具有時變參考輸入的多自主體系統的平均一致性跟蹤

張 雨，劉成林

（輕工過程先進控制教育部重點實驗室（江南大學），江蘇無錫 214122）

0 引言

近些年來，多自主體系統的分布式協調控制引起了眾多學者的研究興趣，并得到了廣泛的應用，如：多機器協調控制［1］、無人機編隊控制［2］、傳感器同步［3］等。

一致性問題［4］是多自主體系統控制中的基本問題，得到了深入的研究，并取得了廣泛的研究成果。自主體通過彼此協調合作進行信息傳輸，根據控制協議改變自身的狀態，從而使得自主體的狀態值趨向于一致。此外，如果一致性的值為自主體初始狀態的平均值，則稱之為平均一致性問題［5］。本文研究平均一致性跟蹤問題：在控制協議約束下，每個自主體通過和相鄰自主體進行信息傳輸最終收斂到參考輸入的平均值［6］。Liu 等［7］將干擾觀測器引入算法來抵消外部干擾，并用矩陣分析法得到固定拓撲結構下自主體跟蹤參考輸入平均值的一致性收斂條件。鄭敏等［8］分析了自主體間存在時延的一致性問題，運用Routh 判據和Nyquist 判據得到強連通拓撲下的平均一致性跟蹤的條件。為了研究多自主體系統跟蹤時變參考輸入信號的平均值，Chen 等［9］提出了具有時變參考輸入的三階多自主體系統的一致性算法，分析出多自主體系統任意初始條件下追蹤參考輸入平均值的誤差大小。Kia 等［10］設計了連續時間的動態平均一致性算法，運用矩陣論方法得出了時變拓撲結構下自主體跟蹤時變參考輸入平均值的誤差上界。Chen 等［11］研究了分布式不連續控制算法，采用非平滑分析和穩定性分析給出了自主體在有限時間內跟蹤時變參考輸入的平均值?；趦炔磕Ｐ驮瓌t，Bai等［12］考察了動態平均一致性跟蹤算法，給出了自主體跟蹤時變參考輸入平均值的充要條件。Moradian 等［13］運用矩陣分析和微分方程分析比例-積分一致性算法在相同通信時延約束下跟蹤時變參考輸入平均值的收斂條件，該收斂性與時延相關。

由于網絡通信負載和帶寬的限制，多自主體系統間的信息傳輸數據需要進行采樣和量化［14］。Zhang 等［15］研究了基于均勻量化器的一階多自主體系統的平均一致性跟蹤問題，運用矩陣分析得出了多自主體系統跟蹤定常參考輸入平均值的充要條件。Ceragioli 等［16］和Yu 等［17］采用均勻量化器分別證明了一階多自主體系統和混合階多自主體系統實現平均一致性的收斂條件。Fang 等［18］提出了基于概率量化器的分布式控制算法，得到了在均方意義下多自主體系統狀態收斂到初始狀態的平均值?；趯盗炕?，Wu 等［19］通過設計控制增益和量化精度實現了系統的平均一致性跟蹤。Liu等［20］和Bian 等［21］運用矩陣分析證明了多自主體系統的平均一致性。

本文考察了具有時變參考輸入的多自主體系統的動態平均一致性跟蹤問題。在已有的平均一致性跟蹤算法基礎上進行了改進，提出了一種新的比例-積分一致性算法，并分析了多自主體系統在強連通平衡拓撲結構下的一致性問題。利用Routh 判據和矩陣分析得到多自主體系統漸近收斂到參考輸入平均值的條件。由于自主體間信息傳輸數據進行量化的必要性，運用同樣方法得到了數據量化后多自主體系統的平均一致性跟蹤條件。

