多因素影響下水工隧洞最小覆蓋層厚度力學分析

楊自友，程長清，孫天宇，俞 凡，楊 明

(安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

目前，水工隧洞最小覆蓋層厚度的計算準則主要有水力劈裂準則、初始應力場最小主應力準則、雪山準則、挪威準則等，但這些計算準則均不適用于深埋水工隧洞的計算。由巖體的彈塑性理論可知，當水工隧洞內水壓力過大時，內部巖體會出現塑性變形，水工隧洞最小覆蓋層厚度可由塑性區半徑轉換得到，但該理論未考慮外水[1]、襯砌等因素對最小覆蓋層厚度的影響；榮傳新等[2]假設襯砌內壁處滲透水壓力為0，基于流固耦合理論進行煤礦立井彈塑性力學分析，但實際上，透水的混凝土襯砌材料的內壁處滲透水壓力往往不為0，該模型未考慮內水壓力對塑性區的影響，同時未考慮巖體與襯砌滲透系數對塑性區分布的影響；張常光[3]提出了基于統一強度理論計算施工期和運行期水工隧洞應力和位移的方法，但在計算塑性區彈性應變時，該方法考慮彈性應變為常量且未進行最小覆蓋層厚度計算；王睢等[4]、李宗利等[5]分別采用D-P準則、M-C準則計算了水工隧洞的彈塑性解，但計算中未考慮襯砌、巖土體剪脹性等因素對塑性區的影響；S. K. SHARAN[6]、蔡海兵等[7]、C. CARRANZ-TORRES等[8]提出了基于廣義Hoek-Brown準則的巖土體位移計算模型，分析了考慮巖土體剪脹與否的塑性區位移變化規律，但該模型也不能反映水工隧洞在不同內水壓力下引起的圍巖塑性區變化；范浩等[9]、張常光等[10]利用統一強度理論分析了滲流情況下隧洞的穩定性；漆江等[11]將外水壓力視為體積力分析了圍巖的穩定性；趙均海等[12]、潘繼良等[13]分別基于滲流和不同強度理論分析了圍巖的穩定性。

筆者分別采用Drucker-Prager(D-P)準則和統一強度理論，考慮滲流[14-15]、剪脹性[16-17]、襯砌等因素，并將塑性區彈性應變視為變量，計算了水工隧洞最小覆蓋層厚度h，分析了滲透系數k、中間主應力[18]系數n、強度參數c、φ等對于最小覆蓋層厚度h[19]的影響。

1 統一強度理論與D-P準則

1.1 統一強度理論

統一強度理論同時考慮了單元體上所受到的正應力與剪應力對材料破壞的貢獻，其數學表達式如式(1)、式(2)：

(1)

(2)

式中：b為反映中間主剪應力及相應面上正應力對材料屈服或破壞影響程度的系數；c為材料的黏聚力，MPa；φ為材料的內摩擦角，(°)；σ1、σ2、σ3分別為最大、中間、最小主應力，MPa。

當b=0時，統一強度理論可退化為Mohr-Coulomb準則；當b=1時，可退化為雙剪強度準則；當0

對于塑性巖體中的平面應變問題，由文獻[3]可知：

(3)

于是，統一強度理論數學表達式可轉化為

(4)

筆者提出水工隧洞最小覆蓋層厚度的要求，主要是為了防止內水壓力過大導致上部巖體被掀起。水工隧洞在輸水運行過程中，大主應力為環向應力σθ，小主應力為徑向應力σr[5]，因此分析過程中取σ1=σθ，σ2=σr，有

σθ-Aσr=B

(5)

式中：A=[2(1+sinφ)(1+b)-b(1-sinφ)]/[(b+2)(1-

sinφ)]；B=[4ccosφ(1+b)]/[(1-sinφ)(b+2)]。

1.2 D-P準則

D-P準則同時考慮應力偏張量第二不變量與應力張量第一不變量，建立符合巖土體的圓錐形屈服曲面，其數學表達式如(6)、式(7)：

(6)

(7)

引入反映σ1、σ2、σ3之間關系的中間主應力系數n〔n=(σ2-σ3)/(σ1-σ2)〕，由σ1≥σ2≥σ3可知：0≤n≤1，于是

σ2=nσ1+(1-n)σ3

(8)

將式(8)代入式(7)，得

I1=(1+n)σ1+(2-n)σ3

于是，D-P準則可簡寫為

σθ-Cσr=D

(9)

