一種具有多對稱同質吸引子的四維混沌系統的超級多穩定性研究

黃麗蓮 姚文舉 項建弘 王霖郁

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院 哈爾濱 150001)

(哈爾濱工程大學先進船舶通信與信息技術重點實驗室 哈爾濱 150001)

1 引 言

混沌是非線性動力學系統所具有的一類復雜動力學行為，它表現出確定性非線性系統的內在隨機性[1]。混沌由于其初始值敏感性和偽隨機性[2]，已廣泛用于電子工程[3]、信息工程[4]、加密算法[5，6]、安全通信[7，8]和其他領域[9—11]。1963年，美國氣象學家洛倫茲[12]提出了第1個混沌系統模型，它引起了科學界的廣泛關注，之后又不斷有新的混沌系統被發現。1986年，蔡少棠提出了著名的蔡氏電路[13，14]，首次實現了混沌與電路之間的結合，是最簡單的混沌振蕩電路之一。2002年Lü等人[15]提出了一種將Lorenz和Chen的系統連接起來的過渡混沌系統。

2008年，惠普實驗室第1次制備出憶阻器[16]，這引起了憶阻器研究和應用的熱潮。由于憶阻器的非線性，它被用于構造新型的混沌系統。2008 年，Itoh 和 Chua[17]共同提出了基于憶阻器的蔡氏混沌電路，其動力學分析結果表明替換之后的電路的動力學行為與典型的蔡氏電路相比更加復雜。2010年，Bao等人[18]采用光滑磁控憶阻和一個負電導的組合替換蔡氏二極管，提出了基于憶阻的蔡氏混沌電路，重點研究了電路參數和初始條件對憶阻混沌電路動力學特性的影響。2016年，閔富紅等人[19]提出一種基于雙曲正弦函數的新型磁控憶阻器模型，將其用于構造新型憶阻混沌系統，并利用新系統混沌序列對圖像進行加密。

最近幾年，多穩定性[20—25]與超級多穩定性[26—33]成為人們的研究熱點。多穩定性是許多非線性系統中一種常見的現象，它是指在相同的系統參數設置下，多種吸引子共存的現象。當在相同的系統參數設置下，無限多吸引子共存的現象就稱為超級多穩定性。2019年，Wu等人[23]通過將兩個正弦非線性引入簡單的3維線性動力系統中，提出了一種新穎而簡單的3維混沌系統。新系統具有9個平衡點，可以產生多種不同類型的共存吸引子，也稱為多穩定性。2020年，文獻[24]提出一個沒有線性項的3維混沌系統，并對該系統進行了動力學分析，發現該系統可以產生周期軌、混沌振蕩、周期窗和共存吸引子等現象。2019年，Ahmadi等人[31]提出了一種具有超級多穩定性的5維混沌系統。該系統具有曲線型的線平衡點，可以產生無限多共存吸引子。2020年，Gong等人[32]在Sprott C系統中引入線性狀態反饋控制器，提出了一種具有無限多個平衡點的4維混沌系統。盡管新的4D混沌系統只有兩個非線性項，但是它具有豐富的動力學特性，例如隱藏吸引子和共存吸引子。同年，文獻[33]將憶阻器引入一個3維混沌系統中，設計了一個具有離散分岔圖的4維憶阻混沌系統。該系統不僅具有異質多穩定性，也具有同質多穩定性，同時還具有超級多穩定性。一般使用憶阻器設計的混沌系統都會具有線平衡點，但是本文沒有使用憶阻器也使得設計的混沌系統同樣具有線平衡點，達到了和使用憶阻器進行設計一樣的效果。

異質多穩定性是指混沌系統產生不同形狀的吸引子，而同質多穩定性是指系統可以產生幅度、頻率或空間位置不同，但形狀相同的吸引子。現有的研究混沌系統多穩定性的文獻幾乎都是討論混沌系統的異質多穩定性，而同質多穩定性卻鮮有報道。在此基礎上，本文提出一種具有無限多對稱的同質吸引子的4維混沌系統。該系統具有很大的初值變化范圍和除零點外恒定的Lyapunov指數譜，不同于文獻[33]，該系統還具有中心對稱的離散分岔圖。

