概率猶豫模糊環境下基于前景理論和TOPSIS法的多屬性群決策模型

王志平，傅敏，王沛文

(1.大連海事大學理學院，大連 116026; 2.大連海事大學航運經濟與管理學院，大連 116026)

目前，多屬性群決策問題正在應用于生活中多個領域，如供應商選擇[1]、軟件質量評價[2]、和緊急決策制定[3]等。多屬性決策問題是現代決策科學的一個重要組成部分，即一個決策者基于多個屬性來選擇一個最優的方案[4]。考慮到決策問題的性質，可以將此問題分成兩類；即個人決策和群體決策。多屬性群決策問題考慮的是一些個人視角很難完成的決策，就需要從多視角去做出判斷的問題。因此，多屬性群決策問題的決策方法的研究十分必要，尤其是模糊信息和猶豫決策這兩個方面已經成為學術界的重要研究領域[5]。

生活中，當面對決策環境不確定或者比較復雜的問題時，人們很難直接給出精確的數值給出符合客觀實際情況的理智判斷，多數情況只能結合自己對評價方案的主觀認識用不確定的語言來表達偏好。因此，研究各種語言信息模型是非常必要的。Zadeh[6]提出了傳統的模糊集的概念，但是隨著社會的發展，模糊集漸漸地無法表示完整的決策問題；針對多屬性群決策問題，猶豫模糊集作為模糊集的延伸由Torra等[7]提出，它克服了決策過程中的猶豫性和模糊性。然而，猶豫模糊集在表示各個隸屬度的概率時是假設全都相等的，顯然，這與每個決策者的個人情況是有差異的這一現實情況相悖，所以，它無法完整的描述決策者對不同隸屬度的偏好程度。為了克服猶豫模糊集的缺點，更加精準的表達決策信息，Chen等[8]提出了概率猶豫模糊集的概念，相比于猶豫模糊集增加了每個隸屬度的概率信息，可以更精準的表達決策者偏好；隨后在該環境下，Zhou[9]開始定義概率猶豫模糊集的距離測度并且應用于緊急決策中；Wang[10]提出了得分函數，偏差度函數和概率猶豫模糊集的比較運算法則；雖然，目前基于概率猶豫模糊環境下的多屬性群決策方法多種多樣，層出不窮，但是對于考慮決策者心理行為的方法的研究還是不夠深入，而且現在大多數基于概率猶豫模糊環境的多屬性群決策的方法研究正有意的回避這一方面[11]；然而，來自行為領域的研究表明決策者在做決策的時候并不總是完全理性的，心理側寫在決策管理系統中對決策過程至關重要。前景理論，作為一種最合適的方法來描述決策者的心理偏好，在模糊環境中已經被廣泛使用[12]。Wang等[13]將前景理論與逼近理想解排序法(technique for order preference by similarity to an ideal solution，TOPSIS)法用傳統的方式相結合應用在猶豫模糊環境下；Yang[14]用后悔理論和前景理論相結合的方法在以區間數為決策信息的情況下，解決了隨機多屬性決策問題；Dai[15]通過定義畢達哥拉斯模糊集的距離測度，結合前景理論和后悔理論提出了兩種求解隨機多屬性決策問題的方法；Xie[16]將直覺模糊決策矩陣轉化為求解區間值直覺的前景決策矩陣去解決多屬性決策問題，也取得了一定成果；Ding等[17]又開發了一種動態的基于前景理論和區間值畢達哥拉斯模糊集的方法用于緊急決策的語言變量；朱興林等[18]又創新性的將前景理論結合理想解法應用到了直覺梯形模糊環境下，解決了應急預案模型的評估問題；Liang等[19]將前景理論與概率猶豫模糊語言進行了結合；高建偉等[20]在此基礎上對前景理論進行拓展為累計前景理論在概率猶豫模糊語言環境下進行多屬性決策問題的分析。目前，關于應用前景理論的多屬性決策方法,大多數是基于屬性值是直覺模糊數、猶豫模糊語言、概率語言等，對于采用屬性值是概率猶豫模糊語言的少有研究，有的該方面的研究又只考慮了主觀決策偏好卻忽略了客觀求解帶來的準確性，雖然解決了決策者心理行為對決策結果的影響，但又過分的只考慮了心理行為的影響，沒有進行主客觀因素的共同結合，并且在研究中沒有對決策者權重進行求解，僅依靠主觀人為給定，對結果來說缺乏說服性。為此，提出了在該環境下既有主觀偏好有考慮客觀計算二者結合的方式進行多屬性決策問題的研究。

綜上所述，提出了基于概率猶豫模糊環境下的前景理論和TOPSIS法結合的多屬性決策方法。首先，對初始決策信息按照概率猶豫模糊語言規范法則進行規范化處理，并且結合群體一致性原則提出了新的對決策者權重系數調節方法，來使評估結果更接近實際情況以及增強決策結果的說服性；其次，采用熵值法求解屬性權重，避免僅依靠主觀賦權造成的評估結果與實際偏差較大的情況；然后將前景理論思想和TOPSIS法相結合進行排序擇優；最后，和其他方法的結果進行對比分析，用實例驗證本文方法的可行性和合理性。

