自適應粒子群算法在成橋索力優化中的應用

蔡 儆，張宇航，王林柯，楊雅勛，高宏偉

(1.陜西科技大學,陜西 西安 710021；2.長安大學 公路學院,陜西 西安 710064；3.西安市軌道交通集團有限公司,陜西 西安 710016)

0 引言

隨著中國公路建設的發展，系桿拱橋以其較大的整體剛度、較好的力學性能、便捷的施工方法、較低的造價等特點被國內外廣泛應用。系桿拱橋是一種基于拱肋、吊桿、系桿的三元結構，其外部靜定內部超靜定，系桿拱橋的設計過程是以合理成橋狀態為目標，即在恒載作用下系桿、拱肋受力合理、主橋線形平順。在拱橋結構已經確定的情況下，通過改變吊桿的索力可以顯著影響結構受力。因此為了使結構達到目標狀態就需要吊桿具有合適的成橋索力，系桿拱橋的優化問題便轉化成吊桿索力的優化問題。

戴杰[1]等人對當下斜拉橋索力求解方法進行了綜述，主要方法有：指定結構狀態的優化方法、數學優化法、分布優化法等。而目前系桿拱橋吊桿的索力求解方法主要是沿用了一些斜拉橋的索力求解方法，Leonhardt率先提出了剛性支撐連續梁法并最早應用于美國P-K橋的分析中；肖汝城[2-3]結合影響矩陣推導了彎矩最小能量法的公式；梁鵬[4]提出通過調整結構剛度來近似的求解最小彎曲能量法。傳統的調索方法因受限于各自的局限性而不具有普遍適用性，如剛性支撐連續梁法不能考慮多條件的約束問題，因而用其計算的索力值往往不合理；彎曲最小能量法在結合影響矩陣情況下，想要精確求解計算會十分繁瑣，而采用近似求解方法也需要不斷調節結構的剛度才能使其達到預期結果。

為了避免傳統調索方法的缺點，且能夠快速有效的求解出索力，出現了將計算機智能優化算法與數學方法相結合的調索方法，Ha[5]等人提出微遺傳算法并對斜拉橋成橋索力進行了優化，陳志軍[6]、吳霄[7]等人分別采用傳統的粒子群和遺傳算法對斜拉橋索力進行了優化，但傳統的智能優化算法因其自身的局限性導致結果往往不夠理想。為了使結果更加準確，本研究以實際工程項目為依托，通過對粒子群優化算法加以改進并與影響矩陣相結合，在同時兼顧計算效率和多目標約束的條件下求解吊桿索力，并與其他多種方法進行分析比較，從而驗證該方法的可行性。

1 基于改進粒子群算法的索力優化

1.1 粒子群算法原理

粒子群算法最早是由Kennedy和Eberhart[8]提出的一種基于群鳥覓食的仿生智能算法。其原理是群鳥在覓食的過程中，每只鳥的初始位置和飛行方向都處于隨機的狀態，而且不知道最佳的覓食點在何處。鳥群間通過相互學習、信息共享，并在每次覓食過程中結合自身經驗和種群之間的信息傳遞不斷調整速度和位置，最終步步逼近食物，示意圖如圖1所示。

圖1 粒子尋優示意圖Fig.1 Schematic diagram of particle optimization

如果將該方法運用到實際應用中，則是把鳥群抽象為m個沒有質量和體積的粒子，再將其延伸至N維空間，粒子在N維空間中的位置表示為Xi=(xi1,xi2，…,xij)，速度表示為Vi=(vi1,vi2，…,vij)，且其位置和速度需限制在[Xmin,Xmax]和[Vmin,Vmax]范圍內。每個粒子都有一個由目標函數決定的適應度值fitness，并且知道自己迄今為止發現的最好位置pb=(pi1,pi2，…,pij)和群體發現的最好位置gb=(g1,g2，…,gj)。粒子通過追蹤pb和gb來更新自己的速度和位置，且速度和位置更新公式為：

(1)

(2)

式中，i為粒子的個數，i=1,2，…,m；j為例子的維度，j=1,2，…,N；k為迭代步數；w是慣性因子；c1，c2為學習因子；r1，r2為[0,1]范圍內的均勻隨機數；vmax為用戶自定義常數，一般取vmax=aXmax，vmin=aXmin，通常a為0.1～0.2。

1.2 調索目標函數

目標函數下每一個粒子都有一個適應度值，它作為每次迭代的臨時儲存變量，并不具有記憶性，優化算法可通過粒子每次迭代的適應度值來評價結果的好壞，進而不斷地尋優最終靠近目標。實踐證明[9-10]，通過限制拱橋結構的彎曲能量所求解的吊桿索力能使橋梁結構處于一個較好的受力狀態，然而拱橋在受彎的同時也受壓，因此本研究以系桿拱橋的系梁彎曲應變能和拱肋壓縮應變能之和為目標，并將結構離散化，離散后的應變能公式為：

(3)