本文的其余部分安排如下。在第2節，介紹新系統的無量綱方程，并對系統進行基本的動力學分析，包括對稱性、耗散性、平衡點和穩定性。在第3節，利用相軌圖、Lyapunov指數和龐加萊截面分析了該系統混沌吸引子的動力學行為。在第4節，通過分岔圖和Lyapunov指數譜研究了混沌系統的超級多穩定性，分析結果表明該系統具有無限多對稱的同質吸引子和中心對稱的離散分岔圖。在第5節，對新系統進行電路仿真實現并給出仿真結果，其驗證了數值仿真的正確性。最后，對本文進行了總結。

2 4維混沌系統模型

2003 年，Liu等人[34]提出了一個具有5個平衡點的3維混沌系統，可以產生一個4翼混沌吸引子。然而，在 2004 年，Liu 等人[35]證明了它產生的僅僅是兩個共存的位置排列十分緊密的2翼吸引子，即上述 Liu系統是個偽4翼混沌系統。它屬于廣義Lorenz 系統，其無量綱方程如式(1)所示。

2.1 對稱性

對稱性廣泛存在于具有偶數個吸引子的混沌系統中。如果進行變換(x，y，z，w)?(-x，-y，z，-w)，憶阻混沌系統式(2)是不變的，這表明系統式(2)在狀態空間中關于z軸對稱。

2.2 平衡點和穩定性

2.3 耗散性

3 混沌系統的動力學行為分析

3.1 相軌圖和Lyapunov指數

在這一節通過Lyapunov指數和相軌圖的方法對系統式(2)進行進一步的研究。當參數a=4.8，b=5，c=21.3，d=5，e=0.01，f=0.1時，系統式(2)可以產生如圖1所示的混沌吸引子。

圖1 混沌吸引子的相軌圖

Lyapunov指數描述了被擾動的初始條件的指數發散率，是判斷混沌的有效工具。本文采用龍格庫塔(RK45)方法求解ODEs，同時，Lyapunov指數的計算采用著名的 wolf 算法。絕對誤差和相對誤差都設置為10-4，初始條件為(1，1，0，0)。在以上設置條件下，系統式(2)的Lyapunov指數分別為0.6790， 0.0063， —0.0327和—22.1846。其中最大的Lyapunov指數大于零，此時的系統式(2)是混沌的。

同時，計算系統式(2)的維數如式(7)所示。

3.2 龐加萊截面

龐加萊截面是在系統相空間中截取一個截面。通過仔細觀察截面上截點的分布狀況，可以判斷系統所處的狀態。分別取截面z=8和w=1.5，可以得到系統的龐加萊截面如圖2所示。在這些圖片中可以觀察到成片的點，這表明系統具有混沌行為。

圖2 混沌吸引子的龐加萊截面

4 混沌系統的超級多穩定性分析

4.1 異質多穩定性的動力學分析

混沌系統的多穩定性是指，當系統參數固定，取不同的初值時，系統可以產生不同共存吸引子的現象。當產生的共存吸引子的數目趨向于無限多時，這種現象稱為超級多穩定性。當系統參數a=4.8，b=5，c=21.3，d=5，e=0.01，f=0.1時，設置初值為(0，0，1，w(0))，給出w(0)在區間[-200，200]內的分岔圖和Lyapunov指數譜如圖3所示。

圖3(a)給出了系統狀態變量w隨初值w(0)變化的分岔圖，可以看出該分岔圖由許多離散的小線段組成，且近似呈一條直線排列。在[-35，35]區間之外，狀態變量w出現較大范圍的變化，表明系統在該區間內產生的混沌吸引子的幅度較大。從圖3的相軌圖中可以看出，在w(0)位于[-35，35]區間內時，系統產生雙渦卷共存吸引子，而w(0)位于該區間之外時，系統產生四渦卷吸引子。圖3(a)的分岔圖中的狀態變量w呈現無限多的穩定的混沌狀態，表明該系統可以產生無限多共存吸引子，即該系統具有超級多穩定性。圖3(b)給出了系統隨初值w(0)變化的Lyapunov指數譜，可以看出，除了w(0)=0外，在區間[-200，200]內的Lyapunov指數譜幾乎是恒定的，系統的最大的Lyapunov指數大于零，第2個Lyapunov指數等于零，4個Lyapunov指數之和小于零，所以該系統在該范圍處于混沌狀態。