1 相關理論基礎

1.1 概率猶豫模糊集

定義1[19]給定任意非空集合X，則定義在有限集合X上的一個概率猶豫模糊集可表示為

H={〈x,h(p)|x∈X}

(1)

不完全的概率猶豫模糊集可進行歸一化處理，可表示為

(2)

式(2)中：Pi為歸一化處理之后的第i個概率猶豫模糊術語集；i為序號；#h為一個概率猶豫模糊集合中概率猶豫模糊元的個數；pi為初始評價矩陣中的第i個概率猶豫模糊術語集。

(3)

(4)

定義4[11]設h1(p)和h2(p)為兩個概率猶豫模糊集，如果兩者的元素數量相同，則#h1=#h2=#h，同時給出兩個概率猶豫模糊集的歐式距離測度公式為

(5)

定義6[9]設是一個概率猶豫模糊集，其得分函數定義為

(6)

基于得分函數，其偏差度函數可定義為

(7)

在得分函數和偏差度函數的基礎上，任意兩個概率猶豫模糊元h1(p1)和h2(p2)可按照以下原則進行比較：①如果s1[h(p1)]>s2[h(p2)]，則h1(p1)>h2(p2)；②如果s1[h(p1)]d2[h(p2)]，則h1(p1)h2(p2)。其中，s1、s2分別為h1(p1)、h2(p2)的得分函數值；d1、d2分別為h1(p1)、h2(p2)的偏差度函數值。

1.2 前景理論

前景理論又稱效用理論，是考慮決策者在決策過程中的不完全理性的心理行為[12]。一般認為，前景價值越大，備選方案越好。前景值的大小表現在價值函數v(Δx)的大小，即與參考點的偏差程度，表示決策者的心理行為，其表達式為

(8)

式(8)中：Δx為收益或者損失值，即與參考點的差值，Δx≥0為決策點超出參考點的值，反之亦然；α和β分別為決策者對收益和損失的敏感系數，滿足α<0和β<1，α和β的值越大，表明決策者愿意承擔的風險越大；θ為決策者對損失和收益的風險敏感性，θ>1表示決策者對損失更敏感。

依據研究可知，一般情況下，V(0)=0,α=β=0.88,θ=2.25。

前景理論值是基于每個備選方案距離參考點的收益或損失的距離。因此，前景理論的關鍵是選擇一個合適的參考點，通常情況下，選取數據的中間值、期望、積極和消極的解作為理想參考點。選擇備選方案與正理想點之間的距離作為參考來得到偏差程度。

(9)

圖1 技術路線圖

2 概率猶豫模糊多屬性決策方法

2.1 多屬性群決策問題描述

表1 決策者k的決策矩陣

2.2 調節決策者權重系數

為了使決策結果盡可能的接近事實，考慮到直接給出決策者權重主觀性太強，同時可以降低專家在地位、受教育程度、相關經驗以及知識了解水平等方面對決策信息帶來的非公正影響。Mao等[21]提出了對決策者權重進行重新調節的解決方法。依據不同決策者給出的不同決策信息，結合主觀賦權和客觀計算的方式得到相應的決策者權重調節系數，如果決策者的評價信息一致時，則給出擁有更高地位、經驗更豐富以及知識水平更高的決策者dk更高的調節系數；否則當評價信息不一致時，那么相應的權重調節系數較低。

(10)

(11)

式(11)中：ρkr為專家k和專家r兩位決策者的一致性程度；l為決策術語中元素的個數。

ρk表示決策者dk與其他決策者的一致性程度，也就是說決策者dk提供的評價信息在整個評價小組中的受支持程度。同時反映了決策者dk的重要性。在某種程度上來講，如果dk越重要，相應的調節系數ρk越大，那么決策者dk權重應當適當增加。因此，由事先賦予的主觀決策者權重ηk和調節系數ρk來最終確定決策者權重θk。

(12)

2.3 熵值法確定屬性權重模型

通常情況下，如果所有備選方案在一個評價屬性下的評價值之間的差異越小，則表明這一屬性對備選方案的選擇與排序所起的作用越小反之，若所有備選方案在某一個評價屬性下的評價值偏差很大，就說明該屬性對決策起的作用相對較大。因此，就決策方案進行優劣排序的角度考慮備選方案之間評價屬性值偏差越大應賦予的權重越大，那么就可以用熵值作為信息不確定性的度量。

根據以上思想，利用熵值法確定評價屬性權重的基本步驟如下。

步驟3將距離矩陣D=(dij)m×n利用標準化公式轉化為規范化的距離矩陣P=(pij)m×n，其中pij可表示為

(13)

式(13)中：dij為距離矩陣中第i行第j列的值；pij為規范化的距離矩陣中第i行第j列的值。

步驟4根據熵值法求解公式，求出評價屬性j下的熵值為

(14)

式(14)中：k=1/lnn且k>0為常數；Gj≥0,j=1,2,…,n。

步驟5最后得到各個評價屬性的權重，可表示為

(15)

