基于小擾動(dòng)理論的低頻脈沖壓力波在井筒內(nèi)傳播規(guī)律分析

劉承婷，陳甜，于振國(guó)，尹井奇，楊釗，李蓋宇

(東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，大慶 163318)

壓力脈沖技術(shù)廣泛用于3次采油，壓力脈沖可以有效地延長(zhǎng)壓力的突進(jìn)時(shí)間，增加井筒內(nèi)壓力的膨脹體積，可以在一定時(shí)間內(nèi)擴(kuò)大巖石的孔喉比，提高地層的滲透能力，進(jìn)而提高采油效率[1]。

由流體動(dòng)力學(xué)的分析方法可知，水平管道中壓力波的能量衰減的主要參數(shù)是流體的性質(zhì)以及管道所處的環(huán)境溫度。壓力波在管道中傳播的實(shí)質(zhì)是驅(qū)動(dòng)及攜帶管道中的流體做強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)[2]。對(duì)于脈沖壓力在水平管道內(nèi)的傳播中外學(xué)者做了大量研究。Kamal等[3]利用數(shù)字圖像分析和壓力波動(dòng)分析方法，研究氣固體流化床上的壓力波衰波衰減趨勢(shì)可歸因于乳液階段粒子的局部空隙部分。郭希健等[4]利用波形疊加理論，研究了管道泄漏中壓力波的傳播及衰減規(guī)律。Blackstock[5]利用特征線法，研究了兩相流管道中壓力波的傳播規(guī)律以及衰減系數(shù)對(duì)壓力波傳播的影響。譚曉華等[6]利用平面濾波分析和仿真試驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方法，分析了水擊壓力波在管道中的傳播問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)水平管道中水擊壓力波的傳播可以過(guò)濾管道中存在的裂縫問(wèn)題。Savkar[7]利用頻率壓力波的響應(yīng)曲線，預(yù)測(cè)了水平管道湍流情況下的壓力波頻率周期響應(yīng)現(xiàn)象。夏瑞麗[8]研究了不同截面面積、不同流量工況下，水平管道中壓力波的反射以及平面基吸收問(wèn)題，并提出新的水平管道中壓力波衰減的預(yù)測(cè)方法，利用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證了管道中壓力波的突變位置。然而，上面的研究多側(cè)重于研究水平管道中壓力波的傳播問(wèn)題，對(duì)于垂直管道中壓力波的傳播研究較少，對(duì)于垂直管道中壓力波的傳播以及衰減規(guī)律并沒(méi)有給出相應(yīng)的預(yù)測(cè)模型以及驗(yàn)證方法。在原油的開(kāi)采過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)涉及油品在垂直管道中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。隨著采油技術(shù)的開(kāi)發(fā)，脈沖注水驅(qū)油已經(jīng)成為一種成熟的技術(shù)[9]。低頻脈沖可以加大脈沖驅(qū)替的時(shí)間，壓縮波和膨脹波的交替?zhèn)鞑タ梢杂行У仳?qū)替地層縫隙中的石油。脈沖壓力波通過(guò)注入井筒傳遞給地層，在井筒中會(huì)發(fā)生能量的衰減，對(duì)于這一衰減規(guī)律尚不清除。

為此，主要研究低頻脈沖在垂直井筒中的傳播以及衰減規(guī)律，找到影響低頻脈沖壓力波衰減的關(guān)鍵因素，利用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證影響因素的因子，最終找到適合井筒—地層的波動(dòng)參數(shù)，為現(xiàn)場(chǎng)優(yōu)化震源參數(shù)提供理論依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)方程及模型建立

1.1 數(shù)學(xué)方程的推導(dǎo)

井筒液相流體流動(dòng)和脈沖壓力波的傳播示意圖如圖1所示。垂直井筒中脈沖壓力波的傳播在初始傳播的過(guò)程中[10]，保持原來(lái)的波形，隨著時(shí)間的推移，由于壓力波會(huì)在井筒中發(fā)生反射，當(dāng)波在井筒的壁面停留時(shí)[11]，由于壁面與流體之間會(huì)發(fā)生摩擦，摩擦?xí)?dǎo)致波動(dòng)能量衰減，壓力波的衰減如圖2所示。考慮液相流體介質(zhì)中壓力波傳播的復(fù)雜性[12-14]，在構(gòu)建低頻脈沖壓力波在井筒內(nèi)傳播和衰減數(shù)學(xué)模型中，做出如下假設(shè)：①垂直井筒中壓力波的傳遞是不可逆的；②壓力波在井筒的傳播過(guò)程中與外界無(wú)熱量交換；③考慮井筒中流體的自身重力對(duì)壓力波傳播的影響；④考慮流體與壁面之間的摩擦損耗；⑤由于井筒中流體主要以豎直流動(dòng)為主，可以忽略水平方向的流動(dòng)；⑥井筒壁是剛性管壁，井筒長(zhǎng)度為L(zhǎng)，規(guī)定井筒末端方向?yàn)檎较颍虎吆雎悦}沖壓力波在傳播過(guò)程中的波形畸變和非線性效應(yīng)。

