精創模型建構策略 強化模型意識培養

浙江衢州市柯城區白沙小學（324000）蔣小芬

小學生的數學學習要著重關注模型意識，而經歷模型建構的過程才能強化模型意識的培養。

模型建構可以從學生熟悉的生活和已有的經驗出發，引導他們將實際問題初步抽象成數學模型并加以解釋與運用。經歷模型建構過程，學生將感悟數學與現實世界的密切聯系，學會用數學的眼光觀察世界；針對或參照某種事物系統的特征或數量依存關系，進行分析、抽象、簡化，提煉數學本質特征，學會用數學的思維思考世界；學會用數學的語言，以及采用多種形式的數學語言描述世界。

一、模型建構的現狀

目前，學生對模型建構存在習得性問題。筆者在實際教學中收集了學生在應用模型時出現的問題，并從四個知識領域進行分析歸類（如表1）。

表1 學生模型建構的三類習得性問題

續表

二、數學模型建構的有效策略

如何結合學生學習的難點與困惑，讓學生有效地體驗模型建構、增強模型意識？如何促進學生對數學模型的深度理解？筆者從以下方面進行了有效的嘗試與實踐。

1.精選問題，挖掘建模素材

（1）生活化+沖突化，喚醒建模意識

生活背景是數學建模的基礎，用數學的眼光觀察生活情境并發現和提出問題是數學建模的起點。因此，教師可以從學生熟悉的生活背景中甄選素材作為基本內容，讓學生激活并提取數學模型的邏輯雛形，在真實情境中揭示數學本質。選擇思維沖突化的問題情境，更能激發學生的思考欲望，使學生主動求變、求通，充分激發學生的主觀能動性，以此喚醒學生的模型意識。

【案例】減法的性質

學生學習減法的性質a-（b+c）=a-b-c和a-（bc）=a-b+c時會產生這樣的認知沖突：為什么去掉括號后加減運算就變了呢？教師可借用以下生活實例喚醒學生的模型意識（如表2）。

表2 減法性質的學習素材

通過具體實例喚醒學生的建模意識，并使學生在認知沖突中比較兩個模型，學生原先的認知失衡便會轉變為認知平衡。

（2）直觀性+類比性，助推建模體驗

數學模型的建構需要數學活動作為載體，所以教師要給學生提供直觀性、結構性、類比性、全方位的材料，助推建模活動，增強學生的建模體驗。

【案例】相交與平行

筆者收集學生繪制的兩條直線的關系圖，有五種情況（如圖1）。

圖1

學生先分小組討論直線的位置關系，再記錄分類理由，最后全班聚焦到一個問題上：①號作品中的兩條直線究竟有沒有相交？學生紛紛闡述觀點“不相交，因為沒有‘交’。”“會相交，因為直線是可以無限延長的，當延長到一定程度后這兩條直線就會相交。”學生動手展示延長直線的過程，證明①號作品中的兩條直線最后會相交。

①號作品利用看似沒有交點的兩條直線引發學生的討論，使學生經歷“推測—討論—動手驗證”的過程，并由此進入深度學習的狀態，增強了模型建構的體驗。

2.緊扣思維，推進建模進程

（1）聚類中抽象，模型螺旋成形

數學模型并非針對單個數學現象或者數學特征，其本質上具有典型的“類”的特征。因此，教師要為學生呈現豐富的表象，將概念簡單化、整體化，促進模型的建構。

【案例】正比例

筆者匯聚“差不變”“乘積不變”“比值不變”三類變量實例，通過抽象、概括、辨析來引領學生認識正比例的概念，將建構正比例概念模型分成了三個層次。（如圖2）

圖2

第一個層次的認識是“變量”，即能在以上三類變量的具體情境中，體會兩個變量存在聯系。第二個層次是認識正比例中兩個變量的變化方向：一個量增大另一個量也隨之增大。第三個層次是最終認知節點：兩個變量變化方向一致的同時，擴大或縮小的倍數也一樣，即兩個變量的比值不變，從而抽象出正比例的概念。

通過三類不同的變量類型，學生經歷了“相關聯—變化方向—比值一定”的抽象過程，最終順理成章地建構正比例的概念。這也為后續反比例概念的教學奠定抽象、比較、符號化等建模基礎。

