基于自適應動態面的高速列車蠕滑速度跟蹤控制

徐傳芳

(大連交通大學 自動化與電氣工程學院，遼寧 大連 116028)①

高速列車牽引力/制動力的形成依賴于輪軌間的黏著[1].在列車車輪不發生滑動的條件下，傳遞到輪對的驅動力矩/制動力矩通過輪軌間的黏著產生黏著力，并進而轉化為列車運行所需要的牽引力/制動力[2].輪軌間通過相互作用產生并傳遞黏著力的大小與輪軌間微量滑動的程度存在著密切關系.為了實現復雜運行環境下列車的可靠運行，需要對列車進行黏著控制.由于蠕滑率體現了輪軌間微量滑動的程度,很多文獻通過確定期望蠕滑率，并設計控制算法實現列車車輪對期望蠕滑率的跟蹤，來實現對列車的黏著控制[3-4].然而，在列車從零速開始加速以及降速到車輪角速度為零時，蠕滑率可能出現不連續點；而且在列車車體速度和車輪角速度接近零時，基于蠕滑率設計的控制器可能會出現抖振問題[5]，因此，基于蠕滑率跟蹤設計黏著控制器并不是一個很好的選擇.另外，由于期望跟蹤目標的好壞直接決定了黏著控制的效果，文獻[3-4]研究的重點均為期望蠕滑率的獲取.實際上，對期望目標的精確跟蹤控制同樣重要，否則期望目標的獲取也就失去了意義.針對上述問題，文獻[5-7]基于蠕滑速度跟蹤研究了列車的黏著控制方法，解決了基于蠕滑率跟蹤控制算法存在的問題，并重點探討了對高速列車期望蠕滑速度的精確跟蹤控制問題.

另一方面，上述文獻中提出的黏著控制算法存在過度依賴列車模型精確信息問題.實際上，由于乘客及所攜帶行李的不確定性、線路條件、天氣、列車速度等諸多因素的影響，列車質量和運行基本阻力，車輪的黏滯摩擦系數以及輪軌間的黏著力難以精確測定.過度依賴列車模型信息的控制算法，在列車實際運行過程將很難保持良好的控制效果.因此，迫切需要設計不依賴于列車質量、基本阻力、黏著力以及車輪黏滯摩擦系數等不易測量列車模型信息的蠕滑速度跟蹤控制策略.

基于以上考慮，本文針對高速列車黏著控制中對期望目標的跟蹤控制問題，提出了一種新的控制方法.基于考慮牽引/制動動態的列車黏著控制系統動力學模型[6]，采用自適應技術手段估計列車模型參數以及系統集總不確定性的上界，避免了控制策略對列車模型信息的過度依賴；在此基礎上引入動態面控制方法，設計了高速列車的蠕滑速度跟蹤控制策略，避免了基于蠕滑率跟蹤控制策略存在的盲點問題以及傳統反步法存在的計算量大的問題.通過嚴格的算法穩定性理論證明和數值仿真結果，說明了文中所提出控制算法的可行性和有效性.

1 高速列車黏著控制系統動力學模型

單輪對的動力學模型，是研究整體機車黏著控制問題的基礎.很多文獻在研究黏著控制問題時，常采用圖1所示的簡化輪軌單軸模型[5-6,8].

圖1 列車簡化輪軌單軸模型

列車黏著控制系統動力學模型主要由列車車體和車輪動態方程組成.其中，列車車體動態方程可以表示為[6-7]

(1)

式中，M為列車模型質量,v為列車車體速度,Fr為列車基本阻力，其表達式為：

Fr=a0+a1v+a2v2

(2)

其中，a0、a1、a2為正實數，一般可以通過風洞試驗和實際運營所積累的數據中獲知，但在列車實際運行中，其準確值難以確定.

