巧解電場中的能量問題

周芹

摘 要：高考對電場的考查形式靈活多樣，主要涉及到的知識點是電場中的力學問題、能量問題和帶電粒子在電場中的運動.其中，電場中的能量問題，特別是在計算題中考查時，往往涉及到的知識點多、綜合性強，本文就此類問題做一總結.

關鍵詞：電場中的能量問題;等效法

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）01-0115-03

電場中的能量問題是高考常考的知識點之一，往往是既涉及到受力，也涉及到能量轉化，且試題綜合性較強，難度大.現舉例加以說明.

1 電場中的功能關系

我們知道一種力做功改變一種能量：

（1）如果電場力做正功，則電勢能減少;如果電場力做負功，則電勢能增加，且在數值上也存在相等的關系.

（2）如果只有電場力做功，能量僅在動能和電勢能兩種之間相互轉化，則動能（Ek）和電勢能（Ep）的總和不變.

（3）如果只有電場力和重力做功的情況下，則重力勢能、電勢能和動能三種能量之和保持不變.

例1 現有一下端固定的豎直絕緣輕質彈簧，如圖1所示，彈簧的上端連接著一個帶正電的小球P，已知整個空間存在豎直向上的勻強電場，小球處于平衡狀態且彈簧處于原長.若給小球一個向上的初速度，到達的最高點即為M.則關于小球運動至最高點時的說法正確的是（? ）.

A.小球的電勢能減少、重力勢能增加，且二者在數值上相等

B.小球的機械能增加，且增加量在數值上等于電場力所做的功

C.小球動能的減少量在數值上等于電場力和重力所做功的代數和

D.小球動能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量

思路點撥 本題在分析時，關鍵之處就是要弄清各能量之間的相互轉化.

解析 本題的初始狀態是彈簧處于原長，小球處于受力平衡，即小球的重力和電場力二力平衡 mg=qE，可知重力和電場力的合力功為零，故選項A正確.小球在豎直向上運動的過程中，小球的動能減少，彈性勢能增加，故選項C錯誤，D正確;改變小球機械能的力是除重力以外的其它力，即電場力和彈力做功，故選項B錯.本題答案為AD.

解后反思 解決電場中能量問題時常用到的規律有動能定理、能量守恒定律和功能關系.

（1）應用動能定理求解問題時需要研究合外力的功，即總功.

（2）應用能量守恒定律求解問題需要找電勢能和其他形式能之間的相互轉化.

（3）應用功能關系求解問題需明確電場力做功和電勢能改變之間的對應關系.

（4）有電場力做功時，因為有除了重力或彈簧彈力以外的其它力做功，機械能一般不守恒，但能量是守恒的，即機械能與電勢能的總和保持不變.

2 等效最高點、最低點問題

例2 如圖2所示，在豎直平面內有水平向右，場強為E=1×104N/C的勻強電場.在勻強電場中有一根長L=2m的絕緣細線，一端固定在O點，另一端系一質量為0.04kg的帶電小球，它靜止時懸線與豎直方向成37°角，如圖2所示，若小球恰能繞O點在豎直平面內做圓周運動，試求：（1）小球的帶電量Q;（2）小球動能的最小值;（取小球在靜止時的位置為電勢能零點和重力勢能零點，cos37°=0.8，g=10m/s2）

思路點撥 本題是一道力電綜合題，主要考查學生對力的合成與豎直平面內的圓周運動的掌握情況.以及對復合場的理解與掌握.難點在于等效重力的理解.

解析 由于小球帶電，受到電場力所以在靜止時絕緣細線必然和豎直方向有一個夾角，通過這個夾角就能計算出m的帶電量.

