一類分數階捕食-食餌模型的Hopf分岔分析

江 位，周 文

(1.安徽師范大學 數學與統計學院,安徽 蕪湖 241000;2.安徽大學 大數據與統計學院，安徽 蕪湖 230000)

分數階微分方程模型非常重要,受到諸多學者的青睞,已經取得了一系列研究成果[1]。宋萍等[2]探索和討論了一類具有捕獲的分數階種群捕食模型,并明確地指出分數階導數階數不但直接影響到該系統收斂到平衡點的速度,而且還影響系統的穩定性。黃承代[3]研究了一類分數階神經網絡模型,并且以分數階階數α和系統參數A作為分岔參數,分別考察了分數階網絡的穩定性和Hopf分岔的影響機制,并且給出了相應的發生分岔的條件。田晶磊[4]通過深入細致地研究4個分數階群捕食者-食餌模型,給出了兩類系統的平衡點穩定性和分岔性質的一系列結論。其他學者[5-11]也深入地探討了各種分數階系統模型,并得出了一系列具有重要意義的結論。

在真實的生態種群系統中,時滯效應常常影響種群的密度分布,如妊娠。而具有時滯效應的分數階微分系統穩定性的理論分析和數值模擬的研究較少。因此,本文將討論一類分數階捕食-食餌模型的正平衡點的局部漸近穩定的條件,以及發生Hopf分岔時的條件,最后通過數值模擬來驗證討論的結果。

1 模型的建立和Hopf分岔分析

本文研究以下具有時滯的分數階捕食系統:

(1)

式中，u(t)、v(t)分別表示在t時刻食餌和捕食者的密度。s、β、h、ρ、α、γ、m均為正常數；s為捕食者對食餌的捕食率；β為捕食者對食餌的最大攝入比率；h為對食餌的非線性捕獲系數；ρ為半飽和系數；α為捕食者的增長率；γ為在浮游生物死亡的背景下,由于自我保護而導致的光衰減系數；m為對捕食者的捕獲系數。初始條件u(s)=μ(s)>0,s∈[-τ,0],v(0)=v0>0,且μ(s)是光滑函數,q1、q2是分數導數的階數。

定義1[12]函數f(t)的q階Caputo分數階導數定義為

(2)

式中，m=[q]是一個整數,Γ(·)是Gamma函數。

引理1[12]考慮以下n維分數階系統:

(3)

式中，0

在生態意義上,我們只考慮系統的正平衡點E(u*,v*),下面我們對正平衡點的存在性進行討論，首先假定ρ>h，

令Dq1u(t)=0,Dq2v(t)=0,可得：

(4)

(5)

su*(αu*-mβ-mu*)·(ρ+u*)=0。

整理后可以得出u*是四次方程f(u)=A0·u4+A1·u3+A2·u2+A3·u+A4=0(*)的根(舍去u*=0)，其中,系數A0、A1、A2、A3、A4如下所示：

A0=-mγ,

A1=(1-ρ)mγ-(α+2m)βγ,

A2=(α+2m)(1-ρ)βγ+(ρ-h)mγ-(α+m)β2γ+(m-α)s,

A3=(α+m)(1-ρ)β2γ+(α+2m)βργ+(ρ+β)sm-(2m+αh)βγ-αsρ,

A4=smρβ+(α+m)(ρ-h)β2γ。

又因為當ρ>h時,f(0)=smρβ+(α+m)(ρ-h)β2γ>0。則由介值定理便可得,至少存在一點u*∈(0,+∞)使得f(u*)=0。

下面給出正平衡點的存在性定理,我們提出假設：

(H1)αu*-mβ-mu*>0,ρ>h。

定理1若(H1)成立,系統至少有一個正平衡點E(u*,v*)。

綜上,至少有一個正平衡點E(u*,v*)存在。

在正平衡點E(u*,v*)處式(1)相對應的線性化系統定義為

Dq1u(t)=a11u(t)+a12v(t)

