有序思考數(shù)圖形

黃旭軍

阿木老師剛進教室，就看到班里四大“調(diào)皮王”站在前面。原來，他們推來推去，撞到了花盆，花盆倒地摔成了八塊。“我們真不是故意的，我們愿受罰！”四個“調(diào)皮王”誠懇地說。

阿木老師哈哈一笑：“就罰你們當臨時演員吧！”于是他在黑板上出了一道題目：四個學生，每兩個學生一組，共有多少種不同的分組方法？

在同學們嘻嘻哈哈的笑聲中，四個同學排來排去，排暈了。“老師，我們剛剛排了幾種了？”阿木老師讓他們回到位子上，然后嚴肅地說道：“無序思考，會事倍功半！”大家這下安靜下來，細細地思考起來。過了一會兒，一位同學舉手表示完成了，然后，他把思考過程寫到了黑板上。

阿木老師點點頭，在黑板上畫了一條線，讓大家數(shù)一數(shù)共有多少條線段。

“數(shù)學王子”看機會來了，得意地說：“我畫個圖說明一下。”

“因為線段沒有方向，即線段AB與線段BA是同一條，所以共有3+2+1=6（條）線段。”

同學們恍然大悟：“這兩道題目其實是一樣的呀！”阿木老師笑著不說話，又出了幾道題。

右圖中有幾個三角形？

數(shù)圖形，要做到有序思考，常用的方法是枚舉法。

先數(shù)單個的三角形：△OAB、△OBC、△OCD，有3個。

再數(shù)由2個三角形拼成的三角形：△OAC、△OBD，有2個。

最后數(shù)由3個三角形拼成的三角形：△OAD，有1個。

共有3+2+1=6（個）。

因為本題中的每個三角形都可以由頂點O和線段AD上的任意1條線段確定，所以只要數(shù)出線段AD上共有幾條線段就可以了。

線段AD上有4個端點，以A點為其中1個端點的線段有：AB，AC，AD;以B點為其中1個端點的線段有：BA，BC，BD;以C點為其中1個端點的線段有：CA，CB，CD;以D點為其中1個端點的線段有：DC，DB，DA。

去掉重復線段，共有3+2+1=6（條）線段，所以共有6個三角形。

大一點兒的正方形，最起碼是由4個、9個、16個（平方數(shù)）……小正方形組成的。

枚舉法：

最小的正方形：9個。

稍大的正方形：4個。

最大的正方形：1個。

共有9+4+1=14（個）。

數(shù)線段求正方形個數(shù)。

每條邊上，邊長為1的線段有3條，所以邊長為1的正方形有3×3=9（個）;

每條邊上，邊長為2的線段有2條，所以邊長為2的正方形有2×2=4（個）;

每條邊上，邊長為3的線段有1條，所以邊長為3的正方形有1×1=1（個）。

共有9+4+1=14（個）。

最小的基本長方形共有12個，長邊有4個端點，寬邊有5個端點。

試著考慮枚舉法。最小的基本長方形有12個，由2個基本長方形拼成的有……

過程繁雜，不太適合用枚舉法。

一個長方形就是一種長邊和一種寬邊的組合，所以可以利用數(shù)線段的方法。

如圖：

長邊有3+2+1=6（種）線段;寬邊有4+3+2+1=10（種）線段。

根據(jù)排列組合的乘法計數(shù)原理，共有6×10=60（個）長方形。