四旋翼無人機固定時間姿態輸出反饋控制

邵士凱，王姝，趙淵潔

(河北科技大學電氣工程學院，石家莊 050018)

隨著科學技術的不斷發展，四旋翼無人機因其機械結構簡單、安全可靠等特點受到人們的廣泛關注，在軍用和民用領域均有實際的應用價值，如環境監測、探測敵方位置信息、災后搜尋及救援工作等[1-3]。同時，作為一個操作方便的戰術應用平臺，無人機的跟蹤控制引起了世界各國科研團隊的關注[4-5]。四旋翼無人機(unmanned aerial vehicle,UAV)是一個強耦合、非線性、具有4個控制輸入和6個狀態變量的欠驅動系統，機身易受到氣流等外界環境的影響。學者們針對四旋翼無人機的跟蹤控制問題開展了大量研究。對于傳統的比例積分微分(proportional-integral-differential，PID)控制方法[6]，該方法具有結構簡單的優點，但是PID控制方法難以達到具有復雜模型和高精度無人機模型的控制要求。線性二次型調節器[7]對姿態和位置控制有較好效果，但只適用于系統在平衡點處的情況。為了克服線性方法的局限性，學者們針對無人機的抗擾動問題提出相應控制方法，包括滑模控制方法[8]、自適應控制方法[9]、反步控制方法[10]等。其中，滑模控制方法對非線性系統具有良好的控制效果，在多種控制問題中表現出優異的性能。鄭峰嬰等[11]提出了一種積分滑模控制器方法來改善閉環系統對干擾的不敏感及魯棒性，該方法不僅能保留滑模控制所具有的優點，還消除了滑模控制從初始狀態到滑模面的過程，但會引起“抖振”現象，主要原因是不連續符號函數項的增益大于總擾動的上界。為解決這一問題，常用方法是對符號項進行光滑處理來削弱抖振，但這會改變滑模控制的固有結構，降低其控制精度。干擾觀測器可實時估計干擾量并將其前饋至控制器中實現對干擾的抑制，且不需要引入符號函數項。近年來許多學者對干擾觀測器進行研究以提高滑模控制的性能，如非線性干擾觀測器[12]、自適應干擾觀測器[13]、擴張狀態觀測器[14]。干擾狀態觀測器能夠對各種不確定項和外界干擾等構成的總擾動進行估計和補償，且不需要較大的符號函數項，在保證魯棒性的同時顯著削弱抖振現象。研究發現擴張狀態觀測器不僅能夠對總擾動進行補償估計，同時也可以作為未知角速度的觀測器，因此不需要設計額外的狀態觀測器來解算未知的角速度信息，能夠保證在角速度敏感器故障的情況下繼續研究無人機的跟蹤控制問題，也體現了控制算法簡單能耗低的優點。文獻[15]提出了一種基于擴展干擾觀測器的自適應魯棒控制器，擴展狀態觀測器將外界干擾擴張成新的狀態變量，利用輸出反饋觀測擴張的狀態。文獻[16]針對感應電機直接轉矩控制系統中存在的干擾，結合擴張狀態觀測器和有限時間控制提出一種復合控制方法來提高系統的抗干擾能力。文獻[17]考慮帶攻擊角度約束的制導系統模型，提出了一種超螺旋擴張狀態觀測器并結合動態面控制設計一種新型制導律，能使系統狀態全局有限時間收斂。需要注意的是，文獻[15-17]中系統均為有限時間收斂穩定，但是該收斂時間依賴于系統的初始狀態，在初始條件不確定的情況下會影響系統性能。相比于有限時間控制，固定時間不僅能提升系統的控制精度，使系統具有強魯棒性，而且系統的收斂時間獨立于系統的初始狀態。

基于此，現對角速度不可測的四旋翼無人機姿態輸出反饋進行了研究，提出一種固定時間的擴張狀態觀測器，用于同步估計未知角速度和綜合擾動，并根據觀測器輸出提出了基于齊次性理論的固定時間控制器。

