關注建模過程 發展核心素養
——以人教版數學教材“圖形與幾何”領域為例

浙江舟山綠城育華學校（316000） 洪 飛

數學模型是用數學語言概括地描述現實世界萬事萬物的特征、數量關系和空間形式的一種思維形式。在數學課堂中，教師要根據學生的思維特點，讓他們像數學家那樣進行探索和創造，關注學生對數學概念的建模過程，引導他們經歷數學知識的具象和抽象過程，從而有效培養學生的模型意識，發展他們的核心素養。

一、模型意識在“圖形與幾何”領域中的應用

在認識圖形的特征時，學生經歷了以下的建模過程：先從實物模型中抽象出數學模型，再從數學模型中抽象出模型的本質屬性。在人教版數學教材“圖形與幾何”領域滲透模型意識的教學，我們對內容進行梳理，具體如下（見表1）。

表1 人教版數學教材“圖形與幾何”領域滲透模型意識的內容

（續表）

從上表中可以看出，滲透模型意識是引導學生經歷對數學知識的再創造和數學化的過程。教師要引導學生在動手操作和舉例比較中概括出相應的數學模型，幫助學生溝通數學與生活之間的聯系。

二、模型意識在“圖形與幾何”領域教學中的滲透

數學課堂中，教師要選擇合適的內容滲透模型意識，既要讓學生感受到數學模型可以用來解決一類數學問題，是數學應用的基本途徑，又要讓學生認識到生活中的許多問題都與數學有關，可以把生活問題轉化為數學問題，用數學知識和數學模型解決實際生活中的問題。

1.創設生活情境，滲透模型意識

數學源于生活，用于生活，高于生活。在“圖形與幾何”領域教學中，教師可根據學生的實際生活，創設生活情境，引導學生通過觀察發現蘊含其中的數學規律。這樣不僅能降低學生數學學習的難度，還能讓學生經歷從生活原型中抽象出數學模型的全過程。

例如，教學人教版數學教材四年級下冊《三角形的認識》后，教師設計了一節“一共要多少根火柴棒”的數學思維課。課堂上，教師先讓學生觀察，然后數一數擺一個三角形需要多少根火柴，再引導學生用字母表示三角形個數和火柴棒根數之間的數量關系，最后讓學生用字母表示長方形個數和可坐人數之間的數量關系。

活動（1）：用字母表示三角形個數和火柴棒根數之間的數量關系（出示圖1）

圖1

①數一數：擺1個三角形需要多少根火柴棒？擺2個三角形需要多少根火柴棒？擺3個三角形需要多少根火柴棒？②想一想：擺n個三角形需要多少根火柴棒？

師：同學們，請你們先數一數擺1個、2個、3個三角形需要多少根火柴棒，再想一想擺n個三角形需要多少根火柴棒。

（學生先獨立思考，再在小組里分享自己的思考過程）

師：誰來說一說，擺出題中這三個圖形分別需要多少根火柴棒？

生1：擺1個三角形需要3根火柴棒，擺2個三角形需要5根火柴棒，擺3個三角形需要7根火柴棒。

師：那么，擺n個三角形需要多少根火柴棒呢？你能用含有n的字母表達式寫一寫嗎？

生2：我發現擺1個三角形需要3根火柴棒，擺2個三角形需要5根火柴棒，擺3個三角形需要7根火柴棒，也就是多擺1個三角形需要2根火柴棒，所以擺n個三角形需要3+2×n根火柴棒。

生3：不對。因為n=1時，擺1個三角形就需要3+2×1=5（根）火柴棒了。因此，字母表達式里不能是n，應該換成n-1，即擺n個三角形需要3+2×（n-1）根火柴棒。

師：我們一起來驗證一下。如果n=1時，擺1個三角形需要3+2×（1-1）=3（根）火柴棒；如果n=2時，擺2個三角形需要3+2×（2-1）=5（根）火柴棒……你們還能想出其他的數量關系嗎？

生4：我發現擺1個三角形需要3根火柴棒，擺2個三角形需要3×2=6（根）火柴棒，但實際上合起來擺2個三角形卻少了1根火柴棒；擺3個三角形需要3×3=9（根）火柴棒，但實際上合起來擺3個三角形卻少了2根火柴棒，所以擺n個三角形需要3×n-（n-1）根火柴棒。

……

活動（2）：用字母表示長方形個數和可坐人數之間的數量關系

出示題目（見圖2）：（1）每張長方形桌子坐4人，2張長方形桌子坐多少人？3張長方形桌子坐多少人？（2）想一想，n張長方形桌子坐多少人？

圖2

師：同學們先獨立思考，再小組交流。

生5：2張長方形桌子坐6人，3張長方形桌子坐8人。我發現每增加1張長方形桌子，就多坐2人，所以n張長方形桌子坐4+2×（n-1）人。

生6：我發現原本2張長方形桌子可以坐4×2=8（人），但是2張長方形桌子拼起來后卻少坐2人；3張長方形桌子可以坐4×3=12（人），但是3張長方形桌子拼起來后卻少坐4人，所以n張長方形桌子坐……

上述教學，教師先引導學生從實際生活中抽象出數學模型，從簡單的1個三角形、2個三角形、3個三角形中直觀地發現其中的數量關系；再根據數量關系中的共性建立數學模型。這個數學建模的過程，有助于培養學生的數感，使學生發現其中的數學規律和數學知識本質。

