(13)

當t∈[α，t1]時， 有A≤x≤x(t1)． 由于x′(t1)=0， 方程(11)得

設δ(A)=inf{g(x)：x≥A}， 由條件(2)， 當A?1時， 存在c>0， 使得δ(A)>cA， 因此

(14)

由條件(2)和式(13)知， 存在常數M>0使得B-A

(15)

兩邊積分得

由引理 3、 條件(2)和式(13)， 綜合可得

(16)

進而

對解Λ經過第i象限的時間ti(i=2，3，4)有類似估計， 最后可得

2) 對一般的從(x0，y0)∈Fe出發的解Λ， 只需再估計解Λ通過下述區域

所需時間Δt．

x-

(17)

(18)

對任何正整數j， 設Tj(e)是從Fe上出發的解轉j圈所用的時間， 由c1e0和c1<τ(e)

(19)

1) 當(r0，θ0)∈Fak時，θ(2mπ，r0，θ0)-θ0<-2nπ；

2) 當(r0，θ0)∈Fbk時，θ(2mπ，r0，θ0)-θ0>-2nπ．

θ(2mπ，r0，θ0)-θ0<-2nπ

如果j=n， 那么對k足夠大， 有

從而

因此

可類似證明結論2)．

再證明2π周期解的存在性． 考慮

x″+g(x)=λp(t，x，y)λ∈[0， 1]

(20)

定義如下算子

這說明解F在2mπ時間內圍繞原點順時針運動超過n圈， 但是達不到n+1圈， 所以不是2mπ周期解， 也不是2π周期解．