1 預備知識

1.1 圖論

1.2 符號定義

R 代表實 數，b=(b1，b2，…，bn)T∈Rn×1代表n個變量bi，i∈V組成的列向量。In表示n階單位矩陣。

對于離 散時間函數q：Z →Rn×1，定義：‖q‖∞=sup{‖q(k)‖，k∈Z} 。

在本文中，若無特殊說明，‖·‖等價于‖·‖2，代表二范數的值。

1.3 量化器

由于網絡通信負載和帶寬的限制，多自主體間的信息傳輸數據需要進行采樣和量化。本文運用均勻量化器來量化信息傳輸數據［22］，均勻量化器的量化函數定義如下：

1.4 重要引理

引理1［23］對于具有n個節點的有向平衡圖G～，下述結論成立：

1）0 是L的一個特征值，和1n分別為L的左特征向量和右特征向量，滿足：

2）對于連通的圖G～，L有且僅有一個特征值為0。

引理2［24］對于有復系數的三次方程：

的根位于左半平面內，當且僅當如下條件成立：

引理3［25］若矩陣D的特征值位于復平面的單位圓內，則D的范數滿足如下性質：

其中：ω∈(0，1)，τ＞1。ω和τ的取值可以借助LMI 工具箱求出：(ω，τ，Q)在取最小值時得到，且：

DTHD-H≤

2 問題描述

假定多自主體系統由n個自主體構成，自主體間都可以發送和接收信息。對于每個自主體，都可以存儲信息和處理信息，并且可以接收到一個隨時間變化的參考輸入信號。本文研究的核心是設計一個分布式算法，使得每個自主體漸近跟蹤參考輸入信號的平均值。即：xi(k) ∈R(i∈V)為自主體i的狀態，ui(k) ∈R(i∈V)為自主體i的參考輸入信號，本文的目標是設計一個分布式算法，使得：

假定多自主體系統由n個自主體構成，為了解決多自主體系統的動態平均一致性跟蹤問題，文獻［9］中提出的分布式跟蹤算法如下：

其 中：xi(t) ∈R 表示自主體i(i∈V) 的狀態，pi(t) ∈R 和ηi(t) ∈R 表示自主體i(i∈V)的內部狀態。

在文獻［9］中自主體xi(t)的基礎上，本文引進比例環節更好地跟蹤參考輸入信號的平均值，改進后的一致性跟蹤算法如下：

其中：kP和kI分別表示比例系數和積分系數。

多自主體間進行數據通信時需要進行采樣以減輕通信負載，將式（6）中的算法采用零階保持器化為如下離散形式：

3 一致性分析

3.1 無量化情況

令自主體的跟蹤誤差為：

定理1假定多自主體系統式（7）的通信拓撲圖是強連通平衡圖，多自主體系統實現平均一致性跟蹤，當且僅當下列條件成立：

ai和bi對應拉普拉斯矩陣L的第i個特征值λi的實部和虛部。同時，多自主體系統平均一致性跟蹤誤差的有界值為：

為考察采樣間隔φ的范圍，分析矩陣M特征值的分布情況。即：

式（13）可變換為：

其中：λi為拉普拉斯矩陣L的第i個特征值。

接下來，考察方程（16）的特征值的分布：

令λi=ai+i·bi（λi中的i表示第i個智能體，i·Im(·)中的i 表示虛數單位），其中：ai表示λi的實數部分，bi表示λi的虛數部分?？梢缘玫剑?/p>

其中：p1，i、q1，i、p2，i、q2，i、p3，i和q3，i的值在定理1 中已給出。

根據引理2 可知：滿足定理1 中的條件1），2）和3）時，方程（17）的根位于左半平面。

因此，當且僅當定理1 中的條件1）、2）和3）都成立時，方程（17）的根位于左半平面。根據方程（16）和方程（17）的雙線性變換可知：此時方程（16）的特征值位于復平面的單位圓內。

采樣間隔φ滿足定理1 中的條件時，矩陣M的特征值位于復平面的單位圓內。根據引理3 可知：‖M‖k≤τωk（τ和ω的取值在定理1 中給出）。

將方程（12）進行迭代可得：

利用范數的性質，可得式（20）：

推論1 假定多自主體系統式（7）的通信拓撲圖是無向連通圖，多自主體系統實現平均一致性跟蹤，當且僅當下列條件成立：

λi為拉普拉斯矩陣L的第i個特征值。同時，多自主體系統平均一致性跟蹤誤差的有界值為：

其中：ω和τ的取值在定理1中已給出。

3.2 量化情況

考慮到自主體間的信息傳輸數據進行量化的必要性，接下來研究式（6）在數據量化后的平均一致性跟蹤問題：

自主體間信息傳輸數據需要進行采樣，運用零階保持器將式（22）中的算法化為如下離散形式：

在式（23）的作用下，系統可寫為：

聯立式（9）和式（24），得到：

式（25）用矩陣形式表示，得到：

定理2假定多自主體系統式（23）的通信拓撲圖是強連通平衡圖，多自主體系統實現平均一致性跟蹤，當且僅當下列條件成立：

ai和bi對應拉普拉斯矩陣L的第i個特征值λi的實部和虛部。同時，多自主體系統平均一致性跟蹤誤差的有界值為：

根據定理1 中的分析可知：當采樣間隔φ滿足定理2 中的條件1），2）和3）時，矩陣M的特征值位于復平面的單位圓內。根據引理3 可知：‖M‖k≤τω（kτ和ω的取值在定理2 中已給出）。

