基于微積分的單株立木材積模型模擬

程玉娜，鄧必平

(1.贛州市林業局，江西 贛州 341000；2.江西環境工程職業學院，江西 贛州 341000；)

微積分是微分學和積分學的統稱，是高等數學中的重要組成部分及核心內容[1]。它不但推動了物理學、生物學、生態學、工程學、經濟學、化學等自然科學的發展，而且在應用科學、社會學等方面也廣泛應用。森林是地球上最大的生態系統[2-3]，是地球上的基因庫、碳貯庫、蓄水庫和能源庫，在全球生態系統平衡中發揮著重要作用[4]。森林蓄積是林業資源各類調查及表征森林數量最重要的指標之一[5]，是林分中所有活立木的材積之和。是國家自然資源的重要組成部分，其可為森林資源可持續發展和國家林業發展戰略的制定提供決策依據[6-8]。因此，提高材積的計算方法是林業界一直研究的課題。提高活立木材積的計算精度，對森林蓄積量的估算具有重要的現實意義與實際價值。

1 研究區概況及研究方法

1.1 研究區概況

炎陵縣青石崗林場位于湖南省東南部，東林遂川縣，西接永興縣，南依貴東縣，北靠茶陵縣。26°26'～26°52'N，113°39'～113°E之間。距省會長沙290 km。海拔900～1200 m，年均氣溫17.4 ℃，屬亞熱帶季風性濕潤氣候，氣候溫和，雨量充沛，四季分明。年均降水量1496.7 mm，年無霜期266 d以上，空氣相對濕度較大，是名符其實的膏腴之地。全林場國有經營面積24754 hm2，有林地面積19664 hm2，有林地占林地面積79.44%。青石崗林場林業資源豐富，主要的優勢樹種有木荷，約占61%。

1.2 數據來源與處理

研究數據來自湖南省炎陵縣青石崗林場木荷林樣本的采集，選取生長正常的、具有代表性的、未受到破壞的天然林林分，郁閉度在0.8以上，標準地為10 m×10 m，隨機選取木荷林樣點，并對其編號，分別量取樣地內木荷樹的胸徑樹高。在每個樣地內選取具有代表的木荷一棵，將其伐倒進行解析木分析，且使伐倒的樹包括幼齡林、中齡林、近熟林、成過熟林。用輪尺或皮尺量取樣本的最長軸、最短軸(一般為東西、南北方向)的長度，并記下數值，作為模型的基礎數據。

2 微積分模型的建立及模擬

2.1 模型的建立

目前人們運用微積分知識并結合其特點，建立了許多數學模型，解決了許多重大疑難問題[9-15]。本文利用微積分方程，對樹干體積進行模擬計算。樹形橫斷面近似于橢圓，通過測量伐倒木不同高度橫斷面橢圓的長軸與短軸長及相對應的周長，計算出長軸長與短軸長之比k，依此原理量取采樣并計算同種樹的k值。為了驗證長半軸a與短半軸長b之間存在關系，保證短半軸與長半軸比值k有意義，這里先做兩者的相關分析。將量取的所有參與的解析木的長短半軸長分別輸入SPSS17.0軟件，作出長短軸的散點圖，去掉偏離度較大的點，通過做二者的相關分析得出相關分析結果如表1，從表1可知，兩者的相關性在0.01的置信區間內達到0.996，為顯著相關。因此k值變化幅度不大，因此以k為常數參數建立的模型具有實際意義。

表1 橫斷面長短半軸相關性分析結果

2.2 單株材積的模擬與分析

2.2.1k值固定時模型模擬。將樹干的橫斷面看做橢圓，橢圓面積用S表示，短半軸b與長半軸a之比用k表示，k∈(0,1]，當某種樹橫斷面的長軸與短軸一樣大時k=1。用測高儀實際測活立木的高度用H表示。實際測量時的高度為h，周長為l。樣木伐倒后，樹干小頭(樹干去梢后，樹干頂端)到地面處距離用h1表示,此處的長半軸長用c表示。h處的長半軸長為a，短半軸長為b。其示意圖可表示為圖1。設樹干中心線與樹干曲線的交點為A，則A點到地面的距離近似等于H。樹干的任意高度用z表示，z∈(0,H]，與z相對應的橫斷面的長半軸長用d表示，則由等比公式知：

圖1 模型示意圖

橫斷面面積：

由橢圓周長公式；

周長l=2π×短半軸長+4(長半軸長-短半軸長)=2πka+4(a-ka)=(2kπ+4-4k)a

其中：測量高度h、該高度處的周長l、樹高H，均可通過皮尺、測高儀量出，即l、h、H為已知數。橫斷面的短半軸長與長半軸長度之比k，可通過實際測量大量的伐倒木數據獲得。即k通過實踐可以得出，也為已知數。c為待定系數，可根據伐倒木出材時小頭的周長來確定，一般來講，可將c值粗略的看做5 cm(當c<5 cm時，材積可忽略不計)。通過實際測量大量伐倒木，k(木荷)=0.944。

