構造數量積，巧解向量題
——由一道課本習題所想到的

■俞 飛 張啟兆

題目判斷下列結論是否正確:已知a，b，c是三個非零向量，若a·c＝b·c，則a＝b。

容易判斷這個結論是錯誤的。由a·c＝b·c，可得a·c－b·c＝0，即(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c，故這個結論是錯誤的。其逆命題:若a＝b，則a·c＝b·c是正確的。利用這個正確結論，在解向量問題中有時能起到事半功倍的效果。下面舉例說明。

一、從向量等式結構入手,兩邊取數量積

二、從向量垂直條件入手,兩邊取數量積

例2若＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為（ ）。

A.30° B.60° C.120° D.150°

解：從c⊥a入手，在c＝a＋b的兩邊取數量積。

設向量a與b的夾角為θ。由c⊥a，可得c·a＝0。在c＝a＋b的兩邊同乘以向量a得c·a＝(a＋b)·a，即a2＋a·b＝0，所以1＋2cosθ＝0，即cosθ＝－。又θ∈[0 °，180°]，所以θ＝120°。應選C。

評注：利用c⊥a這一條件，在向量等式c＝a＋b的兩邊取數量積，能達到條件和目標的和諧統一，從而快速準確得到結果。

三、從目標需要入手,兩邊取數量積