圖3 初值w(0)在[-200，200]區間內變化的分岔圖和Lyapunov指數譜

當系統參數設置為a=4.8，b=5，c=21.3，d=5，e=0.01，f=0.1時，設置初值為(0，0，1，w(0))，w(0)分別取±30，±90時，該系統產生兩個雙渦卷和兩個四渦卷混沌吸引子如圖4所示。取30， —30， 90，—90時，分別對應相軌圖中藍、紅、粉、青吸引子。通過觀察可以發現，這些混沌吸引子是沿著w軸呈現出線性分布的，這與前文系統分岔圖的分析結果相一致。通過上述分析可以發現，該系統可以產生結構不同的雙渦卷和四渦卷混沌吸引子，因此該系統具有異質多穩定性。

圖4 無限多共存吸引子的相圖

4.2 同質多穩定性的動力學分析

當系統參數設置為a=4.8，b=5，c=21.3，d=5，e=0.01，f=0.1，初值設置為(x(0)，0，1，0)時，給出x(0)在[-103，103]區間內的狀態變量w的分岔圖和Lyapunov指數譜如圖5所示。

從圖5(a)可以看出，系統的狀態變量w隨初值x(0)變化的分岔圖不同于一般混沌系統的分岔圖，呈現出許多離散的小線段，且集中分布在傾斜的帶狀區域內。小線段表明系統處于混沌狀態，但是其離散的位置分布表明隨初值的變化，吸引子的空間位置是不連續的。狀態變量w呈現出無限多種穩定的混沌狀態，這意味著該系統具有超級多穩定性。通過觀察可以發現，該離散分岔圖是中心對稱的，這可以用吸引子空間位置的對稱性來解釋。從圖5(b)可以看出，該系統在初值x(0)不等于零時，其Lyapunov指數譜保持恒定，且最大Lyapunov指數大于零，表明該系統處于混沌狀態。該初值下產生的混沌吸引子的形狀與圖4所示吸引子類似。可以發現，該系統具有很多形狀和大小一樣，但是空間位置不同的共存吸引子，因此該系統具有同質多穩定性。

圖5 初值x(0)在[-103，103]區間內變化的分岔圖和Lyapunov指數譜

基于本系統的特殊性，初值(0，0，1，0)對系統的影響須單獨討論。當系統初值為(0，0，1，0)時，系統的Lyapunov 指數分別為4.8003， —0.0278， —5.0005和—21.3091。包伯成教授在文獻[36]中提出，若混沌系統具有混沌吸引子，則必須同時存在以下條件：(1)至少存在一個正的Lyapunov指數；(2)至少存在某一Lyapunov指數等于零；(3)Lyapunov指數譜之和為負。而該系統第1個Lyapunov指數為4.8003， 4個Lyapunov指數之和為負，但是第2個Lyapunov指數為—0.0278，不足夠接近零，故此時系統不處于混沌狀態。并且通過相軌圖觀察了此時系統所處的狀態，發現系統在該初始條件下確實不處于混沌狀態。

接下來討論一下系統取其他初值的情況。當系統初值設置為(0，y(0)，1，0)，給出y(0)在[-103，103]區間內變化時的分岔圖和Lyapunov指數譜如圖6所示。由圖6(a)可以看出，系統隨初值y(0)在[-103，103]區間內變化時，狀態變量w的分岔圖也呈現出許多離散的小線段的形式，表明狀態變量w具有無限多種穩定的混沌狀態，且該離散分岔圖也是中心對稱的。從圖6(b)可以看出，在y(0)不等于零時，該系統的Lyapunov指數譜保持恒定，且最大Lyapunov指數大于零，表明系統在該范圍內始終處于混沌狀態。通過上述分析可以得到，該系統具有中心對稱的離散分岔圖以及除零點外恒定的Lyapunov指數譜。

圖6 初值y(0)在[-103，103]區間內變化的分岔圖和Lyapunov指數譜

初值分別設置為(0，±10，1，0)， (0，±60，1，0)，(0，±80，1，0)時，系統式(2)可以產生多個同質吸引子，如圖7所示。其中，藍色和紅色分別對應初值(0，10，1，0)， (0，-10，1，0)，粉色和青色分別對應初值(0，60，1，0)， (0，-60，1，0)，黃色和黑色分別對應初值(0，80，1，0)， (0，-80，1，0)。從圖中可以看出，這些共存吸引子有兩種不同的結構，空間位置有所不同，但是它們都是沿著w軸平行分布。其吸引子沿著w軸平行分布的空間位置正好與圖6(a)分岔圖中的許多離散的小線段相對應。