Fa為輪軌黏著力，在列車車輪未發生滑動時，其實際為列車的牽引力/制動力，其表達式一般為[9]

Fa=μ(λ)Mg

(3)

其中，μ(λ)為黏著系數，是蠕滑率λ的非線性函數.黏著系數與輪軌間的蠕滑以及輪軌狀況之間存在復雜的關系，其具有高度非線性、不確定性和隨機性等特點[10].目前國內外常采用Burckhardt模型來描述，其表達式為[11]

(4)

其中，ci(i=1,2,3)>0，不同的ci代表不同的軌面狀態；sign為符號函數；λ為蠕滑率，其表達式為

(5)

式中，vs為蠕滑速度，其值為動輪滾動圓周速度與列車前進速度的差值，表達式為

vs=ωr-v

(6)

為了分析方便，忽略傳遞過程中的轉矩損耗，則列車車輪的動態方程可表示為[12]

(7)

輪軌間黏著力的產生過程為：列車自動駕駛控制器根據列車運行情況，或者駕駛員手動調整牽引/制動手柄級位，發出控制指令，列車牽引/制動系統接收到指令后，由牽引電機產生相應的驅動/制動力矩并通過齒輪箱傳遞給輪對，最后通過輪軌間的相互作用產生黏著力.所以，對于黏著控制器來說，其被控對象應該是包含牽引/制動系統在內的列車黏著動力學系統.考慮到列車牽引電機的電磁慣性比列車的機械慣性要小得多，因此，當考慮牽引/制動動態響應來研究列車的黏著控制問題時，可以忽略牽引電機輸出轉矩產生的詳細過程，用一個一階慣性環節來近似代替[7]，即

(8)

式中，Tz表示期望的牽引電機驅動/制動轉矩，為系統的控制變量,α和β均大于零.

根據式(1)及式(6)～(8)，可得到以蠕滑速度和牽引電機輸出轉矩(即作用到車輪上的驅動/制動力矩)為系統狀態變量的列車黏著控制系統模型:

(9)

(10)

其中，Ftd為系統的集總不確定性，其由未知參數和難以精確獲知的未知函數等構成，表達式為

(11)

2 控制器設計及穩定性分析

控制器的控制目標為：針對式(9)和式(10)構成的系統，在部分模型參數和系統集總不確定性Ftd未知的條件下，設計合適的控制算法，實現高速列車對期望蠕滑速度的精確跟蹤.由于本文重點是對目標蠕滑速度的跟蹤，其如何獲取問題不作討論.

2.1 控制器設計

Ftd包含復雜的未知非線性項，且部分參數難以獲取.為實現控制目標，需要處理Ftd對系統的影響，本文采用基于自適應技術估計其上界的方法.

易知Fa、Fr和B有界，因此如下不等式成立

(12)

其中，μmax為最大黏著系數，a0max、a1max、a2max和ζb分別為a0、a1、a2和B的最大值，μmax、a0max、a1max、a2max和ζb均為未知正數.

由不等式(12)可知，Ftd滿足如下不等式：

|Ftd|≤T0+T1|v|+T2|v|2+T3|ω|

(13)

觀察式(9)和(10)可發現，當考慮牽引/制動動態時，列車黏著控制系統模型為一串級非線性系統，可以考慮應用反步法來解決其跟蹤控制問題.但是，反步法需要對虛擬控制量進行微分計算，控制算法復雜.因此，本文采用在反步法基礎上進一步發展和延伸出來的動態面控制方法，來設計高速列車的蠕滑速度跟蹤控制策略，在降低計算量的同時，實現高速列車黏著控制中列車車輪對期望蠕滑速度的精確跟蹤.設計步驟如下：

步驟1：定義列車蠕滑速度跟蹤誤差為evs，即

(14)

求evs對時間的導數

(15)

(16)

(17)

(18)

式中，τ>0，為濾波器的濾波時間常數.

定義濾波估計誤差為

(19)

為第一個子系統選取Lyapunov函數

(20)

求V1對時間的導數，并結合式(9)、(13)、(15)～ (17)，以及式(19)可得

(21)

由Young不等式[13]，如下不等式成立

(22)

將式(22)代入式(21)，有

(23)

步驟2：定義牽引電機輸出轉矩跟蹤誤差為

eT=Tn-Tnd

(24)

eT對時間的導數為

(25)

定義ea=[ea1,ea2]T=[1/β,α/β]T，將式(10)代入式(25)，并在其兩邊均乘以α/β，可得到

(26)

設計系統的實際控制輸入量Tz為

(27)

(28)

式中:θ為正實數；Γ為正定對陣矩陣，是一個與算法相關的常數矩陣.