2 基于統一強度理論的有壓隧洞最小覆蓋層厚度計算

2.1 基本假定

①隧洞為連續、均勻、各向同性的理想彈塑性體；

②隧洞為圓形，無限長；

③忽略隧洞影響范圍內的巖體自重；

④原巖應力為各向等壓狀態；

⑤襯砌為理想彈性材料。

簡化后有壓水工隧洞彈塑性區分布模型如圖1。

r0、r1分別為襯砌的內、外半徑，m；r2為塑性區半徑，m；Rc為當隧洞圍巖穩定滲流的外水壓力與原始滲流外水壓力相同時的半徑，m；R0為水工隧洞中心到地面的距離，m；p0為襯砌內水壓力，MPa；pm為r0處的滲流外水壓力，MPa；pi為原始滲流外水壓力，MPa。 圖1 有壓水工隧洞彈塑區分布Fig. 1 Elastic-plastic zone distribution of pressurized hydraulic tunnel

2.2 滲流場分析

根據地下水連續方程及達西定律，滲流微分方程如式(10)：

(10)

pw按式(11)或式(12)計算[1]：

(11)

(12)

式中：pw為滲流體積力，MPa；kc、kd分別為混凝土襯砌與圍巖的滲透系數， cm/s；其他符號同前。

2.3 圍巖應力分析

力的平衡方程為[2]

(13)

而考慮滲流的統一強度理論為

(σθ+ηpw)-A(σr+ηpw)=B

(14)

將式(14)、式(12)代入式(13)，得到

(15)

求解式(15)得：

(16)

考慮邊界條件

(17)

求得

(18)

從而，得到塑性區應力分布解析解表達式

(19)

(20)

(21)

(22)

當r=r2時，彈性區應力同樣滿足式(14)，考慮彈塑性界面上的應力連續，有

(23)

(24)

2.4 圍巖塑性區位移分析

考慮圍巖的剪脹性，同時考慮塑性區彈性應變為變量，則塑性區位移為[7]

(25)

2.5 混凝土襯砌應力分析

工程實際中，二次混凝土襯砌不允許出現塑性破壞，故按照完全彈性體對襯砌進行計算。

幾何方程：

(26)

本構方程：

(27)

將式(26)代入式(27)，再聯合式(11)，一并代入式(13)，得

(28)

對式(28)進行積分，得

(29)

將式(29)代入式(26)，再代入式(27)，得

(30)

考慮邊界條件

(31)

求解得到C2、C3：

(32)

(33)

將式(32)、式(33)代入式(29)中，令r=r1，β=(1 + sinψ)/(1-sinψ)，聯立式(29)，可求得p1；再根據式(24)，可求得塑性區半徑r2。

最小覆蓋層厚度h按式(34)計算[19]：

h=ωr2-r1

(34)

3 基于D-P準則的有壓隧洞最小覆蓋層厚度計算

(35)

(36)

(37)

(38)

4 案例分析

根據文獻[3]，某水工隧洞半徑r1=2.5 m。圍巖力學參數Ed=20 000 MPa，μd=0.3，c=0.1 MPa，φ=28°，地應力q=1.0 MPa，剪脹系數β=1，圍巖滲透系數kd=5.0×10-4cm/s。混凝土襯砌內半徑r0=2 m，外半徑為r1=2.5 m，襯砌相關參數為Ec=30 000 MPa，μc=0.15，混凝土襯砌滲透系數kc=1.0 × 10-7cm/s。襯砌承受內水壓力p0=6 MPa。其他相關參數pi=1.0 MPa，pm=0.5 MPa，η=1.0，由鉆孔實驗及抽水試驗知Rc=8r1。

據分析，由統一強度理論求解的最小覆蓋層厚度h受β，kd/kc，b，c，φ等因素影響；由D-P準則計算的最小覆蓋層厚度h受β，kd/kc，n，c，φ等因素影響。

4.1 剪脹系數對最小覆蓋層厚度影響

當c=0.1 MPa，φ=28°，混凝土滲透系數kc不變，中間主應力系數n=0.5時，剪脹系數β對最小覆蓋層厚度h的影響曲線如圖2。

圖2 β-h的關系曲線Fig. 2 Relationship curves of β-h

由圖2可以看出：

1)隨著β的增大，無論是采用D-P準則還是統一強度理論，計算得到的h值均逐漸增大。

2)當β=2.0～2.2，兩條曲線相交，說明此時兩者h值一致，在此點，剪脹系數對兩種理論計算結果的影響是一致的。

3)當β=1.0→2.77，采用D-P準則，計算的h值從2.92 m變化到5.27 m，相差2.35 m，增大了約80.5%；采用統一強度理論，計算的h值從3.08 m變化到5.20 m，相差2.12 m，增大了約68.8%。兩種理論計算結果均表明：剪脹系數β對最小覆蓋層厚度計算結果影響較大，且在剪脹系數增大相同時，采用D-P準則計算的結果增大更快。