x表示流體流動(dòng)的方向，即正方向

t為時(shí)間；p0為井筒的初始驅(qū)替壓力；p為隨時(shí)間變化井筒的瞬態(tài)壓力

1.1.1 連續(xù)性方程

如圖3所示，以x表示流體流動(dòng)的正方向，在垂直井筒內(nèi)取長(zhǎng)度為δx，橫截面積為s的流動(dòng)單元，流體密度為ρ，流體流速為v，壁面滑移速度為u，下標(biāo)x為長(zhǎng)度為δx的物理量的增加量。

圖3 連續(xù)性方程控制單元

假設(shè)x坐標(biāo)方向與井筒內(nèi)流體流動(dòng)方向一致，根據(jù)質(zhì)量守恒定律得

(1)

式(1)中：t為流動(dòng)時(shí)間；ρ為井筒流體密度；v為流體速度；u為壁面滑移速度；s為橫截面積。

對(duì)式(1)求導(dǎo)化簡(jiǎn)可得

ρsvx+v(ρs)x+(ρs)t=0

(2)

(3)

(4)

轉(zhuǎn)化為微分形式為

(5)

1.1.2 動(dòng)量方程

在井筒內(nèi)取厚度為δx的微小流體控制單元，如圖4所示。假設(shè)液相流體在井筒中的流速v、壓力p在斷面上都是均勻分布[15]，由動(dòng)量方程得

x為流體流動(dòng)的方向，即正方向；p為井筒瞬時(shí)壓力；s為所取井筒的橫截面積；τ為作用在控制體上的壁面剪切瞬時(shí)應(yīng)力；g為重力加速度；px為在x方向上的壓力；D為界面積變化系數(shù)；(ps)x為截面積為s的總力在x方向的力

(6)

(7)

(8)

式(8)中：α為井筒擬穩(wěn)態(tài)摩阻系數(shù)。

1.1.3 井筒流體的物態(tài)方程

由于井筒的下端是地層，地層的滲透率比較低，流體的流動(dòng)性較差，可以看作井筒是一個(gè)封閉體，所以上面兩個(gè)方程并不能完整的描述垂直井筒中流體流動(dòng)中低頻脈沖壓力波的傳播規(guī)律，還需考慮井筒流體流動(dòng)的封閉性條件，加入流體的物性方程為[16]

(9)

式(9)中：μ為流體黏度；κ為滲透系數(shù)。

1.2 波動(dòng)方程

脈沖壓力波在垂直井筒中傳播就是壓力驅(qū)動(dòng)井筒內(nèi)流體的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，取無(wú)限小的時(shí)間段，利用線性小擾動(dòng)理論，對(duì)垂直井筒的控制方程進(jìn)行處理[17]，可以得到低頻井筒流體的流動(dòng)波動(dòng)方程。根據(jù)線性小擾動(dòng)理論，可以假設(shè)在非常短的時(shí)間內(nèi)，由于壓力波動(dòng)引起的流體流動(dòng)的參數(shù)p0、ρ0、μ0的變化量p1、ρ1、μ1非常小，則有

(10)

式(10)中：p0、ρ0、μ0分別為由于壓力驅(qū)動(dòng)引起的流體壓力、密度、流速的初始值；p1、ρ1、μ1分別為由于壓力擾動(dòng)流體壓力、密度、流速的變化值；δ為趨向無(wú)窮小。

將式(10)代入井筒流體的基本控制方程，略去高階的物理量，可得

(11)

式(11)即為低頻脈沖壓力波在井筒內(nèi)的傳播控制方程。

2 結(jié)果分析

2.1 物理模型的建立

數(shù)值模擬以FLUENT18.0為計(jì)算平臺(tái)，建立500 000 mm×80 mm的二維計(jì)算模型，采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格提高計(jì)算精度。邊界條件有入口邊界條件、出口邊界條件以及壁面設(shè)置條件，出口是自由壓力出口，壁面采用無(wú)滑移壁面，利用UDF(user define function)對(duì)邊界的入口壓力進(jìn)行設(shè)置，入口壓力P采用正弦函數(shù)的脈沖波可表示為

(12)

式(12)中：f為低頻脈沖壓力波的頻率，Hz；A為低頻脈沖壓力波的最大壓力，Pa。模型使用雷諾平均組控制方程，采用穩(wěn)態(tài)的模擬方式，采用湍動(dòng)能-耗散率(k-ε)標(biāo)準(zhǔn)流場(chǎng)計(jì)算模型，壓力-速度的耦合方式采用SIMPLE以及Least Squares Cell的梯度格式，湍動(dòng)能與流體湍流耗散系數(shù)先采用一階迎風(fēng)格式, 后采用二階迎風(fēng)格式，選用PRESTO!類(lèi)型的壓力插值格式，可以提高運(yùn)算的速度以及精度。