式中，U為結構的應變能之和；m為離散單元的數量；Li，Ai，Ei，Ii，Mi，Ni分別為單元的長度、面積、材料的彈性模量、截面慣性矩、彎矩和軸力。

為了能夠建立起設計變量(拱橋的吊桿索力)與優化目標間的函數關系，可采用影響矩陣原理作為連接二者的橋梁，進而達到索力優化的目的。影響矩陣公式具體表示為：

AY=D，

(4)

式中，Y為施調向量，在本研究中是指吊桿索力組成的列向量；D為受調向量，是指結構中關心截面上若干獨立元素所組成的列向量。這些元素一般是指關心截面的內力、位移，通過將這些元素調整到期望狀態來求解施調向量Y。A為影響矩陣，是指當施調向量的某一向量發生單位變化時，引起受調向量D的變化量。

從式(3)可以看出，當結構確定時，其單元及材料的具體特性已經確定，因而只能通過改變截面彎矩和軸力來調整應變能的大小。因此不妨令受調向量為截面的彎矩和軸力，且調索前彎矩向量為M0、軸力向量為N0，施調向量X=[S1,S2，…Sn]T，其中S為吊桿索力，則調索后的彎矩M和軸力N為：

(5)

將式(5)代入式(3)可得結構的目標函數為：

U=M0TBM0+M0TBC1X+

XTC1TBM0+XTC1TBC1X+

N0TQN0+N0TQC2X+XT

C2TQN0+XTC2TQC2X，

(6)

式中，矩陣B和Q均為系數矩陣，是對角陣，分別表示單元柔度對單元彎矩和軸力的加權矩陣，bii=li/2EiIi、qii=li/2EiAi，C1、C2分別表示單位索力引起彎矩和軸力變化的影響矩陣。

1.3 索力約束條件

對于系桿拱橋，其系梁主要承受彎矩，拱肋受軸力作用，因此就必需對其彎矩、軸力加以約束以使其落在允許的范圍內。彎矩的約束條件可表示為Mmin≤M≤Mmax，軸力的約束條件可表示為Nmin≤N≤Nmax。根據影響矩陣理論，在對彎矩、軸力進行限制的同時也相當于對索力進行了約束，從而使調索后的最優解具有了合理性。即當Mmin≤M≤Mmax、Nmin≤N≤Nmax時，可得索力約束條件為：

式中，Si為第i根吊桿的索力；Mjmax，Mjmin分別為系梁上第j個單元所允許的最大、最小彎矩；M0j為系梁第j個單元初始彎矩;Njmax，Njmin分別為拱肋上第j個單元所允許的最大、最小軸力；N0j為拱肋第j個單元初始軸力。同時為了滿足索力均勻原則，需將相鄰索力的差值限定在可控范圍內，另對索力做以下約束：

(9)

式中Δ為索力均勻度的評價閾值。

1.4 粒子群算法改進

由于傳統粒子群算法的程序實現過程十分簡潔，且需要調整的參數較少，因此在隨機優化算法中具有強勁的優勢，并被廣泛應用于工程領域。但同時它也存在收斂速度慢、局部搜索能力差等缺點。為了提高算法的適應范圍，使其結果更加準確可靠，為此我們需要對傳統的算法進行改進[11-13]。研究結果表明[14-18]，當w較大時，算法的全局搜素能力較強，w較小時算法的局部搜索能力較強，因此算法的優化問題便可轉化成一個w值的選取問題，即當粒子目標值趨于局部最優時，需要增大慣性因子；當粒子目標值比較分散時，則需減小慣性因子。

為了合理選取w，本研究將權重進行自適應調整，通過判斷粒子當前的目標函數值U的好壞來自動調整w，即當U>Uavg，此時粒子的目標函數值要比平均目標值差，為了使其向較好的搜索區靠攏，對應的慣性因子要較大；當U′avg

(10)

式中，wmax，wmin分別為w的最大和最小值；Umin，Uavg分別表示當前所有粒子的最小適應值和平均適應值。由于本研究是以彎曲能量的最小值為目標，因此U′avg是將所有小于Uavg的適應值取平均所得。

1.5 調索路線優化

本研究將索力調整和計算機智能優化算法結合，并考慮了慣性權重的實時變化，使索力調整過程自動化，從而實現索力的高效尋優。其具體步驟如下：

(1)利用有限元軟件建立拱橋模型，并提取相關結構數據及影響矩陣作為基礎數據庫。

(2)建立目標函數，利用Matlab軟件編程粒子群算法并搜索在約束范圍內的最優解，如果滿足停止條件，則輸出當前解，否則更新權重繼續搜索。

(3)將搜索值回代有限元模型，校核結果的有效性。

本研究優化后的調索路線具體計算流程如圖2所示。

圖2 計算流程圖Fig.2 Flowchart of calculation

2 工程應用

2.1 工程實例

本研究以某剛性系桿剛性拱橋位工程實例，主橋總長160 m，計算跨徑156.28 m，橋梁總寬13.9 m，拱軸線為二次拋物線，矢跨比為1/5。拱肋采用啞鈴型鋼管混凝土，采用Q345q鋼材，內充C50微膨脹混凝土。系梁采用箱形斷面，系梁和橫梁為預應力混凝土結構，橋面2%橫坡通過橫梁高度的變化進行調整，吊桿間距為7.8 m，每片拱肋設吊桿19根，吊桿編號由小里程到大里程依次為1#～19#，如圖3所示。