2.借助操作活動，滲透模型意識

荷蘭數學家弗萊登塔爾提出數學教育的三原則，即現實原則、數學化原則和再創造原則；同時，他認為“學習數學唯一正確的方法就是再創造，由學生自己把所要學習的數學知識發現或者創造出來”。

例如，教學人教版數學教材六年級上冊《圓的周長》一課時，為了探究圓的周長計算公式的由來，教師引導學生從最初的用線測量圓的周長，到發現圓的周長與圓的直徑有關，最終發現π的存在。

活動（1）：測量圓的周長

師：（出示一個圓）同學們，你們知道圓的周長是指哪一部分嗎？請同學們指一指。（學生指著圓的最外面一圈）如果想知道這個圓的周長，你們有什么辦法？

生1：可以在圓上固定一個點，從這個點開始，讓它沿著直尺滾動一圈，回到這個固定點，就是這個圓的周長。

生2：可以找來一把卷尺，先從圓上某個固定點開始，卷尺繞著圓上再回到這個固定點，就能讀出這個圓的周長了。

生3：可以準備一根線和一把直尺，先用線繞著圓的一周，再把這段線拉直放到直尺上，就能測量出這段線的長度了，也就是這個圓的周長。

師：剛才同學們想出了多種不同的測量圓周長的方法，但是它們在測量中都會產生誤差。大家想一想，有什么辦法可以計算出圓的周長？

……

活動（2）：計算圓的周長

師：老師為每個小組準備了3個大小不同的圓，請你們先想辦法測量出圓的周長，再計算出每個圓的周長除以直徑的商，并把計算結果填寫在表格（見表2）里。

表2 圓的測量和計算探究

師：通過測量和計算，你們發現圓的周長和直徑之間有什么關系？

生4：我發現圓的周長是直徑的3倍多一點。

師：中國數學家祖沖之發現任何一個圓的周長除以直徑的商都是一個固定值，叫作圓周率π。因此，圓的周長可以用C=πd或者C=2πr來計算。

……

上述教學，學生經歷了測量圓的周長和計算圓的周長這兩個過程。在動手動腦中，學生發現了圓的周長與直徑之間的關系，自然地建立圓的周長公式模型。這樣的探究活動，比教師的告知傳授更能幫助學生理解圓的周長計算公式的由來。

3.借助猜想驗證，滲透模型意識

數學課程標準要求學生會用數學的思維思考現實世界，形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，培養學生的科學態度與理性精神。猜想和驗證是學生學習數學過程中應當具備的理性精神之一，所以教師在教學中應借助猜想和驗證，向學生滲透模型意識。

例如，教學人教版數學五年級下冊“表面涂色的正方體”時，教師先讓學生猜測3面涂色、2面涂色、1面涂色和6面都不涂色的小正方體各有多少個，再讓學生用n表示涂色小正方體的個數。

師：一個表面涂色的正方體，每條棱都平均分成2份，如果把它切開，能切成多少個同樣大的小正方體？每個小正方體有幾個面涂色？

生1：能切成2×2×2=8（個）同樣大的小正方體，每個小正方體都有3個面涂色。

師：一個表面深色的正方體，每條棱都平均分成3份，如果把它切開，能切成3×3×3=27（個）同樣大的小正方體，那么3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體各有多少個？分別在什么位置？有6面都不涂色的小正方體嗎？

（學生根據自己的思考猜測涂色的小正方體個數）

師：可以先把猜測的結果記錄在學習單中，再驗證自己的猜想。

生2：3面涂色的小正方體都在大正方體的頂點位置，一共有8個；2面涂色的小正方體都在大正方體每條棱的中間位置，一共有12個；1面涂色的小正方體都在大正方體每個面的中間位置，一共有6個。6面都不涂色的小正方體有27-8-12-6=1（個）。

師：一個表面深色的正方體，每條棱都平均分成4份，如果把它切開，能切成4×4×4=64（個）同樣大的小正方體，那么3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體各有多少個？分別在什么位置？

……

上述教學，面對較復雜的數學問題，教師帶領學生經歷了從猜想到驗證的建模全過程，不僅教給學生數學學習的方法，還讓他們感受到數學的嚴謹性和魅力。

三、模型意識在“圖形與幾何”領域中的價值

模型意識在“圖形與幾何”領域中有著較為廣泛的應用，主要體現在以下兩個方面。一是可讓學生學會學習的方法。如果具備模型意識，學生就會在不重復的枚舉中先數出具體的結果，再去思考為什么會出現這樣的結果，然后用字母表達式表示出數量關系，最后用具體的數字檢驗含有字母的數量關系是否正確。這個過程可以轉化為學生以后自己探究數學知識的方法，讓學生終身受益。二是能給解題帶來方便。學生可能不理解建立數學模型的意義，但是他們經歷了從生活原型中抽象成數學模型、利用數學模型探究數學問題的全過程，在運用過程中能夠體會到數學模型給解決問題帶來的便利，感受到數學再創造的成就感，促進了他們數學核心素養的發展。

總之，教學“圖形與幾何”領域的內容時，教師要適時滲透模型意識，引導學生經歷數學建模的完整過程。在這個過程中，不僅要加深學生對數學模型的理解，更要讓學生體會到數學模型的應用價值，促進學生內化和豐富數學模型，而不是簡單地套用數學模型解決問題，使學生形成良好的思維習慣和數學品格。