利用導數突破高考圓錐曲線壓軸題

賀鳳梅

摘 要：近年來，高考數學試題中屢屢出現，圓錐曲線與切線方程的綜合試題，解題時需要利用導數作為工具.學生往往顧此失彼，考慮了圓錐曲線卻忽略了導數，使得準確率較低.本文以2021年全國乙卷的圓錐曲線壓軸題為例，談談這類題型的解題方法.

關鍵詞：圓錐曲線;切線;導數

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）01-0005-03

4 追根溯源

（2013年遼寧理科20題） 拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0），點M（x0，y0）在拋物線C2上，過點M作C1的切線，切點為A，B，（M為原點O時，A，B重合于原點O），當x0=1-2時，切線MA的斜率為-12.

（1）求p的值;

（2）當M在C2上運動時，求線段AB的中點N的軌跡方程.

評注 此題也有多種解法，可以直接設切點的坐標，利用導數的幾何意義得出切線方程，再利用求軌跡的方法求解.此法的關鍵點是設而不求，思路直接，難點是參數多，需要注意消參的技巧;也可以借助拋物線的參數式，利用導數求出切線的方程，進而求出兩切線的方程，轉化為以t1，t2為兩根的方程，最后利用韋達定理求解，關鍵點是方程的轉化和消元的技巧.此題解法從略，有興趣的讀者可以自己嘗試.

從近幾年全國各地的高考圓錐曲線的壓軸題來看，圓錐曲線的定義、幾何性質及直線與圓錐位置關系仍是高考的熱點和難點.文中兩題以圓錐曲線中的拋物線為背景，過曲線外一點引曲線兩條切線問題為載體展開.一道題是利用導數求切線斜率，并求所得到的三角形面積的最大值;另一道是利用導數求切線斜率，尋求動點軌跡方程.兩題均考查了圓錐曲線的一些基本知識及消參等基本運算;從思想方法上來看，考查了數形結合思想、函數與方程思想等.

要學好高中數學，就應該對所學知識有整體的認識和把握，即理解這些知識在解決數學問題乃至實際問題中所起的作用.我們也要明確，數學是思維的科學，邏輯思維、數形結合、概括與綜合等都是數學的重要思想方法.

參考文獻：

[1]王敏.導數在圓錐曲線中的應用[J].高中生學習，2014（04）：33-35.[2]謝幸達.一道與圓錐曲線的切線方程有關的高考題引起的思考[J].未來英才，2015（05）：303.

[責任編輯：李 璟]