2.2 數(shù)值模擬仿真結(jié)果

2.2.1 不同頻率壓力分析

不同頻率的壓力波驅(qū)動(dòng)井筒流體的壓力云圖如圖5所示。當(dāng)壓力為常壓8×105Pa時(shí)，流體的流動(dòng)成階段性下降。調(diào)整驅(qū)動(dòng)流體的壓力驅(qū)動(dòng)頻率，流體內(nèi)會(huì)出現(xiàn)壓縮波和膨脹波，驅(qū)動(dòng)流體的壓力會(huì)出現(xiàn)周期性變化，當(dāng)脈沖頻率在0.02～0.06 Hz變化時(shí)，脈沖驅(qū)動(dòng)流體的壓力域?qū)捲?3.64 Pa左右變化，當(dāng)脈沖頻率大于0.06 Hz時(shí)，脈沖流體沿著主流流體流動(dòng)的方向幅值逐漸較小，意味著脈沖壓力的域?qū)拰②吔谝粋€(gè)常數(shù)。

左側(cè)色標(biāo)為模擬井筒的壓力標(biāo)尺；右側(cè)色標(biāo)為軟件模擬井筒實(shí)際壓力，可依左側(cè)標(biāo)尺查看壓力值

2.2.2 不同頻率傳播速度分析

不同頻率的壓力波驅(qū)動(dòng)井筒流體的速度云圖如圖6所示。脈沖壓力會(huì)對(duì)井筒流體的流動(dòng)速度產(chǎn)生較大的干擾，當(dāng)脈沖頻率在0.02～0.06 Hz時(shí)，井筒流體的速度域?qū)捵兓^大，可以達(dá)到0.26 m/s，當(dāng)脈沖頻率大于0.06 Hz時(shí)，脈沖流體在主流方向上的速度變化幅值不再隨著脈沖頻率的上升而上升，壓縮波和膨脹波的變化時(shí)間加長(zhǎng)，意味著脈沖頻率波在井筒中傳播的速度域?qū)拰②呌诜€(wěn)定值。通過(guò)速度線圖可以清晰地看出不同頻率速度的變化，不同頻率的壓力波驅(qū)動(dòng)井筒流體的Y軸速度線圖如圖7所示。

左側(cè)色標(biāo)為模擬井筒的流速標(biāo)尺；右側(cè)色標(biāo)為軟件模擬井筒實(shí)際流速，可依左側(cè)標(biāo)尺查看流速值

圖7 不同頻率脈沖壓力在井筒中傳播的Y軸速度線圖

隨著脈沖頻率的增加，井筒流體的軸向速度變化幅度逐漸增大，增加到一定程度以后幅度不會(huì)繼續(xù)增加，而是開(kāi)始回落。這表明施加的脈沖頻率是在0.02～0.06 Hz時(shí)達(dá)到頂峰，且整體均高于未加脈沖前。壓力脈沖增加了井筒流體壓力的敏感性。但頻率增加到一定程度后，速度幅度變化較小。因此井筒流體需要一個(gè)合理的頻率范圍，為了保證開(kāi)發(fā)效果，實(shí)際脈沖注水應(yīng)該在合理脈沖范圍內(nèi)實(shí)施。

2.2.3 不同頻率動(dòng)能波動(dòng)分析

常壓驅(qū)動(dòng)流體時(shí)，流體的動(dòng)能變化平緩，變化率維持在0.01左右。脈沖壓力會(huì)產(chǎn)生周期性的驅(qū)動(dòng)波，在驅(qū)動(dòng)波的作用下，井筒內(nèi)流體會(huì)發(fā)生強(qiáng)迫響應(yīng)流動(dòng)，響應(yīng)流動(dòng)會(huì)使井筒流體的動(dòng)能產(chǎn)生瞬時(shí)差，采用頻率為0.02～0.06 Hz的低頻脈沖波，動(dòng)能變化率可以達(dá)到0.6 m2/s2，當(dāng)頻率大于0.06 Hz時(shí)，動(dòng)能變化將維持穩(wěn)定。動(dòng)能的變化只要以湍動(dòng)能的形式表現(xiàn)出來(lái)，導(dǎo)出水平方向下不同頻率湍動(dòng)能數(shù)據(jù)曲線如圖8所示。

