周期為4v(幾乎)平衡理想二進制序列構造研究

彭秀平 冀惠璞 林洪彬 劉 剛

①(燕山大學信息科學與工程學院 秦皇島 066004)

②(燕山大學電氣工程學院 秦皇島 066004)

③(河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室 秦皇島 066004)

④(通信網信息傳輸與分發技術重點實驗室 石家莊 050081)

1 引言

在通信、密碼、雷達和聲吶等實際應用系統中，為了實現同步、抗多徑干擾、防止載波泄漏和實現設備簡易性等需求，具有理想自相關特性的二進制序列在這些領域中發揮著重要作用[1，2]。如在碼分多址(Code Division Multiple Access，CDMA)通信系統中，需要這些序列來獲取接收信號的準確定時信息，在密碼學中，序列用于以流密碼加密生成密鑰流。通常要求所采用的序列應具有盡可能低的自相關函數旁瓣值和好的平衡性[3，4]。而目前已有的研究結果表明，最佳序列存在數目比較有限，最佳二進制序列僅存在長度為4的(1， 1， 1，—1)的情況[5，6]。為了獲得更多滿足實際需求的序列，學者在不斷尋求其他形式理想序列。按序列周期不同，理想二進制序列分為4類[4，7]，本文將對其中周期為T ≡0(mod4)的理想二進制序列的直接構造方法進行研究。

本文在現有成果基礎上，將素數v分為v ≡3(mod4)和v ≡1 (mod4)兩種情況，基于2階分圓類和中國剩余定理將提出3種周期均為T=4v的理想二進制序列w的普遍構造方法，得到的二進制序列不僅具有理想自相關特性，而且具有很好的平衡性。拓展了現有周期為T ≡0 (mod4)的理想二進制序列存在范圍。

2 基本概念

定義1 設周期為T的序列w=(w(0)，w(1)，...w(T-1))，其中w(t)∈{1，-1}，則稱序列w為二進制序列，設Ni(w)=|{0≤t ＜T:w(t)=i}|，當滿足式(1)所示條件時，稱序列w為平衡二進制序列

證畢

3 幾乎平衡具有理想自相關函數值二進制序列構造

這部分將提出一種周期為T=4v具有理想自相關函數值的幾乎平衡二進制序列的普遍構造方法。

定理1 設v=2d+1為一奇素數，其中v ≡3(mod4)，當序列w的特征集W滿足那么得到的序列w是周期為T=4v且Rw(τ ／=0)∈{0，-4}的幾乎平衡理想二進制序列。

證明 以V={(2+i，0)}為例進行證明，其他情況的證明方法類似。根據式(4)，計算得到W的差函數dW(τ1，τ2)為

4 (幾乎)平衡具有理想自相關函數幅值的二進制序列構造

證明 以V={(i，0)，(i+1，0)}為例進行證明，證明方法與定理1類似。

其中，

表1 定理2中理想二進制序列的自相關函數值分布

5 構造方法比較

表3列出了目前已有周期為T ≡0(mod4) 理想二進制序列的主要構造方法，與已有成果相比，本文構造方法的優點主要體現在如下幾個方面：一是直接構造法，本文提出的3種構造方法都是直接構造法，而文獻[7，10—14]采用的均是交織法，所得序列的特性受所采用基序列或移位序列影響；二是平衡性更好，當v ≡3 (mod4)時，文獻[7，10—12，14]得到的理想二進制序列都為幾乎平衡或不平衡序列，而本文定理2中獲得的理想二進制序列都為平衡序列；三是得到的序列更多，同文獻[15，16]相比，雖然采用的都是直接構造方法，但該文定理1中構造得到的理想二進制序列不僅包含文獻[15，16]中序列，而且還可得到一些新的具有理想自相關特性的幾乎平衡二進制序列，從而也可得到一些新的參數為(4v，2v+1，v，v-1)的幾乎差集。

表3 已知周期為T ≡0 (mod4)的具有理想自相關值/幅度的二進制序列總結

6 結束語

基于中國剩余定理和2階分圓類，本文提出3種周期為T=4v(v為奇素數)理想二進制序列直接構造方法。構造所得序列的周期自相關函數值均滿足理論界：當v ≡3 (mod4)時，序列的周期自相關函數旁瓣值取值集合為{0，-4}或{0，4，-4}；當v ≡1(mod4)時，相應的取值集合為{0，4，-4}。本文構造方法拓展了現有平衡和幾乎平衡理想二進制序列存在空間，可為工程應用提供更多性能優良的理想序列，同時也豐富了組合設計理論。

表2 定理3中理想二進制序列的自相關函數值分布