巧建坐標系 速解斜面上的拋體運動問題

何仕乾

摘 要：斜面上的拋體運動問題，初速度主要涉及兩個特殊方向，水平方向和與斜面垂直的方向.初速度與斜面垂直的問題，選取不同的坐標系，解答過程繁簡差異極大.若結合各自的優勢，則可高效解答此類問題.

關鍵詞：斜面;拋體運動;解法;優化

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）01-0118-03

拋體運動是曲線運動的一種特殊情形，是研究曲線運動規律和方法的例子.拋體運動，涉及運動的合成與分解.教材中重點學習了平拋運動.平拋運動的處理方法，一般將其分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動.實際教學中，試圖通過平拋運動的重點學習，希望學生能“舉一反三”，能夠用類似的規律和方法處理其它方向的拋體運動.

斜面上的拋體運動，一般只涉及初速度方向水平的情形.拋出的物體若落在斜面上，用速度偏向角與位移偏向角的關系解答相關問題，若落在水平面上，則按一般的平拋運動解答即可.筆者在教學中，經常遇到學生探討初速度方向不水平的問題.在指導學生解答相關問題時，若學生建立不同方向的坐標系，解答過程涉及的運算量相差較大.如何優化解法，提高效率，下面從一道典型習題說起.

問題 如圖1所示，在一傾斜角為θ，足夠長的斜面上，垂直斜面向上以v0拋出一小球（可視為質點），不計空氣阻力，試求小球落在斜面上時的速度.

解法1 以拋出點為坐標原點，建立如圖2所示坐標系，相對x坐標軸，小球做斜拋運動.將小球的運動分解為水平方向和豎直方向兩個分運動.即水平方向以vx=v0sinθ為初速度做勻速直線運動，豎直方向以vy=v0cosθ為初速度做豎直上拋運動.

令歷時t小球落到斜面上P點，則

x=（v0sinθ）t，

y=-（v0cosθ）t+12gt2.

由于tanθ=yx

則有：t=v0cosθg

在p處，沿y方向的速度為vy=-v0cosθ+gt=v0（2cosθ-cosθ）

合速度為vp=v2x+v2y=（v0sinθ）2+v20（2cosθ-cosθ）2=v01+4tan2θ

與水平方向的夾角為β，則

tanβ=vyvx

=v0（2cosθ-cosθ）v0sinθ

=1+sin2θsinθcosθ.

解法2 如解法1，仍以拋出點為坐標原點，建立如圖2所示坐標系，由數學知識可知，小球落在P點，即在xoy坐標系中，斜面所在的直線與小球軌跡形成的拋物線交于P點.

斜面所在直線方程為y=xtanθ①

拋物線的方程，由豎直上拋運動可知，頂點O′的

縱坐標為y′=-（v0cosθ）22g，

上升到O′的時間為t′=v0cosθg，頂點O′橫坐標為x′=（v0sinθ）×v0cosθg=v20sinθcosθg.

當在O′點以水平速度vO′平拋小球時，其拋物線方程為y′=g2v2O′（x′）2.

綜上，可列出小球運動軌跡拋物線方程為

y=g2（v0sinθ）2（x-v20cosθsinθg）2-（v0cosθ）22g ②

聯立①②可得x2-2v20tanθgx=0

解得：x=0（初始拋出點舍去），

x=2v20tanθg.

從O點到P點，水平方向勻速運動，令歷時為t，則

t=xvx=2v0gcosθ

在p處，沿y方向的速度為

vy=-v0cosθ+gt=v0（2cosθ-cosθ）

合速度為vp=v2x+v2y=v01+4tan2θ

與水平方向的夾角為β，則

tanβ=1+sin2θsinθcosθ

解法3 沿斜面方向和垂直斜面方向，建立如圖3所示坐標系，則小球的運動可看作兩個分運動：

沿x方向的初速度為v0，加速度大小為ax=gcosθ的勻減速直線運動，沿y方向初速度為0，加速度大小為ay=gsinθ的勻加速直線運動.

小球從拋出到落在斜面上的時間，可由x方向的運動求出.在x方向上，相對于斜面，類似豎直上拋運動，小球離開斜面減速至0，又反向加速回到斜面的時間相等，即有t=2×v0gcosθ=2v0gcosθ.回到斜面p點時，沿x負方向的速度大小為vx=v0.

打在p點時，沿y方向的速度即為

vy=ayt=（gsinθ）×2v0gcosθ=2v0tanθ

p點速度大小為：

vp=v2x+v2y=v20+（2v0tanθ）2=v01+4tan2θ

令vp與y軸的夾角為α，則tanα=vxvy=12tanθ

與水平方向的夾角為β，則β=α+θ.

tanβ=tan（α+θ）=sin（α+θ）cos（α+θ）

由tanα=12tanθ

不難得到sinα=11+4tan2θ和cosα=2tanθ1+4tan2θ

則有tanβ=1+sin2θsinθcosθ.

總結 此例中，由于初速度方向與重力加速度方向夾角不特殊，需要對涉及的兩個矢量進行分解.分解不同矢量，在解答過程中涉及的運算量相差很大，對學生運用數學解決物理問題的要求較高.拋體運動相關知識是高一教學內容，對于高一學生，此例中涉及的數學運算對他們而言有難度，解法1將豎直方向的分運動整體考慮，實際教學中學生也不易掌握，他們更愿意將豎直上升過程和自由下落過程分段處理，這些需要在學生處理過程中進行引導和點撥.

比較以上解法，關鍵在求解小球離開斜面的時間（空中運動時間），解法3選擇斜面為參考面，分解重力加速度無疑是快、準、穩.求得時間后，在確定P點速度大小和方向時，解法1優勢明顯.解法2對于數學能力較強的學生可嘗試，“技多不壓身”，多一種方法，多一分能力.

本例初速度方向與斜面垂直，雖然情形仍然特殊，但對于高中階段的學習，已屬于較高要求.當初速度方向與斜面夾角不是特殊的垂直關系時，由上述兩種解法可知，仍然可由解法3求空中運動時間，由解法1確定落點處的水平方向和豎直方向分速度，從而求得落點處合速度的大小和方向.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書（物理必修2）[M].北京：人民教育出版社，2004（5）.

[責任編輯：李 璟]