等仿射曲線收縮流的Harnack不等式

于延華, 金 伶

(東北大學 理學院, 遼寧 沈陽 110819)

在幾何分析領域,微分Harnack不等式是一個重要的研究課題.20世紀60年代初,Moser[1]首次引入了線性拋物型微分方程正解的Harnack不等式.此后,Li和Yau[2]研究了完備黎曼流形上的拋物型方程,并利用最大值原理得到了黎曼流形上熱方程ut=Δu正解的梯度估計和Harnack不等式.Hamilton[3-5]用同樣的方法進一步證明了Ricci流上的Harnack不等式以及一些非線性方程的平均曲率流上的Harnack不等式.以上研究奠定了微分Harnack不等式的基礎,故此類微分估計也被稱為“Li-Yau-Hamilton”型(LYH型)估計.近幾十年來,微分Harnack不等式成為了幾何分析領域中主要的研究對象之一,許多學者在這領域作出了重大貢獻[6-7].

同時,幾何流在近些年來也逐漸成為了幾何研究的熱點內容[8-9],而且發展迅速.Gage等[10]證明了當初始嵌入曲線是平面簡單閉凸曲線時,凸曲線在有限時間內收縮到一個點.1987年,Grayson[11]證明了嵌入平面中的任何閉合曲線在有限時間內變為凸曲線,并最終收縮到一個點.1994年,Sapiro等[12]對凸曲線考慮了歐幾里得曲線收縮流的仿射模擬，在此情況下,演化曲線的速度是由仿射法向量給出.此后,Andrews[13]將上述結果推廣到了根據其仿射法線移動的凸超曲面.此外,Angenent等[14]研究了關于非凸曲線的仿射熱方程.

基于上述的研究成果,本文將等仿射曲線收縮流和微分Harnack不等式問題相結合,旨在研究等仿射曲線收縮流的微分Harnack不等式性質.

1 預備知識

設C(p):S1→R2(S1表示單位圓)為光滑嵌入曲線, 其中p為一般參數.取參數s使得曲線C的表達式……