4.2 滲透系數比對最小覆蓋層厚度影響

當c=0.1 MPa，φ=28°，β=2.0，n=0.5時，圍巖與混凝土襯砌滲透系數比kd/kc對最小覆蓋層厚度h的影響曲線如圖3。

圖3 kd/kc-h的關系曲線Fig. 3 Curves of kd/kc-h

由圖3可以看出：

1)在kd/kc=0→5階段，采用兩種理論計算的h值均急速減小。采用D-P準則計算的h值從5.22 m變化到3.70 m，相差1.52 m，減小了29.2%；采用統一強度理論計算的h值從5.02 m變化到3.93 m，相差1.09 m，減小了21.7%。此階段，kd/kc越大，h值越小。

2)在kd/kc=5→500階段，h值逐漸增大。

3)在kd/kc=500→5 000階段，隨著kd/kc的增大，h值幾乎無太大變化，兩種理論計算結果約為4.60 m。

4) 當不考慮滲流時(η=0)，采用D-P準則與采用統一強度理論計算的最小覆蓋層厚度分別為8.92、8.42 m，比kd/kc=500→5 000階段即考慮滲流場情況下的最小覆蓋層厚度分別增大了93.91%、83.04%。可見不考慮滲流場時，巖體有效應力增大，相當于增大了最小覆蓋層厚度。因此在計算中不能忽略外水對最小覆蓋層厚度影響。

4.3 強度參數對最小覆蓋層厚度影響

當滲透系數比kd/kc不變，中間主應力系數n=0.5，剪脹系數β=2，其他參數不變時，巖石強度參數與最小覆蓋層厚度h的關系曲線如圖4。

圖4 h-c、h-φ的關系曲線Fig. 4 Relationship curves of h-c, h-φ

由圖4可以看出：

1) 隨著c的增大，兩種理論計算的h值均呈現線性減小趨勢。

2) 當φ=22° → 40°時，采用統一強度理論計算，h=4.61 m→ 4.74 m，增長率為2.82%；采用D-P準則計算，h值先減小后增大，曲線呈現下凹的特點，當φ=26°時，h值達到最小。

綜上，在設計中，應選取c值較大而φ≈26°的巖層，這樣能夠有效地減小最小覆蓋層厚度。

4.4 中間主應力系數對最小覆蓋層厚度影響

當c=0.1 MPa，φ=28°，滲透系數比kd/kc不變，剪脹系數β=2時，中間主應力系數n與最小覆蓋層厚度h的關系曲線如圖5。由圖5可以看出：

1)隨著中間主應力系數n的增大，統一強度理論計算的h值逐漸增大。

2)D-P準則計算的h值先減小后增大，表明D-P準則計算結果更符合實際情況。曲線在中間主應力系數n=0.3、0.7附近出現拐點，體現了中間主應力的區間性。

圖5 h-n的關系曲線Fig. 5 Relationship curves of h-n

5 結 論

1) 分別推導了采用統一強度理論和D-P準則，考慮滲流、襯砌模型的最小覆蓋層厚度計算公式。由統一強度理論求得的理論解可以衍生出許多其他解：當b=0時，統一強度理論可退化為M-C準則計算結果；當b=1時，可退化為雙剪強度準則計算結果；當b=0～1時，可得到一系列新解答；當η=0時，可得到不考慮滲流的計算結果；當β=1.0時，可得到不考慮巖體剪脹性的解答。

2) 隨著巖體內摩擦角φ的增大，采用統一強度理論計算的h值逐漸增大，采用D-P準則計算的h值先減小后增大；隨著黏聚力c的增大，無論采用D-P準則還是統一強度理論計算，h值均逐漸減小。因此，設計中應盡量取c較大而φ≈ 26°的巖體。

3) 隨著剪脹系數β的增大，兩種理論計算的h值均逐漸增大；當β=2.0～2.5時，兩種理論計算的h值較為接近；隨著中間主應力系數n的增大，采用統一強度理論計算的h值增大，而采用D-P準則計算的h值出現波動，體現了中間主應力的區間效應。

4) 當巖體與襯砌滲透系數的比kd/kc相差較大時，最小覆蓋層厚度無太大變化；當不考慮滲流時，最小覆蓋層厚度較考慮滲流時出現較大的波動。因此，設計中宜控制kd/kc≈500。