（1）對小球m進行受力分析：可以得到：

qEmg=tan37°

所以：q=mgtan37°E

代入數據得：q=3×10-5C

由于重力和電場力都是恒力，所以它們的合力也是恒力.在圓上各點中，小球在平衡位置A點時的勢能（重力勢能和電勢能之和）最小，在平衡位置的對稱點B點，小球的勢能最大，由于小球總能量不變，所以在B點的動能EkB最小，對應速度vB最小，在B點，小球受到的重力和電場力，其合力作為小球做圓周運動的向心力，而繩的拉力恰為零，有：

mg′=mgcos37°=0.5N

在等效最高點，等效重力提供向心力mg′=

mv2BL

此時的速度最小，動能最小EkB=12mv2B

解得EkB=0.5J

3 以力電綜合問題為背景考查受力分析及基本規律的運用

例3 如圖3，一根長為L=1.5 m的光滑絕緣細直桿MN豎直固定在電場強度大小為E=1.0×105N/C、與水平方向成θ=30°角的斜向上的勻強電場中，桿的下端M固定一個帶電小球A，帶電荷量為Q=+4.5×10-6C;另一帶電小球B穿在桿上可自由滑動，帶電荷量為q=+1.0×10-6C，質量為m=1.0×10-2kg.現將小球B從桿的N端由靜止釋放，小球B開始運動.（靜電力常量k=9.0×109 N·m2/C2，g=10 m/s2）

（1）求小球B開始運動時的加速度a;

（2）當小球B的速度最大時，求距M端的高度h1;

（3）若小球B從N端運動到距M端的高度為h2=0.61m時，速度v=1.0 m/s，求此過程中小球B電勢能的改變量ΔEp.

思路點撥 本題求解時做好三個分析：受力分析、運動分析、能量分析，用到的規律有牛頓第二定律、動能定理等.

解析 分析力學問題的首要步驟是什么？當然是正確選擇研究對象，然后對其進行受力分析，畫出小球B運動前的受力示意圖如圖4所示.

在正確分析受力的基礎上，接下來要做什么呢？判斷其運動情況，B球釋放后先向下加速運動，然后向下減速運動，速度最大時，所受合力為零，加速度為零.

用什么規律呢？列什么方程呢？

（1）開始運動時小球B受重力、庫侖力、桿的彈力和電場力，沿桿向下運動，由牛頓第二定律得

mg-kQqL2-qEsinθ=ma

解得a=3.2m/s2，方向豎直向下.

（2）小球B速度最大時受到的合力為零，即

kQqh21+qEsinθ=mg

代入數據得h1=0.9 m.

要點提醒 第（1）問求加速度a時，應對B球在N位置時利用牛頓第二定律求解;小球速度最大時，a=0，要利用平衡條件求解;電勢能的變化對應電場力做功，應通過動能定理求解.

接下來要求電勢能的變化量，有哪些思路呢？做功一定對應著能量轉化，假如我們知道了電場力在這個過程所做的功，就可以求出該過程中小球B電勢能的改變量ΔEp

小球B在從開始運動到速度為v的過程中，設重力做功為W1，電場力做功為W2，庫侖力做功為W3，則根據動能定理得W1+W2+W3=12mv2

W1=mg（L-h2）

又由功能關系知ΔEp=|W2+W3|

代入數據得ΔEp=8.4×10-2J.

解后反思 力電綜合問題是高考常考題型之一，解決力電綜合問題的一般思路可總結如圖5：

4 能量守恒的觀點在電場中的應用

例4 如圖6所示，虛線1、2、3、4分別表示靜電場中的等勢面，相鄰的等勢面之間的電勢差是相等的，假設3等勢面的電勢為0.一帶正電的點電荷僅在靜電力的作用下從圖中a運動到b，經過a等勢面的動能是50eV，經過b等勢面的動能是26eV，當該點電荷運動到某一位置，其動能是30eV，電勢能應為? ?eV.

解析 圖中虛線1、2、3、4是四個等差等勢面，帶電粒子僅在靜電力作用下的運動，故電荷經過相鄰兩個等勢面時的動能減小量為△E=50-263eV=8eV，故經過等勢面3時的動能為34eV;只有電場力做功，則電勢能和動能之和是不變的，故有：0eV+34eV=30eV+Ep.解得：Ep=4eV.

對于電場中的能量問題，我們通常從受力情況出發，運用等效法、牛頓第二定律、動能定理或能量轉化等方法，我們要善于舉一反三，靈活應用所學知識，熟練掌握解題方法.

參考文獻：

[1] 邵長寬.一個電場中的能量守恒問題及變式[J].河北理科教學研究，2013（04）：20-21.

[責任編輯：李 璟]