球面與簡單多面體表面交線問題探究

魏東升

摘 要：本文通過對2020年新高考山東卷第16題進行探究，發現這類問題可以通過準確確定“截弧”弧心的具體位置來解決，并在此基礎上給出了確定弧心位置的具體方法.

關鍵詞：球面;圓心;多面體;交線

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）01-0068-03

在最近筆者所在學校年級組織的一次高三月考中，一道立體幾何的問題引起了筆者關注.因為其得分情況幾乎可以用“慘不忍睹”來形容，即便是筆者所在的層次較好的班，其情況也不容樂觀.經過對試題進行深入探究發現，這個問題是立體幾何中的一種經典問題，其解法亦具有普遍性.

1 真題再現

題目 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°.以D1為球心，5為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為.

本題選自2020年新高考山東卷的第16題.從考查知識方面來說，主要考查了立體幾何點線面位置關系，簡單幾何體的構造，軌跡問題和扇形的弧長公式等;從考查知識方面來說，主要考查了數形結合思想，轉化與化歸思想和整體與局部思想等;從考查能力方面來說，本題主要考查了學生的直觀想象能力，數學抽象能力和數學運算能力等，很好地體現了《考試說明》中強調的“以能力立意，強化對數學學科核心素養的考查”.作為填空壓軸題，有很好的區分度，具有較好的選拔功能.

2 本質呈現

這類問題其實是幾何中的截弧問題，屬于球“切截接”（球內切問題，球截面問題和球外接問題）中截面問題的一種，其上次出現還是在2007年全國高中數學聯賽中.所謂截弧，是指平面中的圓（或圓弧）被直線或線段所截，或者是空間中的球被多面體（或平面圖形）所截，所得截線是一個圓或是一段圓弧，但常常是圓弧居多，實際上其和麻將這類益智類游戲中的“截和”有異曲同工之妙.

解決這類問題的關鍵是需要具備解題的整體思想，能夠直觀想象到多面體截得的弧是圓的一部分，同時結合已知條件通過數學運算獲得該圓的圓心和半徑，進而得到圓弧所在扇形的圓心角.

如果球面與幾何體的某個表面有交線，則球的半徑應該大

于球心到該面的距離，且小于球心到該面內點的最大距離.在實際問題中，不管是準確作出交線的軌跡還是計算軌跡的長度，都繞不開弧心（即軌跡所在圓的圓心）的確定，由圖1可知，弧心其實就是球心O在截面上的投影A.弧心的確定可以分為三類：弧心即球心;弧心在邊界及弧心在面內.以下結合實例分析這三種類型的解題策略.圖1

3 類型展現

3.1 弧心即球心

如果球面與球心所在面相交，則其交線所在圓即為大圓，該截弧的弧心即為球心.

例1 已知正三棱臺ABC-A1B1C1的上下底邊長分別為2和5，側棱長為3.以下底邊頂點A為球心，2為半徑的球面與正三棱臺的表面的交線長為.圖2

解析 如圖2，因為球A的半徑為2，所以其只與正三棱臺的表面A1B1BA，A1C1CA及ABC等三個面相交.假設其與這三個面的交線的交點分別為點D，E，F.因為球心A剛好在這三個面內，所以球心A也就是對應截面圓的圓心，其與正三棱臺的交線也就是以A為弧心的三段弧長.

在梯形A1B1BA中，經計算可得其高為332.

又AA1=3，所以∠A1AB=π3，

從而EF=π3×2=23π.

所以交線總長為EF+DF+DE=3EF=2π.

評析 本題解題的關鍵是確定球和多面體的幾個表面有交線.由于球的半徑小于球心到面A1B1C1和面B1C1CB的距離，所以其只與球心A所在的三個面有交線，而點A也就成了這三段截弧的弧心.

3.2 弧心在邊界

如果球心所在面與截面垂直，則該截弧的弧心必在兩個平面的交線上.

例2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，以頂點A1為球心，2為半徑的球面與正方體的兩個表面A1B1BA及BB1C1C相交所得到的兩段弧長之和等于.

圖3

解析 如圖3，假設其與這兩個面邊界的交點分別為D，E，F，因為球心A1剛好在面A1B1BA內，所以球心A1也就是DE的弧心，其交線為以A1為弧心，以A1D為半徑的DE.經計算可得∠DA1E=π6，所以DE=π6×2=π3.而球心A1不在面BB1C1C內，所以需要找到其在這個面的投影，也就是截面圓的圓心.注意到A1在面BB1C1C的投影剛好是邊界上的B1，從而球A1和面BB1C1C的交線即為以B1為弧心，以B1F為半徑的EF，經計算可得B1F=1.而∠EB1F=π2，所以EF=π2×1=π2.

所以兩段弧長之和為EF+DE=π3+π2=5π6.

評析 注意到點A1所在的兩個平面A1B1BA及A1B1C1D1同時和平面BB1C1C垂直，所以點A1在平面BB1C1C的投影即為這三個平面的公共點B1.所以點B1就成了平面BB1C1C所在截弧的弧心.

3.3 弧心在面內

如果球心所在面與截面不垂直，則該截弧的弧心必在截面的面內.

例3 已知正四面體ABCD的棱長為2.以BC的中點E為球心，1為半徑的球面與該正四面體的右側面ACD的交線長為.

圖4

解析 ?如圖4，因為球心A1不在面ACD內，所以需要找到其在這個面的投影，也就是截面圓的圓心. 取AD的中點M，連接BM和CM，易證得平面ACD⊥平面BCM，所以球心E在面ACD的投影G剛好落在平面ACD和平面BCM的交線CM上.

假設其與這個面邊界的交點分別為H，F，從而球E和面ACD的交線即為以點G為弧心，以GF為半徑的HF.在△ABC中，經計算可得GE=63.

在△EFG中，經計算可得GF=33.

又HF=1，所以∠HGF=2π3，從而HF=2π3×33=23π9.所以交線長為23π9.

評析 ?事實上，很多時候會碰到截弧的弧心出現在所截面的面內的情況，這個時候需要找到一個垂面，即過球心且和截面垂直的平面，此時可知弧心會出現在這兩個平面的交線上.

有了以上知識儲備，我們再來看看這道真題的解析.

解析 如圖5，取B1C1的中點為E，BB1的中點為F，CC1的中點為G，因為∠BAD=60°，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，所以△D1B1C1為等邊三角形.所以D1E=3，D1E⊥B1C1.又BB1⊥B1C1，BB1∩B1C1=B1，所以D1E⊥側面B1C1CB.

即E是平面BB1C1C所在截弧的弧心.圖5

設P為側面B1C1CB與球面的交線上的點，

則D1E⊥EP.

因為球的半徑為5，D1E=3，

所以|EP|=|D1P|2-|D1E|2=5-3=2.

因為|EF|=|EG|=2，

所以側面B1C1CB與球面的交線是扇形EFG的弧FG.

因為∠B1EF=∠C1EG=π4，

所以∠FEG=π2.

所以根據弧長公式可得FG=π2×2=22π.

需要指出的是，在解題時上述類型的運用往往并不一定是孤立的，可能會是多種情況同時出現，這一點可以通過改變多面體的類型，變換球心的位置或者球的半徑得到，而這也是數學命題中一題多變的思想源泉.

參考文獻：

[1]李昌官.問題中心：素養為本高中數學教學的基本策略[J].數學通訊，2020（12）：1-6+10.

[責任編輯：李 璟]