圖7 無限多同質吸引子的相圖

當系統設置初值為(0，1，z(0)，0)，給出z(0)在[-103，103]區間內的分岔圖和Lyapunov指數譜如圖8所示。

從圖8(a)可以看出，初值設置為(0，1，z(0)，0)，初值z(0)在[-103，103]區間內變化時，狀態變量w的分岔圖也呈現出許多離散的小線段的形式，同樣表明了該系統具有超級多穩定性。但是該離散分岔圖不是中心對稱的。圖8(b)與圖6(b)相似，在z(0)不等于零時，該系統的Lyapunov指數譜保持恒定，且最大Lyapunov指數大于零，表明系統在該范圍內始終處于混沌狀態。

圖8 初值z(0)在[-103，103]區間內變化的分岔圖和Lyapunov指數譜

4.3 無限多同質吸引子的對稱性

顯然，如果進行變換(x，y，z，w)?(-x，-y，z，-w)系統式(2)是不變的，這意味著(x，y，z，w)和 (-x，-y，z，-w)都是系統方程的解。系統式(2)的這種對稱性質可以用來解釋狀態空間中對稱共存吸引子的存在。如果將系統參數設置為a=4.8，b=5，c=21.3，d=5，e=0.01，f=0.1，初值分別設置為(x(0)，y(0)，z(0)，w(0)) 和(-x(0)，-y(0)，z(0)，-w(0))，系統可以產生成對關于z軸對稱的共存吸引子。如圖9所示，藍色和紅色是一對吸引子，粉色和青色是另一對吸引子，藍色對應初始條件，紅色對應初始條件，粉色對應初始條件，青色對應初始條件。該對稱性同樣適用于該系統參數下的其他的混沌吸引子。

圖9 對稱的同質吸引子的相圖

當系統參數設置如上，系統初值分別設置為(1，1，1，1)和(-1，-1，1，-1)時，分別給出狀態變量z和w在時間t=30s內的時域波形圖如圖10所示。其中藍色對應初始值(1，1，1，1)，紅色對應初始值(-1，-1，1，-1)。從時域波形圖中可以看出，兩個混沌吸引子的狀態變量w分別關于x=0，y=0和w=0對稱，而狀態變量z是完全重合的。由此也可以驗證上述結論，即初值分別設置為(x(0)，y(0)，z(0)，w(0))和(-x(0)，-y(0)，z(0)，-w(0))時，系統可以產生成對的關于z軸對稱的同質吸引子。

圖10 對稱吸引子在t=30 s 內的時域波形圖

5 電路仿真實現

在本節中，可以通過模擬電路仿真觀察所提出的混沌系統的復雜動力學行為。通過使用集成運算放大器、乘法器和其他一些元器件來構建混沌電路，產生混沌吸引子。運算放大器的電源電壓為E=±15 V，參考電壓是±15 V。所有乘法器的輸入和輸出范圍在—15～15 V。但是，狀態變量的值超出了此范圍。因此，原系統無量綱方程式(2)必須首先進行尺度變化。所以將狀態變量x，y，z和w壓縮到原來的1/10，將其限制在運算放大器和乘法器參考電壓的范圍內。同時考慮時間比例因子 RC，經過尺度變換和時間比例變換后系統式(2)的無量綱方程可以表示為

系統式(2)的模擬電路如圖11所示。電路方程式為

圖11 系統式(2)的模擬電路圖

圖12 混沌吸引子的Vx—Vz平面電路仿真結果

6 結束語

本文在一個經典3維混沌系統的基礎上提出一個新的具有超級多穩定性的4維混沌系統。新系統具有一個線平衡點，可以產生無限多空間位置不同，但大小形狀基本相同的同質吸引子。重點利用相軌圖、分岔圖和Lyapunov指數譜等方法研究了系統初始條件對系統同質吸引子的影響，結果表明該系統具有很大的初值變化范圍，除零點外恒定的Lyapunov指數譜以及離散分岔圖。不同于現有文獻中提及的混沌系統，該系統具有中心對稱的離散分岔圖，這可以用系統的對稱性來解釋。進一步地，我們研究了系統初值對稱性與吸引子對稱性的關系，發現該系統可以產生無限多對稱的同質吸引子。最后，利用電路仿真軟件搭建模擬電路捕捉該系統的混沌吸引子，其結果驗證了數值仿真的正確性。新系統具有復雜的動力學特性，其在基于混沌的信息加密和保密通信領域有著潛在的應用價值。