數學如何推動了文明？

遷洵

“萬物速朽，唯有公式永恒。”

這本書扉頁上的這句話，就好像是一道來自神的啟示——它瞬間讓我領略了公式的力量與美感。于是，我的手不由自主地翻開了書的下一頁，一字一句讀下去。

整整3天，我除了處理少量的日常工作之外，一直沉浸在這本書里，直到把它讀完。

這本書讓我領略到了數學的魅力，更讓我知道了數學存在的理由和意義。正如本書開篇所寫的那樣“公式鑄就文明的天梯”。

當我們回顧歷史，會發現：

1854年之前，歐洲數學家燦若星辰，笛卡兒、拉格朗日、牛頓、貝葉斯、拉普拉斯、柯里、傅里葉、伽羅瓦等，無一不是數學天才。

1854—1935年，高斯、黎曼等人在數學界領袖群倫，彼時，德國取代英法成為世界的數學中心。

1935年之后，希特勒給美國送上了“科學大禮包”：哥德爾、愛因斯坦、德拜、馮·諾依曼、費米、馮·卡門……很多科學家逃至北美，數學大本營從德國轉向美國，美國隨即成為世界的數學中心。

我們發現，每一次數學中心的交替，都是文明中心的變換，可見，文明造就了數學，數學也推動了文明，兩者總是相輔相成的。

但是，這還不足以吸引我對數學產生濃烈的興趣。最能打動我的，是這本書描述出了數學的美感，如優美的文字和迷人的詩歌一樣，是藝術一般的存在。

數學之美，究竟美在何處？

“一片落葉飄落，就是一段美妙的函數方程，沒有什么能比公式更動人地描繪宇宙之美。”

這句話讓我領略到，原來公式如詩一般存在，只是我們普通人無法察覺。這是這本書給我最大的啟示。可以說，《公式之美》賦予我另外一種感知——那前所未有的，可以去發現那些“看不見”的美的內涵。

這本書雖名為《公式之美》，但其內容是繽紛多彩的。

書中講述了數學的起源，以及整個數學發展中的精彩絕倫的故事，我們可以在讀這些生動的傳說般的故事中，了解數學的發展脈絡，領略人類的至高智慧。

更重要的是，這本書回答了兩個關于數學的基本問題，即“數學是什么”，以及“數學有什么用”。相信這兩個問題，可以解答很多人心中的困惑。

數學是什么？這個問題，幾乎沒有人能給出一個非常具體的回答。按照百度百科的定義，數學是研究數量、結構、變化、空間及信息等概念的一門學科，可以應用于現實世界中的任何問題。在這個大體系中，1+1=2是整個數學的基石，沒有1+1=2這個公式，就不會有數學，也自然不會有數學的衍生學科，比如化學、物理等等。

關于1+1=2的誕生，大概可以追溯到遠古時期，在分配食物的過程中，人類的祖先有了“數量”概念，并在漫長的時間內逐漸意識到了1+1=2。那個時候，說1+1=2似乎不太嚴謹，因為2也是一個被創造出來的數字，只是一個人為設定的定義，但這種變化仍然是非常偉大的。

我們無法考證加法究竟產生于何時，但從文字記載中發現，加法運算和減法運算是人類最早掌握的兩種數學運算。

1+1=2的公式雖然誕生了，但如何證明是另一個終極難題。后來，意大利數學家皮亞諾用五條公理建立了一階算術系統，可以推導出1+1=2這一最簡單的等式。

公理一般被認為是不需要證明的基本事實，所以皮亞諾的這個算數系統也是建立在一個沒有經過證明的經驗世界中的，在這個經驗世界里，1+1=2是成立的。

如何推導出1+1=2，數學家們在自己的世界里找到了一個相對滿意的答案，雖然有點“自欺欺人”，但總算是放下了心里的一塊石頭。然而，比這個更麻煩的，是解決世間另一個“1+1”，這才是歷代數學家的心頭之痛。

這個心頭之痛就是哥德巴赫猜想。

18世紀前后，富家子弟哥德巴赫發現了一個規律：任何大于5的奇數都是三個素數之和。所謂“素數”，又稱“質數”，指在大于1的自然數中，除了1和它本身以外，不再有其他因數的自然數。不過，他雖然發現了這個規律，卻怎么也無法證明自己的發現，只能求助于當時數學界的權威人士歐拉。沒想到，數學家歐拉居然也被這個問題給難住了，為了挽回自己的面子，歐拉又提出了另一個等價命題：任何一個大于2的偶數，都是兩個素數之和。

兩個命題加起來被記作a+b，這就是哥德巴赫猜想（也稱哥德巴赫-歐拉猜想），這被稱為另一個“1+1”的問題，至今還沒有人能夠證明。

在數學世界，還有一個非常重要的公式，構成了高級數學的基礎內容，那就是微積分。關于微積分的發現，涉及到兩個科學家特別有意思的交往經歷，就是牛頓和萊布尼茨。

1666年是一個很神奇的年份，歐洲黑死病肆虐，23歲的牛頓為了躲避疫情回到鄉下，在蘋果落地的啟發下意識到地球存在引力;在計算月球軌道涉及的向心力時，他又發明了“流術法”，這個流術法就是微積分的前身，但是牛頓一直把這種計算方法當做是一種普通的簡便算法，沒有作為一種新發現公之于世。

十年后，萊布尼茨了解到牛頓在進行無窮級數相關的研究，便在他人引薦下與牛頓進行了短暫的通信。牛頓只比萊布尼茨大三歲，兩人一開始的確惺惺相惜，畢竟在17世紀找到和自己同等智商并能對話的人，對他們兩個人來說都不容易。兩個人隔著英吉利海峽鴻雁傳書，既有對數學問題的探討，也有對彼此的“彩虹屁”。