圖8 不同頻率脈沖壓力在井筒中傳播的湍動(dòng)能圖

采用不同頻率的低頻脈沖壓力波驅(qū)動(dòng)井筒流體，就是要增加壓力、速度、動(dòng)能的變化率，變化率越大說(shuō)明脈動(dòng)幅度越大，脈動(dòng)幅度大對(duì)于地層中流體的驅(qū)動(dòng)作用就會(huì)越明顯，綜合因素考慮，井筒低頻脈沖驅(qū)動(dòng)的頻率應(yīng)在0.03～0.05 Hz，通過(guò)頻率計(jì)算得到最佳波長(zhǎng)為45～70 m。

2.3 實(shí)驗(yàn)流程

實(shí)驗(yàn)流程如圖9所示，實(shí)驗(yàn)設(shè)備分為4個(gè)系統(tǒng)：①井筒注水系統(tǒng)：利用螺桿泵將水箱中的水泵入井筒內(nèi)，壓力傳感器和流量計(jì)可以檢測(cè)注入井筒的流量及壓力變化；②井筒脈沖壓力驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：低頻脈沖壓力發(fā)生器將脈沖壓力注入井筒內(nèi)，調(diào)節(jié)井筒內(nèi)注水壓力的大小。高速攝像機(jī)可以拍攝井筒內(nèi)流體在壓力驅(qū)動(dòng)下的波形變化；③注水巖心驅(qū)替系統(tǒng)：利用井筒內(nèi)的壓力注水驅(qū)替飽和油巖心，模擬地層中驅(qū)油過(guò)程，量筒(量程50 mL)計(jì)量驅(qū)替油以及水的含量；④數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)：壓力傳感器(RS-845和HSTL-802，采樣頻率為1 000 Hz)、電磁流量計(jì)(精度等級(jí)±0.5%)、高速攝像機(jī)將采集到的數(shù)據(jù)傳入數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，繪制數(shù)據(jù)曲線圖。本實(shí)驗(yàn)采用螺桿泵(型號(hào)：G40-1螺桿泵)，提供高壓(最大1.2 MPa)，高流量(200 L/min)，滿足實(shí)驗(yàn)要求。高速相機(jī)由立方體世界技術(shù)發(fā)展有限公司提供，高速相機(jī)快門(mén)速度的可調(diào)范圍為1/125～1/12 800 s，可實(shí)現(xiàn)60～2 500 fps/s的圖像采集速度。

圖9 實(shí)驗(yàn)流程圖

2.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)通過(guò)壓力傳感器檢測(cè)不同頻率脈沖壓力波傳入井底即巖心的脈動(dòng)壓力如圖10所示。

圖10 不同頻率脈沖壓力響應(yīng)曲線

低頻時(shí)壓力脈沖波在開(kāi)始段波峰波谷不斷重復(fù)循環(huán)，但隨著頻率的增加壓力波在前半段出現(xiàn)極大峰值并且在出現(xiàn)極大峰值之后，波峰波谷開(kāi)始均勻降低。當(dāng)脈沖頻率在0.03～0.05 Hz時(shí)，實(shí)驗(yàn)壓力波動(dòng)域?qū)捲?.05 MPa，膨脹和壓縮的時(shí)間相差不大，脈沖效果較好，當(dāng)脈沖頻率大于0.05 Hz時(shí)，壓力域?qū)挷▌?dòng)幅度變化較小，且壓力域?qū)挏p小至0.01 MPa，脈沖效果變差。

當(dāng)脈沖振幅一定(0.8 MPa)時(shí)，低頻時(shí)壓力脈沖波在開(kāi)始時(shí)有短暫的上升階段然后，在波峰、波谷不斷重復(fù)循環(huán)，壓力峰值基本穩(wěn)定，但頻率增加到0.04 Hz，壓力響應(yīng)開(kāi)始變得不穩(wěn)定，壓力脈沖波在第一次達(dá)到極大峰值之后開(kāi)始連續(xù)降低。在頻率小于0.04 Hz為最佳頻率波動(dòng)曲線。綜合考慮數(shù)值模擬的結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)分析，低頻脈沖壓力在井筒中的最佳波動(dòng)頻率為0.03～0.04 Hz。

3 結(jié)論

(1)利用線性小擾動(dòng)理論，建立低頻脈沖壓力波在井筒傳播的數(shù)學(xué)模型，確定頻率、波長(zhǎng)、振幅是影響低頻波動(dòng)能量衰減的關(guān)鍵因素。

(2)開(kāi)發(fā)FLUENT的UDF接口，采用脈沖壓力波入口條件，模擬得出0.03～0.04 Hz，45～60 m是井筒的最佳波動(dòng)參數(shù)。

(3)創(chuàng)新使用低頻脈沖發(fā)生器-井筒-巖心的一體化實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法，得到的結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果一致，驗(yàn)證了模擬數(shù)據(jù)的正確性，得出低頻脈沖波驅(qū)油的最佳振幅為0.8 MPa。