圖3 吊桿編號示意圖Fig.3 Schematic diagram of suspender numbering

2.2 參數設置

本研究系桿拱橋采用有限元軟件Abaqus建模，如圖4所示。除吊桿采用桁架單元外，其余均采用梁單元。恒載作用下主梁的初始彎矩值M0和拱肋軸力值N0通過軟件的數據提取功能來提取。通過分別改變每根吊桿的初拉力，使其發生單位1的變化，得到關鍵節點的彎矩和軸力變化值從而組成影響矩陣。模型的主要材料特性見表1。

圖4 系桿拱有限元模型Fig.4 Finite element model of tied arch

表1 材料特性Tab.1 Material properties

利用Matlab工具編寫改進前和改進后的粒子群算法程序并進行迭代求解，改進前后除慣性權重外，其他系數取值相同。目前w較典型的取值范圍是0.4～0.9，算法在此范圍內取值能獲得較好的局部和全局收斂性能。由1.4可知，為使算法能在初期計算時找到較好的解，需要取較大的慣性權重值，因此本研究對改進前的慣性權重w恒取0.9，改進后慣性權重系數按式(9)計算，學習因子取c1、c2取Bergh F[19]的推薦值并精確至小數點后兩位，種群規模m取50，索力范圍取[500，1 500]，速度范圍取索力范圍的15%，具體數據見表2。由圖5、圖6可以看出，在迭代次數都為300次的條件下，改進后的算法收斂速度得到明顯提高，在收斂精度方面也有一定的改善。

表2 改進后粒子群算法參數Tab.2 Improved PSO parameters

圖5 算法改進前后效果對比Fig.5 Comparison of effects before and after algorithm improvement

圖6 算法改進前后索力對比Fig.6 Comparison of cable forces before and after algorithm improvement

圖7 索力對比Fig.7 Comparison of cable forces

2.3 優化結果分析

如何控制拱橋的內力和線形使其在安全的范圍內是施工監控過程中的重要環節。為了能夠清楚地展示粒子群優化算法在實際工程中的效果，本節除使用研究中提出的改進粒子群算法外，另使用近似的彎曲能量法、剛性支撐連續梁法及未知荷載系數法對索力進行求解，4種方法求得的索力見圖7。從圖7中可以看出，利用改進后的粒子群優化算法求得的索力值較其他3種方法更加均勻適中。

將4種方法求得的索力再分別代入有限元模型中，得到各索力下系梁彎矩和豎向位移，如圖8、圖9所示。從圖8可以看出，用不同方法約束的系梁彎矩在數值和均勻度上都有較大的差異，其中未知荷載系數法約束的彎矩上下峰值差距較大，剛性支撐連續梁法約束的彎矩出現驟增現象，這與該方法在吊桿數量有限情況下，可能會導致結構其余部位出現狀態異常有關，而本研究的改進粒子群優化法和近似最小能量法優化后的系梁彎矩都比較均勻，但本研究方法得到的結果比近似最小彎曲能量法得到的結果在數值上更小。從圖9可以看出，剛性支撐連續梁法和近似最小彎曲能量法優化后的豎向位移較大，本研究的改進粒子群優化法和未知荷載系數法優化后的豎向位移相近，但本研究的改進粒子群優化法較未知荷載系數法優化后的豎向位移更加均勻。4種方法對結構具體影響見表3。

圖8 系梁彎矩圖Fig.8 Bending moments of tie beam

圖9 豎向位移Fig.9 Vertical displacements

表3 四種優化方法對結構的影響Tab.3 Influence of 4 optimization methods on structure

3 結論

本研究在粒子群優化算法的基礎上對其慣性權重進行改進，同時考慮了系桿拱橋在索力優化過程中的主要約束條件，提出了一種新的系桿拱橋索力優化的方法，并以某系桿拱橋為工程背景進行應用，主要結論如下：

(1)基于粒子群算法的調索方法可以借助有限元軟件和數值分析軟件實現索力的自動化、智能化求解。在改進后算法的尋優能力得到提高，從而避免了繁瑣的試算過程，進而可以高效、準確地求解出索力，極大提高了調索效率。

(2)粒子群算法改進后較改進前在收斂速度和精度上有一定的改善。

(3)4種索力優化方法的結果表明，改進后的粒子群算法較其他3種方法能更加全面地考慮影響因素的作用，進而規避不利因素對優化結果的影響，以達到更好的優化效果。

(4)本研究提出的方法可進一步推廣于各施工階段過程中吊桿初拉力的確定問題。