淺談張量的通俗解釋

梁鐸強 劉芳遠

摘要：本文嘗試通俗解釋張量，讓張量學習者能抓住學習的主線。

關鍵詞：張量; 通俗解釋

1 前言

張量屬于代數的范疇，是文獻中最復雜、最容易混淆的基本數學概念之一。即使是在維基上搜索“張量”一詞，也要小心消除歧義。作為一個讀者，如果你不理解第一個關于張量的解釋，那么在閱讀第三個解釋之后，你似乎理解了一點，然后在閱讀第五個解釋之后，你發現還有上百個解釋是不同的。大部分工科學生懼怕張量的學習，為此，本文嘗試通俗解釋張量，讓他們學習張量時能盡快入門。

2 正文

我們在課堂上進行了嘗試，發現效果不錯。具體教法如下。

1） 在物理中，張量就是不隨坐標系變化而變化的量[1]。比如一根木頭，隨意割出一個長方體，各個面的彈性系數是不同的。六個面，18個量。由于是對稱的，所以我們把這個9個量的二階矩陣稱為張量。以此類推，可以得出應力張量、應變張量。注意這些張量可以是固體存在，也可以適用于流體[2]。

2） 上述是牛頓力學范疇。其他領域也是一樣的，比如晶體的電導率、磁化率、介電常數、熱導率、極化率、擴散系數、溫差電動勢、都是二階張量。

3） 其實量子力學也可以仿造之，得出慣性張量（類似彈性系數張量）和極化張量（類似應變張量）。極化張量表示核外電子在同一場強下的不同方向上的慣性和變形情況;

4） 慣性張量和極化張量是電子的防御情況。如果考慮入射的電磁波，那么光會發生偏振。光通過某些物質，偏振面發生了旋轉，這個現象稱為旋光現象。 這些物質所具有的這種性質成為旋光效應或旋光性。把不同方向的旋光性組合成旋光張量;

5） 電和磁是電磁波的兩個分量。對于確定的電磁波，顯然電和磁是不隨坐標系變化而變化的，所以可以定義電磁張量。此時，麥克斯韋方程就可以從矢量形式改為張量形式;

6） 應力-能量張量，也稱應力-能量-動量張量、能量-應力張量、能量-動量張量。在物理學中是一個張量，描述能量與動量在時空中的密度與通量（flux），其為牛頓物理中應力張量的推廣。在廣義相對論中，應力-能量張量為重力場的源，一如牛頓重力理論中質量是重力場源一般。應力-能量張量具有重要的應用，尤其是在愛因斯坦場方程。

7） 在數學方面，人們發現曲率也是張量。于是定于了很多曲率張量，比如黎曼張量、里奇張量、外爾張量、愛因斯坦張量。

8） 數學是物理的抽象。數學認為一切皆流形，數學家的張量就定義為n維流形切空間上的多重線性映射。這就很難通俗化了。總的來說就是，只有取極限的時候，流形就等同于歐式空間。那么再復雜的張量，只要給出流形上任意一點的應力，都是可以通過多重映射得出一個實數集。類似給出了彈性系數張量，我們就可以計算出一直應力的任意一點的應變[3]。

9） 張量的計算公式比較抽象，很難通俗解釋。不過張量總是可以使用多維數組表示，所以張量的計算可以程序花了。有利的方面就是我們可以丟掉繁瑣的計算，不利的方面就是我們很難理解運算的奧秘了[4]。通俗一點講：張量是對標量，矢量，矩陣的推廣。張量的表達看起來像是數組，其實每個值是在對應空間上的分量的大小。基向量和分量一起形成了張量的表達，它在物理學上的優點是，當基向量發生變化的時候（坐標系發生變化或者說是觀察方向發生了變化），對應的分量也會發生變化，但整個張量卻能保持不變。一階張量可以理解成一個向量，二階張量可以理解成矩陣，三階張量可以理解成立方體，四階張量可以理解成立方體組成的一個向量，五階張量可以理解成立方體組成的矩陣，依次類推。

10）在舊物理學書籍中，張量通常被定義為以某種方式變換的下標對象的集合，并且可以使用下標對象寫出變換規則。但是這個定義并沒有提供很多關于張量到底是什么的見解。特別是，這個定義導致了兩個誤解：首先，張量的定義是由其變換屬性（它如何變化）定義的，這使得很難捕捉實體本身（它是什么）。第二，張量是由其分量定義的，而不像是存在于基之外的實體。物理學家總是使用張量的分量形式進行計算，而不區分張量和矩陣。的確，組件形式使用起來非常方便，但它不能完全捕獲操作對象。現代數學視圖定義：張量是一個多線性函數。

按這條思路講解張量，學生反應不錯。

3 結論

實踐證明，通過對張量的通俗講解，學生可以迅速入門張量的學習。

參考文獻：

[1]Leedham-Green C R， O’Brien E A. Tensor products and projective geometries [J]. Journal of Algebra， 1997，189（2）： 514～528.

[2]Lu J， Papadopoulos P. Representations of Kronecker powers of orthogonal tensors with applications to material symmetry [J]. Int. J. Solids Struct， 1998， 35（30）：3935～3944.

[3]Miehe C. Comparison of two algorithms for the computation of fourth-order isotropic tensor functions [J].Comput. Struct， 1998， 66（1）： 37～43.

[4]Portugal R. An algorithm to simplify tensor expressions [J]. Comput. Physics Communications， 1998， 115（2）：215～230.

（2021年度廣西高校中青年教師科研基礎能力提升項目《虛擬現實技術在廣西少數民族室內設計中的應用研究》項目合同編號：2021KY1264）