1 數學基礎

1.1 齊次性說明

為了清楚分析齊次性，考慮一般非線性系統，可表示為

(1)

令r=[r1,r2,…,rn]T∈Rn為加權向量，ri>0,i=1,2,…,n。對于任意常數λ>0,x∈Rn,擴張映射向量Λr(x)=[λr1x1,λr2x2,…,λrnxn]T∈Rn。

引理1[18]如果對于任意的λ>0,x∈Rn，有fi(Λrx)=λk+rifi(x)，則向量f(x)∈Rn為關于權重向量r∈R的k齊次度向量場。

1.2 四旋翼動力學模型

四旋翼無人機的動力學模型如圖1所示。四旋翼無人機是一個包含6自由度、4個控制輸入的欠驅動系統，具有多變量、強耦合、非線性、對干擾敏感等特點。四旋翼姿態模型為[20]

fi(i=1,2,3,4)為4個螺旋槳所產生的升力；ob-xbybzb為機體坐標系；o-xyz為地球固連坐標系

(2)

式(2)中：Θ=[φ,θ,ψ]為歐拉角；φ、θ、ψ分別為四旋翼無人機的滾轉角、俯仰角、偏航角；J為四旋翼無人機的轉動慣量；τ為螺旋槳在機體軸上產生的力矩向量；Δ(t)為外界干擾；ω=[p,q,r]為機體旋轉的角速率；t為時間；斜對稱矩陣ω×及矩陣W分別定義為

(3)

式(3)中：p、q、r為機體旋轉的角速率。

(4)

因為det(W)=secθ，則當θ≠(2k-1)π/2，k∈Z，W是可逆的，k為任意整數。

假設四旋翼為剛體且結構對稱，則模型可整理為

(5)

式(5)中：

(6)

針對姿態跟蹤問題，定義：

(7)

相應地，對式(7)求導有

(8)

式中：Θd=[φd,θd,ψd]T為期望的姿態歐拉角，其中φd、θd、ψd分別為四旋翼無人機期望的滾轉角、俯仰角、偏航角；Μd為期望姿態歐拉角的導數；M為實際歐拉角的變化率；D為綜合擾動。

為實現姿態跟蹤控制，通常存在如下假設[21]。

2 輸出反饋控制

圖2 控制結構框圖

2.1 擴張狀態觀測器設計

固定時間擴張狀態觀測器用來對未知角速度和綜合擾動進行同步估計，可表示為

(9)

2.2 輸出反饋控制器設計

(10)

kv[sigα2(e2)+sigβ2(e2)]

(11)

式(11)中：控制器參數kp>0,kv>0且有：α2∈(0,1)；α1=α2/(2-α2)；β2=(4-3α2)/(3-2α2)；β1=β2/(2-β2)。

2.3 理論分析

(12)

證明穩定性分析將分為三步。首先，證明固定時間擴張狀態觀測器能精準估計模型狀態變量及綜合擾動。其次，證明系統狀態在[0,T1]時間內有界。最后，基于齊次性理論證明控制器的收斂性。

步驟1觀測器估計誤差可表示為

(13)

則式(13)關于時間的導數為

(14)

(15)

(16)

根據文獻[22-23]，誤差向量ξ=[ξ1,ξ2,ξ3]可以在固定時間收斂至原點，且收斂時間為T1。

步驟2證明系統狀態有界。定義Lyapunov候選函數為

(17)

(18)

ξ2ih2sigβ2(ξ1i)-ξ3ik3sigα3(ξ1i)-

(19)

令Γ=-ξ2ik2sigα2(ξ1i)-ξ2ih2sigβ2(ξ1i)-ξ3ik3sigα3(ξ1i)-ξ3ih3sigβ3(ξ1i)。

(20)

(21)

即滿足

V≤{V[e1i(0),ξ2i(0),ξ3i(0)]+L/2}e2t-L/2

(22)

