以“型”促學(xué) 洞察本質(zhì) 毓養(yǎng)素養(yǎng)

山東濟(jì)南市濟(jì)陽區(qū)光明街天山實(shí)驗(yàn)學(xué)校（251400） 馬曉光

一、背景分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》確立了以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教育目標(biāo)，其核心素養(yǎng)具體表述為“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

正所謂“萬物皆數(shù)”，學(xué)生的日常生活、所處的社會(huì)以及大自然中處處都有數(shù)學(xué)現(xiàn)象。但是，數(shù)學(xué)現(xiàn)象不等于數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的一般化的抽象，用數(shù)學(xué)特有的語言表達(dá)和揭示萬物萬象背后共同的、一般的、規(guī)律的、真理性的東西，即數(shù)學(xué)的本質(zhì)。把數(shù)學(xué)現(xiàn)象轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)語言，離不開模型思想。模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一。幫助學(xué)生建立模型觀念，并最終形成模型思想，這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要內(nèi)容之一。

廣義的模型，不僅包括各種數(shù)學(xué)符號(hào)、關(guān)系式、圖式等，還包括借助一些“形”與“型”直觀地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、表征數(shù)學(xué)、表達(dá)數(shù)學(xué)。它是連接數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的橋梁，且模型思想可以遷移運(yùn)用到其他知識(shí)和其他學(xué)科的學(xué)習(xí)當(dāng)中，實(shí)現(xiàn)學(xué)科聯(lián)動(dòng)，使學(xué)習(xí)者建立更系統(tǒng)、完整、深刻的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

正是基于以上背景，我們對(duì)“型”在各數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用的必要性和操作范式展開了探索與研究。現(xiàn)在，就把我們用“型”促學(xué)的思與行簡(jiǎn)述如下。

二、“型”在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的應(yīng)用

1.“型”在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域應(yīng)用的價(jià)值簡(jiǎn)析

將數(shù)和“型”結(jié)合，能夠更直觀地理解各種數(shù)、代數(shù)和相應(yīng)運(yùn)算的概念與規(guī)則等。例如，一年級(jí)借助分小棒、計(jì)數(shù)器等形式，讓學(xué)生更容易理解加減法的算理，明晰加減法的本質(zhì)就是計(jì)數(shù)單位的累與分，即數(shù)數(shù)。又如，初中學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘法時(shí)，可以先借助下面的“型”（見圖1）理解（30+2）×（10+2）計(jì)算的本質(zhì)（即算理），然后把“型”中的數(shù)依次改為（a+b）×（c+d），最后把“型”和其中的數(shù)都換成同樣的（a+b）×（a+b）。這樣，即使不教完全平方公式，學(xué)生也能自懂、自會(huì)。

圖1

數(shù)和“型”的結(jié)合，有利于直觀、高效地理解數(shù)、代數(shù)及其運(yùn)算，是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容學(xué)習(xí)、深化理解、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)不可或缺的重要手段。

2.“型”在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域應(yīng)用的教學(xué)范式——求商的近似值

求商的近似值，教學(xué)重點(diǎn)之一是利用“四舍五入”法保留題目要求的小數(shù)位數(shù)，或者根據(jù)“四舍五入”的結(jié)果，找出原來最大或最小的數(shù)是多少；教學(xué)重點(diǎn)之二是讓學(xué)生在掌握方法的基礎(chǔ)上，在不同的生活背景下體驗(yàn)精確度不同的情況，并體會(huì)求商的近似值的必要性。

活動(dòng)設(shè)計(jì)A：體驗(yàn)精確度不同

2.015÷4.8（保留一位小數(shù)）

1.55÷3.9（精確到百分位）

師：觀察這兩道算式的積，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：計(jì)算結(jié)果是0.4和0.40，大小一樣，保留的小數(shù)位數(shù)不一樣。

師：你們能寫出幾個(gè)近似值為0.4的三位小數(shù)嗎？請(qǐng)?jiān)囍鴮懸粚憽＃ń處煶鍪緋pt內(nèi)容，并與學(xué)生的書寫情況進(jìn)行對(duì)比）

師：（出示以下三組數(shù)據(jù)）比較這三組數(shù)據(jù)，保留一位小數(shù)都約等于0.4，但如果保留兩位小數(shù)的話，第一組數(shù)據(jù)約等于0.39，第二組數(shù)據(jù)約等于0.40，第三組數(shù)據(jù)約等于0.40。你們從中發(fā)現(xiàn)了什么？