但是，1684年時，萊布尼茨發表論文稱自己發明了微積分。這是一個非常重要的成績，眼看這個很可能震驚世界的成就就要被萊布尼茨搶走，牛頓大為光火，開始施展各種手段打壓萊布尼茨。在那場關于微積分的“世紀大戰”中，萊布尼茨曾一度被認為是一個抄襲者。當然，萊布尼茨也不是軟柿子，他奮勇反擊，與牛頓兩個人你來我往，以至于后來，幾乎整個歐洲有名有姓的人都摻和進去了，相當熱鬧——和這兩個人的大戰比起來，如今深受詬病的飯圈撕扯簡直就是“過家家”，太小兒科了！

后來的事情很多人也有所耳聞，萊布尼茨的聲望到底比不上擅長鉆研權勢的牛頓，逐漸敗下陣來。牛頓的下半生，除了鉆研神學、沉迷“點石成金”的煉金術外，唯一的愛好就是欺負萊布尼茨。

一時的毀譽，姑且當作妄言。如今，數學界已將牛頓和萊布尼茨同樣視為微積分的發現者，這一對冤家，不管生前多么不和，如今都被“牛頓-萊布尼茨公式”牢牢地綁在了一起，這對“地表最強CP”，再也無法分開了。

我相信，在每個人的中學時期都會遇到一種困惑——我們學習的方程、函數，到底有什么用？

很多人振振有詞：去菜市場買菜的時候，只要能算得清加減乘除也就夠了，什么微積分，什么橢圓方程，我們哪怕學得再透徹也不會有用武之地。畢竟，就算在菜市場解出高考壓軸題，賣菜的攤主也不會給你便宜幾分錢。

這種說法聽起來似乎很有道理，但是仔細想想，就能發現這分明是強詞奪理。畢竟我們存活于世，就是為了買菜而生嗎？

顯然不是。誰年少的時候沒有夢想過星辰大海呢？誰會心甘情愿地將自己圈在菜市場里為了幾毛錢斤斤計較呢？我們學習的數學，在中學時期乍看之下沒有什么用，但你在數學上搬的每一塊磚，都會成為之后學術與工作中的堅實地基。數學是有用的，只是你還沒有達到能夠應用它的層次。

舉第一個例子，關于5G，現在應該所有人都不陌生了。我們的手機與寬帶早在兩年前就已經開始逐步更新換代，5G不僅帶給了我們更快的下載速度與信息加載體驗，更是人工智能與自動駕駛等高科技的基石。如今，我們時不時就會接到運營商打來的5G套餐推銷電話，他們會用盡各種辦法讓你升級套餐，以在5G市場中占優勢。不僅是運營商，所有互聯網公司都在爭奪通信行業的龍頭寶座，但誰能成為新的領頭羊，至今還未有定論。

可別管他們怎么爭，通訊行業發展至今，最重要的根基不是運營商，不是互聯網企業，而是香農公式。可以說，如果沒有香農公式，我們現在或許還活在“車馬很慢，書信很遠”的“從前慢”時代。當然，這個很慢也沒有那么慢，畢竟我們現在有了高鐵，而高鐵技術的發展，得益于另外一個公式。

此時，我們還是說回香農公式。這個公式，就是用他的提出者克勞德·艾爾伍德·香農的名字命名的。香農發展了信息論，在信息論的指引下，人類才得以進入數字通信時代。我們能用計算機傳遞信息，能通過網絡在線觀看或者下載電影，能毫無障礙地刷各種各樣的短視頻……這一切都建立在香農公式之上，香農公式徹底改變了我們的生活。

再舉一個例子，比特幣，相信大家也不陌生。自從2019年正式誕生以來，這種依據特定算法和大量計算產生的虛擬貨幣市值一路水漲船高，2021年11月10日，一枚比特幣的價格甚至逼近6.9萬美元。

不過我們在贊嘆比特幣“值錢”之余，可能不太清楚，支撐比特幣產生這么大影響力的數學基礎之一，竟然是高中時期人人都學過的橢圓曲線方程——比特幣能誕生和流通，不可或缺的一點就是它有極佳的保密算法，而這種保密算法，就是基于橢圓方程形成的。

計算機程序通過橢圓曲線選取密鑰對，由私鑰計算出公鑰。公鑰加密，私鑰解密，利用橢圓曲線對數據進行簽名驗證，這個過程使交易、簽名和認證變為了可能，保證了比特幣的安全。

這聽起來是否會有些晦澀難懂？其實我們可以簡單地將其理解為，橢圓曲線是籠罩在比特幣世界的一層高壓電網，這層“高壓電網”，起碼可以隔絕百分之九十九的黑客攻擊。

看了這兩個例子，大家應該已經發現了，之所以有人宣揚數學無用論，只不過是因為他們只看到了數學最淺顯的表層，還沒有達到能夠應用數學的高度。

借用前陣子火過的一個梗來解釋：“有些人只看到了第二層，就把數學只想成了第一層，實際上，數學是第五層”，這“第五層”，是有些人終其一生，墊著腳都夠不到的高度。

無論我們是否喜歡數學，數學都在不斷改變著我們的生活和我們的世界。這或許就是我們學習數學最根本的理由。

不過，我相信，任何一個不喜歡數學的人，都會因為這本書而愛上數學。因為它寫出了數學的美感，描繪出了數學的故事，它至少讓你知道，每一個數學公式，都是一句我們理解世界、理解宇宙的語言。