根據式(22)可知，對于?t≤T1,e1i、ξ2i、ξ3i不會發散至無窮，因此可得：在時間[0,T1]內，系統有界。

步驟3當t≥T1時，采用齊次性理論證明控制器在固定時間內的收斂性，跟蹤誤差為

(23)

定義Lyapunov函數V1為

(24)

對V1求導得

(25)

將式(23)代入(25)中得

=kp{e2[sigα1(e1)+sigβ1(e1)]}+

e2{-kp[sigα1(e1)+sigβ1(e1)]-

kv[sigα2(e2)+sigβ2(e2)]}

=-e2kv[sigα2(e2)+sigβ2(e2)]

=-kv(|e2|1+α2+|e2|1+β2)≤0

(26)

(27)

(28)

式中：f0為零極限下的向量場；f∞為無窮極限下的向量場。

3 仿真實驗與結果分析

3.1 對比仿真結果

對設計的固定時間控制器和固定時間擴張狀態觀測器性能進行仿真分析，同時為了更好地驗證文中所提方案的良好性能，結合以下有限時間控制器和有限時間擴張狀態觀測器進行對比仿真驗證。無人機相關參數如表1所示。

表1 系統參數

使其固定時間穩定，一般用雙冪次控制u(e)=-|e|αsign(e)-|e|βsign(e),0≤α<1,β>1[24]。

有限時間控制器可表示為

(29)

有限時間擴張狀態觀測器可表示為

(30)

當控制器為式(10)時，分別進行有限時間擴張狀態觀測器[式(30)]和固定時間擴張狀態觀測器[式(9)]對比，其對比結果如圖3所示。可以看出，有限時間和固定時間下的觀測器均可以估計上干擾的實際值，但通過局部放大圖，能更清晰地得出：固定時間觀測器的估計效果在收斂速度和控制精度上優于有限時間觀測器，驗證了所提固定時間擴張狀態觀測器的有效性。圖4為姿態歐拉角的跟蹤效果圖，均采用固定時間下的擴張狀態觀測器[式(9)]，分析對比有限時間控制器[式(29)]和固定時間控制器[式(10)]分別對參考姿態值的跟蹤效果。可以看出，固定時間控制器的收斂時間以及收斂速度要優于有限時間控制器，說明所提控制方案合理可行且效果明顯。圖5為歐拉角的估計誤差，圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)分別表示飛機姿態滾轉角、俯仰角、偏航角的估計誤差結果，其估計誤差值在固定時間內精準且快速的收斂至零點。圖6為歐拉角跟蹤誤差，通過這3條曲線的收斂效果說明控制誤差能精準地收斂至原點，同樣證明了固定時間控制器的有效性。

圖3 干擾力矩

圖4 姿態歐拉角跟蹤效果

圖5 歐拉角估計誤差

圖6 歐拉角跟蹤誤差

3.2 無人機飛行實驗數據分析

為進一步驗證所提控制方案的可行性，基于飛行控制器Pixhawk2.4.8進行了四旋翼無人機F330飛行控制實驗，四旋翼無人機沿x、y、z軸飛行的數據如圖7所示。可以看出，四旋翼無人機實際飛行軌跡基本跟隨期望飛行軌跡，滿足無人機飛行要求，則從實際實驗證實了所提控制方案的可靠性。

圖7 飛行數據

4 結論

研究了四旋翼無人機的姿態跟蹤控制。考慮了模型不確定和外界干擾等因素，并將其集中在一起作為綜合擾動，設計了基于固定時間的擴張狀態觀測器對綜合擾動進行估計。另外，擴張狀態觀測器也對未知角速度進行估計，保證系統估計誤差收斂至零。在此基礎上提出基于齊次性理論的固定時間控制器，仿真結果表明，所提控制器可以在綜合擾動存在的情況下保證閉環跟蹤誤差收斂至零，且收斂時間獨立于系統初始狀態。通過Lyapunov理論和仿真分析也說明了所提方案的有效性。