（1）0.390、0.391、0.392、0.393、0.394

（2）0.395、0.396、0.397、0.398、0.399

（3）0.401、0.402、0.403、0.404、0.405

生2：保留的位數(shù)越多，近似值與準(zhǔn)確值的差距越小。

……

上述近似值為0.40的三位小數(shù)是在0.395～0.404之間，近似值為0.4的三位小數(shù)是在0.390～0.404之間，所以0.4和0.40的精確度不同。這里，引導(dǎo)學(xué)生深刻感知0.4和0.40雖然大小一樣，但是精確度（計(jì)數(shù)單位）是不一樣的，使學(xué)生對(duì)精確度這個(gè)抽象的概念有了更好的理解。

活動(dòng)設(shè)計(jì)B：引入數(shù)軸，體會(huì)近似值的本質(zhì)

僅僅根據(jù)數(shù)據(jù)的展示比較，學(xué)生理解起來困難，而借助數(shù)軸（見圖2）可以讓學(xué)生直觀地感受0.4與0.40的精確度不同，明白0.40的精確度更高。

圖2

引入數(shù)軸，能夠讓學(xué)生更直觀、更深入地理解所學(xué)的概念。

活動(dòng)設(shè)計(jì)C：基于實(shí)際問題，明白求近似數(shù)的必要性

解決實(shí)際問題：一袋零食，19.4元，12個(gè)人吃。如果AA制，每個(gè)人應(yīng)出多少錢？

生1：如果用現(xiàn)金支付，因?yàn)楝F(xiàn)在沒有了分幣，就要保留到一位小數(shù)（精確到角）比較合適；如果用手機(jī)的“微信支付”則可以付到分，這樣更公平、準(zhǔn)確。

……

通過對(duì)比，可以看出在應(yīng)用時(shí)需要具體問題具體分析，而不能完全根據(jù)“四舍五入”法得出近似數(shù)。接下來，引入實(shí)際生活中常常遇到的“進(jìn)一問題”和“去尾問題”，讓學(xué)生在進(jìn)一步比較中深化對(duì)近似值的理解，明白要選擇合適的方法解決問題。

三、“型”在“圖形與幾何”領(lǐng)域的應(yīng)用

1.“型”在“圖形與幾何”領(lǐng)域應(yīng)用的價(jià)值簡(jiǎn)析

“型”在“圖形與幾何”領(lǐng)域中應(yīng)用是最為廣泛的。在“圖形與幾何”教學(xué)中，除了圖形本身的形式表達(dá)，還有圖形的測(cè)量（長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、表面積、體積等）、圖形測(cè)量的相關(guān)計(jì)算（含公式的發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)），以及圖形特征和圖形間關(guān)系的表達(dá)，都需要用圖形的另外一種“型”來表達(dá)。

比如，初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可利用“全景式數(shù)學(xué)體驗(yàn)館”特配的這個(gè)看得見、摸得著的“型”（見圖3），去研究、理解、記憶勾股定理，理解其直角三角形中三邊之間特有的數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)。

圖3

2.“型”在“圖形與幾何”領(lǐng)域的應(yīng)用教學(xué)范式——長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)

全景式數(shù)學(xué)教育認(rèn)為：認(rèn)識(shí)圖形時(shí)，理解與掌握?qǐng)D形的特征很重要，但是比這更重要的是幫助學(xué)生建立圖形特征的一般性探究模型，即可以從哪些方面進(jìn)行圖形特征的研究。為此，我們幫助學(xué)生建立圖形特征的一般性探究模式，以提升學(xué)生遷移類推、自主學(xué)習(xí)的素養(yǎng)。

活動(dòng)設(shè)計(jì)A：找出下圖（見圖4）中所有的長(zhǎng)方形

圖4

先找出構(gòu)成長(zhǎng)方形的元素——邊和角，再通過分類、分項(xiàng)目的研究，構(gòu)建出這樣一個(gè)圖形特征的一般模型（見圖5）。

圖5

活動(dòng)設(shè)計(jì)B：繼續(xù)設(shè)疑，深化認(rèn)識(shí)特征

這個(gè)環(huán)節(jié)，旨在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形的特征。在建立了圖形特征的一般性探究模型后，引導(dǎo)學(xué)生利用這個(gè)一般性探究模型去研究正方形的特征，進(jìn)一步鞏固模型，加深對(duì)模型的理解，提升學(xué)生的模型應(yīng)用能力。

活動(dòng)設(shè)計(jì)C：完善與補(bǔ)充圖形特征的一般性探究模型

（學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形后，讓學(xué)生比較長(zhǎng)方形、正方形的邊和角的區(qū)別與聯(lián)系）

