保等價(jià)關(guān)系的完全變換半群的極大子半群

孟玲，許新齋

(1.青島市園林林業(yè)技術(shù)學(xué)校 數(shù)學(xué)教研室，山東 青島 266001；2.山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，山東 濟(jì)南 250014)

極大子半群在半群理論的發(fā)展中扮演著重要的角色,多年來(lái)一直是研究的熱點(diǎn)之一,金久林等[1]研究了有限全變換半群變種具有某種性質(zhì)的極大子半群,而本文將對(duì)保等價(jià)關(guān)系的完全變換半群TE(X)的極大子半群進(jìn)行刻畫(huà)。本文未加說(shuō)明的概念和符號(hào)請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[2-4]。

本文假設(shè)X是含有n個(gè)元的有限集,TX表示集合X上的完全變換半群。E是X上的等價(jià)關(guān)系,X有m個(gè)E類,每個(gè)E類有k個(gè)元(以下假定m≥3，k≥3)。令TE(X)={α∈TX|?(a,b)∈E,(aα,bα)∈E},則TE(X)是TX的一個(gè)子半群。

KE(n,r)={α∈TE(X)||imα|≤r}。

定義1[5]設(shè)E是集合X上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。Y,Z是集合X的子集,φ是從Y到Z的映射。如果對(duì)任意的y,y'∈Y,由(y,y')∈E,可以推出(yφ,y'φ)∈E,則稱φ是保E關(guān)系的。如果(y,y')∈E當(dāng)且僅當(dāng)(yφ,y'φ)∈E,則稱φ是保E*關(guān)系的。

故

如果對(duì)任意的E類Ai都有imα∩Ai=φ或 imα∩Ai=Ai,則不妨設(shè)imα∩A1=φ,由此一定存在三個(gè)E類B1,B2,C使得(B1∪B2)α?C。設(shè)θ是B1到A1的一一映射。 定義aχ1，bχ2如下:

由引理1、引理2及引理3,本文可以得到下面的結(jié)論。

推論1TE(X)Λ是TE(X)的極大子半群。

證明設(shè)α∈Λ,由Λ的定義可知,α恰好將X的兩個(gè)E類M,M'一一映射到X的E類N中,且α|X(M∪M')是一一映射。這樣α?〈TE(X)Λ〉,因此TE(X)Λ是TE(X)的一個(gè)子半群。

取定β∈Λ,要證TE(X)Λ的極大性,只需證〈TE(X)Λ，β〉=TE(X)即可。對(duì)任意的γ∈Λ,由Λ的定義可知,一定存在X的三個(gè)E類A1,A2,A使得A1γ=A2γ=A,且恰存在X的E類C'使得Ximγ=C'。對(duì)于β,同樣存在三個(gè)E類B1,B2,B,滿足B1β=B2β=B,而且存在X中E類C滿足Ximβ=C。在A與B間定義一個(gè)一一映射ψ,在X(A1∪A2)與X(B1∪B2)之間定義一個(gè)保序的一一映射φ,定義aρ1如下:

在C與C'之間定義一個(gè)一一映射θ。定義aρ2如下：

綜上可知,TE(X)Λ是TE(X)的極大子半群。

由引理1及推論1,本文可以直接得到下面的結(jié)論。