小波分析的閾值去噪方法研究

武劍

（內蒙古工業大學理學院，內蒙古呼和浩特，010051）

0 引言

濾除信號中的噪聲在信號處理中是一個不可缺少的步驟。由于其多分辨率分析的特點，小波分析在信號時域和頻域都具有表征局部特征的優勢，因此，它已成為信號處理領域的主要工具之一。

通過小波變換可以信號能量集中到少數小波系數上。相對而言，真實信號的小波系數值大于能量分散且幅值較小的噪聲的小波系數值，所以通過選擇合適的閾值對小波系數進行閾值處理，就能達到去除噪聲的目的。因此在眾多去噪方法中，應用比較廣泛的是閾值去噪方法，即小波軟、硬閾值去噪法。盡管這兩種方法應用較多，但其各自均存在明顯缺點，單一方法獲取的閾值，很難在不同類型噪聲下都能達到比較理想的去噪效果。目前對該方法的改進主要集中在閾值函數和閾值選取規則上。本文提出一種基于小波分析改進的閾值去噪方法，為確定小波閾值提供了新的思路和方法。

1 含噪信號的小波分析特性

含噪信號模型可表示為：

其中y(t)表示含噪聲信號，x(t)為原始信號，n(t)表示噪聲。

實際應用中，無法從含噪聲信號y(t)中直接提取有用信號x(t)，需采用變換方法。小波變換在信號去噪方面已發展為一種有效的方法，克服了傳統的傅立葉變換不具有局部分析能力，在處理非平穩信號的的具體應用上存在局限性這一缺點。

一般有用信號會表現為頻率較低或是較平穩的信號，而噪聲大多包含在具有較高頻率的細節中。因此針對噪聲去除過程可作以下處理：首先對原始信號y(t)進行小波分解，噪聲信號通常包含在每次分層后的高頻部分，所以可以用門限閾值方法對小波系數進行處理，重構信號后即可實現去除噪聲部分。

上述過程具體表述為三步：

（1）含噪信號的小波分解。選取一個小波，確定分解層數后進行分解計算，對其分解后得到小波系數wj,k。

（2）小波系數進行閾值量化。對各個分解尺度下的高頻系數，選取一個閾值進行閾值量化處理，得到小波系數估計值使得盡量小。（其中uj,k為原始信號x(t)對應的小波系數）。

（3）對小波系數進行一維重構。根據小波分解的最低層低頻系數和量化處理后各尺度的高頻系數估計值進行一維小波的重構。

上述過程中，第二步選擇閾值和對其進行量化是影響最終去噪效果的關鍵問題。

2 閾值選取及量化

去噪過程是尋找一個合適的值τ作為閾值，把低于τ的小波系數設為0，保留高于τ的小波系數，就可以得到小波系數對小波系數重構，就能夠提取原始信號。

稱為硬閾值量化方法。wj,k為y(t)的小波變換系數。

軟閾值量化法定義為：

3 改進的自適應閾值算法

以上簡單介紹了軟、硬閾值去噪方法，通過討論可以發現消噪效果主要取決于閾值選取?；诖藘煞N方法，提出一種改進的自適應學習算法計算最佳閾值，并得到最小均方誤差，最終實現更好的噪聲消除效果。

將含噪信號模型表示為：

從含有噪聲的信號y中得到原始信號x，本質上是從y中獲得x的一致估計，即使均方誤差達到最小[5]。均方誤差定義為：

本方法的閾值表達式如下：

其中y是含噪聲信號，t為閾值，τ是常數，這里取τ=0.01。

定義y的估計誤差為：

定義y的無偏似然估計為：

式中t為閾值變量。上式的梯度為：

其中gi=η(yi,t) ?yi。得到學習步長 ：

式中α表示學習率。

通過仿真實驗對含噪信號分別采用了軟硬閾值與上述改進的自適應閾值去噪方法進行對比，結果體現了該方法的有效性。圖 1 中（a）為改進閾值算法去噪結果，（b）（c）分別為硬閾值和軟閾值去噪結果。

圖1 去噪仿真結果

4 結論

本文介紹了傳統小波的基于軟硬閾值去噪的原理和實現方法，針對噪聲去除效果的關鍵是閾值選取這一環節，提出了一種改進的自適應學習算法，根據該方法選定的閾值，可以克服上述傳統方法的不足，最后通過仿真實驗證明了此方法的有效性。