生1：從角看，長(zhǎng)方形有4個(gè)直角，而正方形除了4個(gè)直角，還需要鄰邊相等。

生2：從邊看，長(zhǎng)方形是對(duì)邊相等，正方形是4條邊都相等。

師：（出示圖6）如果在圖中填入正方形和長(zhǎng)方形，應(yīng)該怎么填？

圖6

生3：正方形滿足了長(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角的定義，所以正方形也是長(zhǎng)方形。

生4：要符合正方形的條件多，范圍小，所以在小圈里填正方形，在大圈里填長(zhǎng)方形。

師：同學(xué)們的總結(jié)非常棒！在這節(jié)課上，自己就探究出了“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”這一知識(shí)點(diǎn)。在我們學(xué)習(xí)了更多的四邊形后，如平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形等，它們之間的關(guān)系也能用維恩圖來表示。所以，學(xué)習(xí)一定要注意探究方法的遷移運(yùn)用，利用原有的知識(shí)進(jìn)行拓展延伸和再創(chuàng)造，這樣才能夠在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)更多的新知。

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生按照?qǐng)D形特征的一般性探究模型研究?jī)蓚€(gè)或幾個(gè)相關(guān)圖形，并把這些圖形進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。這樣就完善了圖形特征探究的一般過程，構(gòu)建了更完善、更豐富、功能更全的一般性探究模型。

這個(gè)教學(xué)范式，展示了“型”在圖形特征學(xué)習(xí)中的一般學(xué)習(xí)路徑。

四、“型”在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的應(yīng)用

1.“型”在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域應(yīng)用的價(jià)值簡(jiǎn)析

在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，統(tǒng)計(jì)結(jié)果的表達(dá)、分析和刻畫自然是離不開“型”的。比如，單、復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖，單、復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖，單、復(fù)式扇形統(tǒng)計(jì)圖。條形統(tǒng)計(jì)圖，通過“型”一目了然，知道表達(dá)數(shù)量的多少；折線統(tǒng)計(jì)圖，更直觀地刻畫了統(tǒng)計(jì)對(duì)象的發(fā)展變化情況；扇形統(tǒng)計(jì)圖，則形象地反映了各部分和整體之間的關(guān)系，以及占整體的比重。“型”不僅能讓數(shù)據(jù)更直觀，還有利于發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的本質(zhì)和規(guī)律。

2.“型”在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的應(yīng)用教學(xué)范式——認(rèn)識(shí)平均數(shù)

首先，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以前坐公交車的“1.2米免票線”展開討論，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這里的“1.2米”不是指某個(gè)人的身高，而是指全國(guó)兒童身高的平均數(shù)，并對(duì)求平均數(shù)的方法、極端數(shù)據(jù)的過程進(jìn)行回顧和再認(rèn)識(shí)。

其次，出示一些兒童的身高（見圖7）。

圖7

師：憑借這些兒童的身高，是不是可以判定原來的“1.2米免票線”不合理？（引導(dǎo)學(xué)生調(diào)查更多的數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷，繼而引出教材上沒有的散點(diǎn)圖）

再次，讓學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)圖繼續(xù)辨析探究“1.2米免票線”的合理性。

生1：我認(rèn)為這是合理的，因?yàn)榇蟛糠值狞c(diǎn)都在1.2米以下，這說明男童的平均身高和女童的平均身高都在1.2米以下。

生2：我也認(rèn)為“1.2米免票線”滿足了大部分兒童的需求，它是合理的。

生3：那2027年兒童的免票身高應(yīng)是多少呢？（根據(jù)歷年的調(diào)查顯示，每過10年，兒童的平均身高會(huì)長(zhǎng)1～2厘米）

師：（揭題）平均數(shù)之所以在生活中有著廣泛的應(yīng)用，正是因?yàn)樗拇硇浴３舜硇裕骄鶖?shù)有時(shí)還像一個(gè)頑皮的孩子，喜歡誤導(dǎo)和迷惑人。接下去，我們繼續(xù)來研究平均數(shù)。

……

這里通過引入散點(diǎn)圖，讓學(xué)生以最容易看見、看懂的方式，達(dá)成對(duì)所學(xué)知識(shí)的深度理解。

綜上所述，數(shù)學(xué)各領(lǐng)域內(nèi)容都和“型”相輔相成，可以以“型”為“眼”、為工具、為支撐，讓學(xué)生看見、思考和表達(dá)數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后的“真相”。這樣不僅有利于學(xué)生思考與探究，而且有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的掌握，更有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的感悟，使學(xué)生建立數(shù)學(xué)理性的精神，有效達(dá)成新課程理念倡導(dǎo)的目標(biāo)——全面發(fā)展和提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。