將式（27）進行迭代可得：

推論2 假定多自主體系統式（23）的通信拓撲圖是無向連通圖，多自主體系統實現平均一致性跟蹤，當且僅當下列條件成立：

λi為拉普拉斯矩陣L的第i個特征值。同時，多自主體系統平均一致性跟蹤誤差的有界值為：

其中：ω和τ的取值在定理2中已給出。

4 仿真結果

4.1 無量化情況

研究由4 個主體構成的多自主體系統式（7），其拓撲結構是強連通平衡圖，如圖1。在拓撲結構圖中，鄰接權重分別為：a12=1，a21=a23=1，a34=1，a42=1。計算可知，拉普拉斯矩陣L的特征值為：λ1=0，λ2=1，λ3=λ4=2。

圖1 四個自主體的連接拓撲Fig.1 Interconnection topology of four agents

自主體參考輸入信號為：u1(k)=sin(0.1k)，u2(k)=cos(0.2k)，u3(k)=sin(0.15k)，u4(k)=0.1k。

比例系數kP和積分系數kI選定為：kP=kI=1。初始值選定為：x(0)=p(0)=η(0)=[ 1 2 3 4 ]T。根據定理1 中的條件可得：采樣間隔的臨界值為φ=0.423 2 s。當φ=0.2 s，圖2 和圖3 展示了時變參考輸入的有界平均一致性跟蹤。當φ＞0.423 2 s(φ=0.424 s)時，自主體無法實現有界平均一致性跟蹤，如圖4。

圖2 φ=0.2 s時無量化的自主體狀態軌跡Fig.2 State trajectories of agents without quantization when φ=0.2 s

圖3 φ=0.2 s時無量化的自主體狀態誤差Fig.3 State errors of agents without quantization when φ=0.2 s

圖4 φ=0.424 s時無量化的自主體狀態誤差Fig.4 State errors of agents without quantization when φ=0.424 s

4.2 量化情況

研究均勻量化器下的多自主體系統式（23），選擇和例1中同樣的拓撲結構、鄰接權重和采樣間隔。選取量化間隔為δ=0.5。多自主體的初始條件和例1 中的相同，即：參考輸入信號 為u1(k)=sin(0.1k)，u2(k)=cos(0.2k)，u3(k)=sin(0.15k)，u4(k)=0.1k。比例系數kp和積分系數kI選定為：kp=kI=1。初始為x(0)=p(0)=η(0)=[ 1 2 3 4 ]T。根據定理2 中的條件可得：采樣間隔的臨界值為φ=0.423 2 s。當φ=0.2 s，圖5 和圖6 展示了時變參考輸入的有界平均一致性跟蹤。當φ＞0.423 2 s(φ=0.424 s)時，自主體無法實現有界平均一致性跟蹤，如圖7。

圖5 φ=0.2 s時量化的自主體狀態軌跡Fig.5 State trajectories of agents with quantization when φ=0.2 s

圖6 φ=0.2 s時量化的自主體狀態誤差Fig.6 State errors of agents with quantization when φ=0.2 s

圖7 φ=0.424 s時量化的自主體狀態誤差Fig.7 State errors of agents with quantization when φ=0.424 s

5 結語

對于具有時變參考輸入的多自主體系統，本文研究了自主體跟蹤參考輸入信號平均值的一致性問題。本文在原有算法的基礎上，提出了一種新的比例-積分一致性跟蹤算法，采用矩陣分析和Routh 判據得到多自主體系統漸近跟蹤參考輸入平均值的充要條件，該條件與采樣間隔和拉普拉斯矩陣特征值有關。由于自主體間通信數據進行量化的必要性，運用同樣方法得到了數據量化后的多自主體系統的平均一致性跟蹤條件，該條件與采樣間隔和拉普拉斯矩陣特征值相關。在未來的研究工作中，考察采樣周期是時變的情況，設計和分析控制算法，更具有實際應用價值。