疫苗注入與隔離措施對新發傳染病傳播的影響

周大勇,孫建梅

(1.大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028；2.大連科技學院 數字技術學院，遼寧 大連 116052)①

全球大流行的新發傳染病COVID-19對人類生活產生了極大的沖擊和影響,目前確診病例仍然居高不下.截至2021年8月27日，根據世界衛生組織公布的數據，全球共有214 468 601例確診為COVID-19病例，其中包括4 470 969例死亡病例，而且這些數據仍在快速增長中.隨著新冠疫苗的逐步接種，人們對疫苗的保護效率非常關心.輝瑞和BioNTech公布了3期臨床試驗的六個月隨訪數據，在接種第二劑疫苗長達6個月的時間里，疫苗針對有癥狀感染的保護效率為91.3%，與最先公布的95%的保護率基本一致，表明這款疫苗的保護期至少有6個月.不僅如此，疫苗預防嚴重疾病的有效保護率為95.3%～100%[1-4]，即在較短的時間內，疫苗對于COVID-19流行病的保護效率是非常高的.對于COVID-19傳播規律與防控措施的研究，建立微分方程動力學模型進行探討是采用較多的一種方法[5-9].疫苗接種對于控制COVID-19的傳播是目前各國正在大力推行的措施之一.雷仙鶴、王鴻章、朱煥等人對于疫苗接種對于傳染病的最優策略及對傳染病傳播影響進行了探討[10-12].本文假設在一定時期內，由于媒介的宣傳、政府的政策對區域進行封鎖作用，某一區域不考慮新的人群注入和自然出生及自然死亡人群，各人群混合均勻.接種疫苗的易感者在一定時期內完全有免疫力成為恢復者，恢復者自身也具有完全免疫力，即他們通過自身獲得免疫后短時間內不再成為易感者.潛伏者經過潛伏期都發病或者檢測都轉化為患者，潛伏者不具備通過自身免疫變成恢復者.論文的結構如下,在第一節中，建立了COVID-19傳播的具有短期保護效率的疫苗接種動力學模型.在第二節中，分析了基本再生數、模型的平衡點、局部穩定性條件.在第三節中進行了數值模擬.最后在第四節中給出了結論和一些展望.

1 改進的SEIR模型

將某一地區的人群可以分為易感者(S(t))、潛伏者(E(t))、患者(I(t)有癥狀)、檢測隔離者(Q(t))、恢復者(R(t))、死亡者(D(t)).假定各人群混合均勻，并且在媒體的宣傳、人群個人的防范意識和嚴格的封閉措施下該地區沒有新增注入的人口.假設易感者以β的概率接觸潛伏者或者染病者.易感者受到媒體報道的影響后，考慮疫苗供給能力的影響，接種率為μ.短期內接種疫苗具有完全保護效力，當人群選擇接種疫苗而轉化為恢復者，潛伏者中有η減弱比例，潛伏者的發病率為α.患者中檢測確診后以隔離率λ進行入院隔離治療成為隔離者Q(t).患者的自愈率和死亡率分別為rI,dI.入院隔離患者的治愈率和死亡率分別為rQ,dQ.隔離患者Q(t)無論輕癥或者重癥都進入醫院占用醫療資源M.在以上假設下的各人群轉化見圖1.

圖1 各人群傳染病傳播倉室圖

通過上述轉化圖，建立如下對應的COVID-19傳播的微分方程:

(1)

初始時刻，

S(0)=S0>0,E(0)=E0>0,I(0)≥0,

Q(0)≥0,R(0)≥0,D(0)≥0

2 模型分析

2.1 基本再生數R0

利用下一代矩陣法[13]求模型(1)的基本再生數R0，受感染的倉室為E，I，F(X)表示新感染疾病的矩陣，V(X)表示傳染病方程組間的轉移矩陣，由(1)得到：

(2)

F(X),V(X)關于E，I的雅克比矩陣為：

(3)

模型(1)有一個無病平衡點P0=(S*,0,0，0),F,V在點P0雅克比矩陣

(4)

則模型(1)下一代矩陣為:

(5)

上式的最大譜半徑為:

(6)

則模型(1)的基本再生數為：

(7)

2.2 平衡點及局部穩定性

設定k1=λ+rI+dI;k2=rQ+dQ,k3=k1η+α,由于模型中前4方程不含R,D,模型(1)有無病平衡點

P0=(S*,0,0，0)≈(N,0,0,0)和地方病平衡點

(8)

通過線性化模型(1)，分析平衡點的局部穩定性，得到如下雅可比矩陣：

(9)

2.2.1 無病平衡點的穩定性

證明：系統(1) 在無病平衡點P0處的雅克比矩陣為：

上述矩陣顯然有特征值：

(10)

(11)

當R0<1時，即

(12)

(13)

由上可知模型(1)在無病平衡點P0的雅克比矩陣的特征值的實部均為負，則P0為局部漸進穩定的.當R0>1時，

αk1-(βηk1+αβ)<0

2.2.2 地方病平衡點的穩定性條件

模型(1)在地方病平衡點的雅可比矩陣為：

(14)

(15)

則地方病平衡點處的雅克比矩陣為：

(16)

(17)

其中a1=k1+k4+α-k5

a2=k1k4+αk1+αk4-αk6-k1k5

a3=αk1k4

利用Routh-Hurwtiz定理，特征方程(16)的根全為負實部當且僅當下列式子成立

(i)a1>0 (ii)a1·a2-a3>0

(18)

則當(18)式成立時，地方病平衡點P*是局部漸近穩定的，否則是不穩定的.

