利用向量方法解決平面幾何問題

■彭明清

向量既是幾何對象也是代數對象，因而成為數形結合的橋梁，也成為溝通代數與幾何的有力工具。利用向量解決平面幾何問題，可以從向量的兩種運算——基底運算和坐標運算入手，建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題，然后通過向量的運算，研究幾何元素間的關系。下面從多個角度分析平面幾何中的向量方法。

一、垂直問題

例1求證:三角形的三條高線交于一點。

證明：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE交于點H，連接CH。下面只需證明CH⊥AB即可。

圖1

評析：平面幾何中的兩條線段的垂直問題，可轉化為平面向量中的兩個向量的數量積為0來解決。在證明過程中，可利用向量加法的三角形法則（首尾銜接法），將所求向量進行轉化。

二、平行問題

例2已知直角坐標平面上的四個點A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求證四邊形ABCD是等腰梯形。

評析：線段平行問題可轉化為對應的向量共線問題來解決。通過向量的運算，尋求兩個向量的共線（平行）關系。

三、長度問題

例3如圖2，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中點，F是AE的中點，則向量的模長是____。

圖2

評析：利用向量的基底運算，將線段的長度問題轉化為向量的數量積問題來解決。

四、分點問題

例4如圖3，過△ABC的中線AD的中點E作直線PQ分別交AB，AC于P，Q兩點，若＝（ ）。

圖3

評析：利用平面向量基本定理和向量的線性運算是解答本題的關鍵。

五、夾角問題

例5已知三個點A（2，1），B（3，2），D（－1，4）。若四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標及矩形ABCD兩條對角線所成銳角的余弦值。

評析：解答與角有關的向量問題，要有意識地建立向量的數量積關系，再將向量的數量積轉化成向量的模與向量夾角的余弦關系，這樣可進一步研究角的有關問題。

感悟與提高

1.已知三點A（1，2），B（2，3），C（－2，5），則△ABC的形狀是______。

2.在四邊形ABCD中，已知A（0，0），B（4，0），C（3，2），D（1，2）。