Dq2v(t)=a21u(t)+a22v(t)+b21u(t-τ)，

(6)

為了討論式(1)局部穩定性的情況,對式(6)的兩端進行拉普拉斯變換：

(7)

這里,U(s)、V(s)是u(t)、v(t)在經過U(s)=L(u(t)),V(s)=L(v(t))后的拉普拉斯變換。因此,式(7)的特征矩陣為

(8)

令|Δ(s)|=0,可得式(1)的特征方程為

p1(s)+p2(s)e-sτ=0,

(9)

其中p2(s),p1(s)如下所示:

p2(s)=-a12b21,p1(s)=sq1+q2-a22sq1-a11sq2+a11a22。

(iw)q1+q2-a22(iw)q1-a11(iw)q2+a11a22-a12b21e-iwτ=0

分離實部和虛部得:

(10)

式中，參數F1、E1、F2、E2如下所示:

F1=0,E1=-a12b21,

由式(10)我們可以得到:

(11)

顯然有sin2wτ+cos2wτ=1,因此可以得到:

(12)

再根據coswτ=f1(w)求得:

(13)

為了分析當τ=0時式(1)的穩定性,提出假設：

(H2)a11≤0。

定理2當τ=0時,若(H2)成立,則式(1)的正平衡點E(u*,v*)是漸近穩定的。

證明當時滯τ=0時,可以得到式(1)的特征方程為

λ2-(a11+a22)λ+a11a22-a12b21=0,

(14)

假設式(12)至少具有一個正實根w0,定義分岔點為τ0=min{τ(k)},k=0,1,2,…。同時為了得到本文的重要結論,提出如下的假設：

其中，

證明為了驗證Hopf分岔橫截性條件,對特征式(9)的兩端關于時滯τ進行求導可得：

化簡得：

再由前面假設的

可以得到:

因此,(H3)表明橫截性條件是滿足的。

定理4若(H1)～(H3)成立,則對于式(1),可以得出如下結論:

①正平衡點E(u*,v*)在τ∈[0,τ0)時漸近穩定;②當τ=τ0時,式(1)在正平衡點E(u*,v*)處會發生Hopf分岔。

2 數值模擬

使用Matlab對系統進行數值模擬,驗證時滯對正平衡點E(u*,v*)的影響。選取參數值如下:

β=0.45,ρ=1,γ=1.05,s=0.85,h=0.15,α=1.25,m=0.05,q1=0.9,q2=0.76。

計算得正平衡點E(u*,v*)=(0.289 9,0.516 9),τ=4.084 8。我們分別取τ=2.5<τ0和τ=4.1>τ0進行數值模擬。

系統在τ=2.5<τ0時,食餌u(t)、捕食者v(t)的密度隨時間變化的演變圖分別如圖1、2所示。從圖1、2中可以看出,u(t)和v(t)最終趨于正平衡點。τ=2.5<τ0時的穩定相圖如圖3所示。從圖3可以看出,正平衡點E(u*,v*)是局部漸近穩定的。

系統在τ=4.1>τ0時,食餌u(t)、捕食者v(t)的密度隨時間變化的演變圖如圖4、5所示。由圖4、5可以看出，隨著時間的演化其密度是振蕩的,因此正平衡點E(u*,v*)不是穩定點。對應的相圖如圖6所示。從圖6也可以看出，正平衡點是不穩定的，在其外部存在一個極限環。

圖1 食餌密度隨時間變化的演變圖 圖2 捕食者密度隨時間變化的演變圖

圖3 τ=2.5<τ0時穩定相圖 圖4 食餌密度隨時間變化的演變圖

圖5 捕食者密度隨時間變化的演變圖 圖6 τ=4.1>τ0時不穩定相圖

3 結論

本文研究了一類分數階捕食-食餌模型。首先給出了系統的正平衡點的局部漸近穩定的條件,然后討論了發生Hopf分岔的條件,通過數值模擬驗證了理論結果。研究結果表明，時滯的加入會影響到正平衡點的穩定性。