2.4 基于前景理論和TOPSIS思想確定方案排序

針對在屬性權重、專家權重都未知的情況下，利用群體一致性調節法和熵值法對決策者、屬性權重進行求解之后，提出了一種基于前景理論和TOPSIS用非傳統方式進行結合的排序方式，來解決多屬性群決策問題，利用以下步驟構建整體算法模型。

(16)

(17)

(18)

(19)

步驟5計算前景值與理想前景值的加權距離，計算公式分別為

(20)

(21)

式中：d(a,b)=|a-b|。

(22)

(23)

(24)

3 實例分析

3.1 問題描述

實例源自文獻[19]，假設先有3位車輛專家對5款車(別克A1、豐田A2、福特A3、奧迪A4、特斯拉A5)的安全性能進行評價排序，選取能夠反映其安全性能的5個屬性C={C1,C2,…,C5}，其中C1為剎車系統、C2為防抱死系統、C3為穩定性系統、C4為安全氣囊系統、C5為車身薄板。3位車輛專家用D={D1,D2,D3}表示，并且這3位專家針對這5款汽車的5個屬性給出了概率猶豫模糊決策矩陣。專家給出的主觀屬性權重均為0.2以及根據經驗給出的專家初始權重分別為0.4、0.4和0.2。

3.2 問題求解

步驟1對初始決策矩陣根據式(2)和定義2進行標準化處理得到標準化矩陣(表2～表4)，再根據式(10)～(12)得到用一致性思想調節后的專家權重θ=(0.392 8,0.399 2,0.208 0)T，精確到一位小數可得到決策者最終權重為θ=(0.4,0.4,0.2)T。

表2 專家1給出的標準化決策矩陣

表3 專家2給出的標準化決策矩陣

表4 專家3給出的標準化決策矩陣

表5 專家整體加權決策矩陣

步驟3根據式(16)～式(17)分別計算正、負前景值矩陣結果為

(25)

(26)

步驟4分別按照式(18)～式(19)計算正、負向前景值的矩陣的積極的理想解V(+)+、V(-)+和消極的理想解V(+)-、V(-)-，結果為

V(+)+={0.225 1,0.120 8,0.140 6,0.179 6,0.189 8}，V(+)-={0.019 7,0.057 5,0.045 0,0,0.049 1}，V(-)+={-0.478 4,-0.410 7,-0.434 2,-0.506 5,-0.426 7}，V(-)-={0,-0.278 6,-0.220 5,-0.137 0,-0.110 0}。

步驟5利用式(20)～式(21)分別計算前景值與理想前景值的加權距離。

3.3 對比分析

為了證明所用方法的可行性及有效性，將其與其他方法進行了比較：①本文方法與文獻[19]方法進行比較；②本文方法與相對熵及TOPSIS法進行比較。3種模型的方案比較結果如表6所示。

表6 不同方法排序結果

3.3.1 與文獻[19]方法比較結果分析

為了更加符合客觀事實，在文獻[19]的基礎上對專家權重系數進行了一致性調節；改變了屬性權重的求解方式：文獻[19]采用主客觀相結合來求得屬性權重而排序方式又是單純的考慮心理行為的前景理論，因此整個模型來看偏主觀因此，所提出的方法使用熵值法使用主觀評價信息來客觀求解屬性權重，過程簡便、效果直觀；在排序方式上也做到了主客觀相結合方式在保留前景理論的基礎上對前景值進行逼近理想解法的計算，最終獲得接近現實的結果。從表6來看，文獻[19]的結果為特斯拉是最優選擇，而所得出的結果為奧迪是最優選擇，兩者之所以有差異，可能是因為專家權重直接給出，主觀性太強也可能是因為特斯拉作為一款非傳統品牌的新能源汽車，有些專家對于新事物的憧憬，造成了主觀偏愛。因此本文方法更接近現實情況并更具有說服力。

3.3.2 與用相對熵及TOPSIS法比較結果分析

從表6可知，兩種方案的比較結果只有別克和特斯拉存在差異，而二者排名只有一名之差，說明文獻[19]的方法確實偏主觀;本文方法在調節了專家權重系數、改變屬性求解方式以及考慮了心理行為之后得到的結果依然是奧迪，因此證明了本文方法是可行的。

4 結論

所提方法基于文獻[19]完善了決策者權重系數的調節，用相對簡便的算法——熵值法對屬性權重進行求解，并在原有方法的基礎上將前景理論與TOPSIS進行非傳統式結合，對最終決策模型進行完善，得出如下主要結論。

(1)利用調節決策者權重系數的方法，確定了客觀專家權重，將主、客觀權重進行結合，得到綜合決策者權重值。

(2)利用熵值法，確定了屬性權重值。

(3)在概率猶豫模糊環境下，將前景理論和TOPSIS進行結合，得到最終排序結果。

本文方法在原有的基礎上進行了改進，但還存在一些問題有待深究。如未來可以對求解概率猶豫模糊術語集之間的距離的公式進行改進等。