3 數值模擬

(a) μ=0.000 01

從圖2(a)可知，新發傳染病從潛伏者發病開始蔓延傳染，當接種率處于較低水平時，群體接近80%將感染.經過一段時間演化后，染病人數和需要入院隔離治療的患者人數達到峰值.隔離患者峰值在某一時間接近總人群的三分之一，說明對于新發傳染病，如果不加以干預的話將給醫療系統帶來較大的沖擊和壓力，同時將影響入院患者的治愈率.圖2(b)可知，當接種率處于較高水平時，感染人數及隔離人數和死亡人數相應將減少.醫療擠兌的情況得到緩解.

如果此時疫苗資源充足，入院隔離率λ=0.2保持不變，提高易感人群的疫苗接種率

μ=0.000 5k+0.000 05,k∈{0,2,4,6,8,10}，其他參數不變，各類人群演化圖如圖3所示.

圖3 接種率逐步提高時，各人群數量演化圖

從圖3(a)、3(b)可知,接種率提高時，感染人數與入院隔離患者明顯降低，而且可以明顯減緩峰值到達的時間.而且在此時設定的參數背景下，當接種率μ>0.005時，感染人數和需要入院進行救治患者急劇減少幾乎接近0.同時，從圖3(c)、3(d)可知，隨著接種率的提高，具有免疫力的人群數量在單位時間內增加的速度更快，這樣會更好地控制疫情的傳播.從圖3(d)可知，提高接種率可以減少死亡人數，特別是當μ>0.005時，人群的死亡率幾乎接近于0.對于這種自限性新發傳染病，及時接種疫苗是降低死亡率較好的應對策略.

如果在疫苗資源有限的情況下，不妨假定接種率μ=0.003，討論入院隔離率(確診率)變化對疫情傳播的影響.如果醫療資源足夠多，即M≥107，不存在醫療擠兌情況下，隔離患者的治愈率和死亡率仍舊不變，取λ=0.03k+0.01,k={0,2，4,6，8，10}，各人群演化圖如圖4所示.

圖4 隔離率變化時，各人群數量演化圖

從圖4(a)中可知，隔離率提高可以明顯降低感染者峰值數量，并且可以延緩峰值到來的時間.在此參數背景下，當隔離率λ>0.3時，感染人數峰值幾乎接近0.從圖4(b)、4(d)中可知入院隔離患者和死亡患者的峰值隨著隔離率提高而增加，當隔離率接近λ=0.07時達到最大值.而當λ∈(0.07,0.31)時，隔離患者與死亡患者的峰值隨著隔離率的增加而減少.從圖4(c)可知，恢復者在隔離率處于較低水平時，增加的速度較快.而當隔離率提高時，恢復者數量增加較慢.這是由于大量需要治療的隔離患者進入系統的原因.

4 結論

自2019年底新冠肺炎(COVID-19)大流行以來，該新發傳染病目前仍在全世界蔓延.對于控制該傳染病的傳播，接種疫苗和保持非治療的預防措施仍然是最重要的手段.本文研究了短期保護效率下疫苗接種和隔離措施新發傳染病的影響，通過建立SEIQR模型進行數值分析.結果表明，新發傳染病從潛伏者發病開始蔓延傳染，當接種率處于較低水平時，群體接近80%將感染.經過一段時間演化后，染病人數和需要入院隔離治療的患者人數達到峰值.隔離患者峰值在某一時間接近總人群的三分之一，說明對于新發傳染病，如果不加以干預的話將給醫療系統帶來較大的沖擊和壓力，同時將影響入院患者的治愈率.當接種率處于較高水平時，感染人數及隔離人數和死亡人數相應將減少，可以明顯減緩峰值到達的時間，醫療擠兌的情況將得到緩解.當疫苗資源有限時，提高隔離率可以減緩疫情傳播，降低患病入院峰值的到達時間.隨著隔離率的增加，染病死亡人數呈現先增加后降低的變化趨勢.

本文僅僅考慮了短期內疫苗完全保護下COVID-19的傳播影響.隨著該傳染病的病毒不斷變異，加上疫苗隨著時間變化的保護效率降低，以及人們防護措施隨著疫苗介入也可能發生改變等，可以對模型做進一步的改進，對于該新發傳染病的傳染規律這有待于進一步的研究.