（2）思辨中提煉，完善模型建構

課堂教學只有考慮學生的立場和整體視角，以及學生的學習難點、困惑點，才能更有效地幫助學生在思辨異同的過程中提煉本質特征，提高建模意識，逐漸完善模型的建構。

【案例】“平行”的概念教學

教師出示以上三個正方體，并提出以下問題。

①正方體a，同一個平面上的直線：

問題：任選一個面，你能找到兩條互相平行的直線嗎？

②正方體b，異面的直線：

問題：觀察l1，l2，這兩條直線，它們互相平行嗎？為什么？

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數根x1和x2，那么這就是著名的韋達定理.現行義務教育初中數學教材中的證法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式先求出它的兩個根，然后分別計算這兩根之和與兩根之積.筆者在文[1]中不借助于一元二次方程的求根公式給出了韋達定理的三種代數證法,本文再給出韋達定理的三種幾何證法,供大家參考.

③正方體c，看似異面實則共面的直線：

問題：l3，l4，這兩條直線互相平行嗎？這兩條直線所在的面隱藏在哪里？

最后展示平移直線，動態生成第三個平面：

圖3

此案例中，學生充分經歷同一個平面、異面的兩條直線位置關系的辨析過程。在同一個平面上，不相交的兩條直線互相平行；在異面上，不相交的兩條直線有時平行，有時不平行，如果直線l3經過平移可以與直線l4完全重合，那么平移l3所掃過的區域就是這兩條直線共屬的平面。在對看似異面實則共面的直線的辨析過程中，學生實現了深度思考，逐漸完善“在同一個平面內，兩條永不相交的直線互相平行”的數學模型。

3.與“實”俱進，延伸模型實踐

（1）結合實踐經驗，引導建模應用

學生建立數學模型后，最終要在生活實際中驗證數學模型的可行性，并應用數學模型去解決實際問題。

【案例】圓柱的表面積

問題：有一種圓柱形的茶葉罐，要對其進行包裝，為了盡可能地避免浪費，應該選擇怎樣的包裝方式？

問題：給一根底面周長為3.14平方分米、高為3.8米的柱子刷油漆，每平方米要刷0.7千克油漆，共需要多少油漆？

問題：制作100個煙囪需要多少平方米的鐵皮？

學習了圓柱的表面積后，學生已經建立了豐富的表象，并初步建立了模型。為了實現更深刻的認知，教師可引入生活實際問題，強化學生的應用意識，幫助學生積累數學應用的經驗，使學生加深對數學模型的理解，體會數學模型的價值。

（2）積累數學化經驗，養成建模習慣

建構數學模型需要學生將問題數學化，用文字、圖形或者符號表達數量關系和一般性特征，形成建模的習慣。比如，在解答圖2中的“樂樂和爸爸的年齡”等問題時，學生能主動地用簡單的符號來表達不同的關系（如表3）。

表3 不同變量關系的數學語言表達

學生運用數學語言表達數量關系，不但能養成用數學眼光看待問題的習慣，而且能在知識的梳理、反思學習中領會模型思想，不僅有效地解決了問題，還為后續學習打下了堅實的基礎，形成了良好的數學核心素養。

（3）滲透模型意識，延伸數學思維

學生在經歷建構模型的過程中不僅要掌握建模方法，還要主動追溯問題的核心和本質，從形式上、方法上、思想上去延伸數學思維。

針對圓柱的表面積問題，教師可出示延伸數學思維的問題串，以引發學生對數學知識本質的思考：回顧一下，我們已經掌握了哪些圖形的表面積計算方法？你能畫出這些圖形的側面展開圖嗎？能用公式表示這些圖形的側面積的計算方法嗎？它們之間是否存在相同點？

將學生思維局限于課堂并不能真正起到培養學生模型意識的作用，所以教師可以將學生思維延伸到課外，引導學生提煉數學問題，組建項目化學習小組，關注自主學習過程，如此才能達到持續探究的目的。

值得注意的是，模型意識的培養也應做到以生為本。教師長期堅持強化學生數學模型意識的培養，使學生逐漸學會用數學的眼光去看待問題、分析問題，感受現實生活中蘊含著的大量數學知識，并能運用數學知識將生活問題抽象、建構成數學模型，從而能從解決一個數學問題到解決一類數學問題，再到解決一般現實問題，形成模型觀念。