該方法的優點：(1)克服了傳統林業中用胸徑尺測量時把橫斷面看成圓形的誤差，(實際中的橫斷面接近橢圓形非圓形)，使得測量值更加精確。(2)合適不同身高的人測量，隨意性增強。由于傳統的測量均取1.3 m高處作為測量對象，而在實際測量時由于每個測量者的實際身高不同，為此測量方便，在實際測量時很難保證測量的高度為1.3 m。隨著測量高度的不同，測量誤差也會增加。而用微積分方程計算時，可根據測量員的測量習慣，選取與自己身高相對應的測量高度，只需在記錄時將測量的高度和該處的周長對應即可。因而減少了由于不同身高人測量時，因測量高度的不同而帶來的誤差。(3)此方法在測量分叉樹精度遠遠高于傳統方法。現實生活中，樹的開叉現象時有發生，目前的采取的方法是以1.3 m為界，只是粗略的認為：當開叉的高度大于1.3 m時計為一棵樹，小于1.3 m時計為兩棵樹。1.3 m這個界限在現實測量時很難精確判定，因為實際情況1.29 m和1.30 m，位置基本相同，但卻因為1.29<1.3只能算一棵樹，因而當開叉高度在1.3 m左右時，按此方法計算誤差較大。而微積分方法，可根據實際開叉的高度分別計算開叉前后的材積，大大提高了計算精度。

缺點：受光照、水分、土壤、周圍環境等因素的影響，對于同一地方同一種樹而言，k值會有變化，這里通過觀察k至的散點圖，選取比較集中的一些點，最終取其平均值作為k值。

2.2.2k值變化時模型模擬。從地表根徑至樹梢樹干的干形不斷發生變化，短半軸與長半軸比值k并不是固定值，且直徑呈現出由大到小的變化規律。因此為了提高精確度，分別量取不同高度的周長及短半軸與長半軸長度進行計算。每株樹木的橫斷面近似于橢圓，假設某種樹的r個橢圓截面，設這些橢圓截面的長半軸長，短半軸長分別為 (a1,b1)，(a2,b2)……,(ar,br)，則可以得到短半軸與長半軸的比值

(0)

設距離地面高z米處樹木的斷面周長為l，則l與z的關系可表示為：

l=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0

(1)

通過測不同高處的l值，帶入(1)式可求出ai(i=0,1,2……n)的值的具體值。橫斷面長、短半軸a、b關系可表示為：

b=ka

(2)

橢圓周長公式可表示為：

l=2πb+4(a-b)=2πka+4(a-ka)

(3)

由公式(2)、(3)求得

(4)

由(1)式和(4)式可得到該單樹木的材積如下：

此方法與上面方法相比，優點：此方法將減少將k值看做定值帶來的誤差，由于樹干的橫斷面從上到下短長半軸之比不斷發生變化，因此，從理論上將該方法計算結果比第一種方法更為精確。缺點：由于測量次數過多，增大了工作量，且由于測量數字較多，容易出現錯誤。

3 結論與討論

傳統的測樹學方法中在計算活立木材積過程中提到很多種方法，但各種方法都存在著一定的不足與誤差。以湖南省株洲市炎陵縣青石崗林場木荷林為例，在數學方法為指導的前提下，分析樹木形狀特征，將微積分理論運用到材積計算中，通過實際實驗調查，得出其橫斷面長短半軸之比及單株材積的計算公式，微積分材積模型對確定林木材積、出材量、林木資產價值評估等方面具有重要意義。由于此方法隨意性強，不需要測固定高，因此這給實際測量帶來了極大的方便。另一方面，通過測量原木大小頭的周長及原木長度，即可通過公式快速的計算出原木的材積。這給原木資產評估帶來了極大的方便，從而為原木的交易市場提供參考依據。利用微積分求得的單株材積理論上比傳統查閱一元、二元材積表計算操作性好、可行性強、精確度高、隨意性強，既方便各種測樹者測量又提高了對分叉樹的計算。從而為今后森林資源經濟價值評估、森林資源動態監測及其發展趨勢分析提供理論、方法和技術。但由于條件限制，用來實驗的株數相對較少，k值的精確程度有待提高；實驗材料的實際材積未測，具體實驗精度未確定，均需要今后的進一步論證。

因按照圓和橢圓的公式求得的面積都大于樹干的實際橫斷面積(實際卵形)，其計算誤差與樹皮厚度有關。因此，在實際計算過程中，可根據不同樹種的樹皮厚度，帶入去掉皮后的橫斷面周長，從而減少因樹皮厚度而帶來的誤差。