為第二個子系統選擇Lyapunov函數

(29)

求V2對時間的導數，并結合式(26)可得到

(30)

將式(27)和式(28)代入式(30)，可得

(31)

根據Young不等式，如下關系成立

(32)

將式(32)代入式(31)，得

(33)

2.2 穩定性分析

定理：對于式(9)和式(10)所示的系統，設計控制器的控制輸入信號和虛擬控制量分別為式(27)和(16)，采用式(17)和(28)所示的未知參數自適應更新律，則以下結論成立：①閉環系統的所有信號均半全局一致最終有界；②蠕滑速度跟蹤誤差可以收斂到式(44)所示原點附近的緊集，且當設計參數k1、k2、σi、bi、θ和τ選擇恰當時，穩定狀態下系統的蠕滑速度跟蹤誤差可以盡可能的小.

證明：選擇整個系統的Lyapunov函數為

(34)

求V對時間的導數有

(35)

由式(18)和式(19)，一階濾波器濾波估計誤差的動態方程可以表示為

(36)

參閱文獻[14-15]可知，H(·)是連續函數，且存在η>0，使得H(·)滿足|H(·)|≤η.因此，結合式(36)，可得到

(37)

結合式(24)，并將式(23)、(33)和(37)代入式(35)，可得到

(38)

由Yong不等式，可知

(39)

根據不等式(39)，式(38)滿足如下關系

(40)

則由式(40)可進一步得到

(41)

(42)

從而有

(43)

由式(34)和式(43)易知，列車車輪蠕滑速度跟蹤誤差evs的收斂域滿足如下緊集

(44)

由式(43)和式(44)可以看出，通過設計并選取恰當的控制器參數，比如固定σi和θ，增大bi，減小λmax(Γ-1)，使α0盡可能的大，則V∞會盡可能的小，從而可使得穩定狀態時的evs盡可能的小，即列車的蠕滑速度跟蹤誤差可以盡可能的小.證畢.

3 仿真驗證與分析

為了驗證本文基于自適應動態面方法所設計高速列車蠕滑速度跟蹤控制策略的有效性，基于MATLAB/Simulink軟件進行了仿真驗證.仿真基于列車車輛簡化單軸輪軌模型，其具體參數為[6]：列車質量M=12 000 kg，車輪轉動慣量J=80 kg·m2，車輪半徑r=0.445 m，黏滯摩擦系數B=0.01，列車基本阻力Fr=180.9+112.2v+2.6v2(單位：N).

圖2 列車黏著特性曲線

仿真結果如圖3～7所示.其中，圖3為列車車體和車輪的速度曲線，圖4為列車車輪的期望蠕滑速度和實際蠕滑速度曲線，圖5為蠕滑速度跟蹤誤差曲線，可以看出，在高速列車的整個控制過程中，無論是穩態時，還是運行狀態以及軌面狀態發生突變時，高速列車蠕滑速度的波動以及跟蹤誤差都很小，實現了高速列車車輪實際蠕滑速度對期望蠕滑速度的良好跟蹤；圖6和圖7分別為期望施加到列車車輪的驅動/制動力矩和實際施加到列車車輪的驅動/制動力矩，可以看出，在整個控制過程中，列車都能夠及時適當地自動調整施加到列車車輪的驅動/制動力矩，使其很好地跟蹤期望驅動/制動力矩，保證了系統的穩態和動態跟蹤性能.

圖3 列車車體和車輪速度曲線

圖4 列車的期望蠕滑速度和實際蠕滑速度曲線

圖5 列車的蠕滑速度跟蹤誤差曲線

圖6 期望施加到列車車輪的驅動/制動力矩

圖7 實際施加到列車車輪的驅動/制動力矩

4 結論

本文基于考慮牽引/制動動態響應的列車黏著控制系統動力學模型，研究了黏著控制中對期望蠕滑速度的精確跟蹤控制問題.引入基于自適應更新律的模型參數和集總不確定性上界參數估計方法，進而結合自適應技術和動態面方法提出了高速列車的蠕滑速度跟蹤控制策略，避免了基于蠕滑率跟蹤控制策略存在的不連續點和抖振等問題，并大大降低了控制算法對列車模型參數等信息的過度依賴.理論分析表明，只要控制參數選擇恰當，高速列車的蠕滑速度跟蹤誤差可以盡可能的小.仿真結果表明，文中所提出的算法實現了高速列車車輪實際蠕滑速度對期望蠕滑速度的精確跟蹤.