基于多層小波閾值函數的彩色圖像邊緣檢測

陳 順 李登峰

(武漢紡織大學數學與計算機學院 湖北 武漢 430200)

0 引 言

彩色圖像邊緣檢測在圖像處理中起著至關重要的作用，被廣泛應用于目標識別[1]、圖像增強等不同圖像處理領域。其中常見的灰度邊緣檢測算子有Sobel算子、Roberts算子和Canny算子等[2]。這些傳統邊緣檢測算子的優點是容易實現且計算簡單，但是對噪聲異常敏感且對彩色圖像邊緣檢測時需要采用單通道法處理，從而會丟失部分邊緣信息。另外，部分算法也存在邊緣不連續現象。現代邊緣檢測算法中神經網絡算法[3]等現代算法需要大量的訓練樣本，并且部分算法實現成本高、計算復雜度大。相對于灰度圖像，彩色圖像由于包含圖像亮度和色度信息的所有跳變點，從而具有更加豐富的邊緣信息。因此，在實際應用中如何有效地對彩色圖像進行邊緣檢測逐漸成為計算機視覺和圖像處理領域的廣泛研究內容[4]。通常情況下，彩色圖像是通過RGB顏色空間呈現出來的，所以很多彩色圖像處理方法都是基于RGB顏色空間。但是RGB顏色空間的R、G、B三個分量具有高關聯性，如果采用單色調的方法分通道處理，那么將會丟失大量色彩信息，從而導致部分彩色邊緣不能被檢測出來。另外，從照相機、監控攝像頭等設備中獲取的彩色圖像數據可能包含大量噪聲。因此得到邊緣輪廓清晰且去噪效果良好的彩色圖像就變得相當重要。

近年來，基于四元數理論的彩色圖像處理方法被大量應用，文獻[5]提出了一種四元數Gabor彩色紋理特征提取方法，該方法很大程度地保留了原圖像的粗糙度、對比度和方向度等紋理特征。文獻[6]提出了一種RGB空間下結合四元數與最小核值相似區的邊緣檢測算法，該算法能夠提高邊緣定位精度，對弱噪聲具有較好的抑制能力，適用于對實時性不高的低層次彩色圖像處理。文獻[7]提出了一種基于雙搜索方程的人工蟻群算法，以四元數表示彩色像素為基礎，改進人工蜂群算法的單一搜索方程，該算法去噪能力強，計算量小。文獻[8]提出了一種基于四元數理論的Canny算法，采用彩色四元數邊緣特征矩陣計算圖像的邊緣梯度幅值，有效降低了彩色邊緣信息的漏檢率和錯檢率。

針對上述問題，本文首先提出一種改進的小波閾值去噪模型對含噪的彩色圖像進行去噪預處理。然后根據文獻[8]所提四元數理論對文中的特征矩陣進行改進，將其梯度方向擴展至四個方向，四個方向的梯度構建不同的特征矩陣模型進行測試，并求解得到新的梯度幅值和幅角。最后進行非極大值抑制和自適應閾值處理得到最終的邊緣檢測圖像。算法流程如圖1所示。

圖1 算法流程

1 小波閾值去噪

1.1 小波閾值去噪原理

由于圖像所含噪聲與邊緣同處于高頻區域，所以對含噪圖像邊緣檢測時進行去噪預處理是非常重要的一步。如果去噪效果控制不好，那么就會引起圖像模糊程度增加，這就增加了邊緣檢測的漏檢率和錯檢率，從而對后續圖像更深層次處理產生一定影響。因此在圖像去噪預處理時經常使用小波閾值去噪方法。其主要思想是將圖像進行小波分解，得到低頻子圖像(系數較大)和高頻子圖像(系數較小),然后對高頻子圖像進行閾值處理得到新的小波系數并進行小波逆變換獲得去噪后的圖像。這對具有高斯噪聲和椒鹽噪聲的圖像都有良好的去噪效果。其中閾值范圍的具體估計和閾值函數的選取是影響小波閾值去噪效果的兩個關鍵因素[9]。如果閾值估計太小，則圖像去噪效果不佳；如果閾值估計過大，則會丟失圖像邊緣細節信息，從而導致部分真實邊緣難以被檢測。因此，對小波閾值函數及閾值估計的研究引起了許多研究者的關注。

1.2 常用的小波閾值去噪函數

小波閾值去噪的函數中，傳統閾值函數主要有硬閾值去噪函數、軟閾值去噪函數和軟硬折中閾值去噪函數。

硬閾值去噪函數：

(1)

軟閾值去噪函數：

(2)

軟硬折中閾值去噪函數：

(3)

1.3 改進的小波閾值去噪函數

針對傳統閾值去噪函數存在的問題，文獻[9-11]提出的改進閾值函數分別如下：

文獻[9]小波閾值函數:

(4)

文獻[10]小波閾值函數：

(5)

文獻[11]小波閾值函數：

(6)

式(4)和式(6)采用單層閾值函數去噪，將小于閾值區間的閾值函數不是簡單地設為0，而是通過一個非線性函數實現對閾值的逐漸壓縮。這樣既可以保證函數的連續性，又避免了閾值函數引起的震蕩效應。式(5)采用多層閾值函數解決了軟閾值中當系數超越閾值時它們之間存在恒定偏差的問題。

從分析可知，式(4)和式(6)都是通過增加調節因子來縮小原小波系數與估計小波系數之間存在的恒定偏差。其中式(4)設置了a、b、m、t四個可調參數，通過人為選取不同的數值來提升去噪性能，但是計算公式相對復雜，自適應度低，并且對比評價指標來看效果并不明顯。式(5)采用三個閾值實現多層閾值函數，取得了不錯的去噪效果。式(6)通過添加一個可變參數k，對噪聲有較好的處理效果。

1.4 改進的小波閾值去噪函數

為了減少計算復雜度和恒定偏差問題，達到良好的去噪效果，本文將結合多層閾值小波函數，同時增加調節因子來縮小原小波系數和估計小波系數之間存在的恒定偏差以及提高自適應性。改進的表達式如下：

(7)

閾值函數的數學分析如下：

1.5 改進的自適應閾值選取

目前常用的閾值判斷方法有：無偏似然估計、固定閾值估計、啟發式閾值估計和最大最小閾值估計。文獻[9-11]都選用固定閾值估計或進行輕微改進，其表達式為:

(8)

式中：M、N分別為圖像的長和寬；median表示取中值。

盡管本文采用的二維單尺度小波分解，分解尺度對算法沒有影響，但是通過分析發現噪聲主要存在小波分解的第一層系數中，并且隨著分解層數的增加而減少，噪聲系數的幅值隨著小波分解尺度增加而減小。所以本文為了增加小波分解層數時，使閾值估計隨分解尺度的增大而增大，隨分解層數的增加而減小，提出一種改進的自適應閾值估計，公式如下：

(9)

式中：令σ中median(|wi,j|)為第一層小波細節系數的絕對值，n為小波分解次數。可以看到，e的指數為一個等差數列，當n=1時，h與H相等；當n增大時，H逐漸減小。這樣既保持了閾值選取的自適應改變，又避免了有效信息的丟失。H為高閾值，L為低閾值，并設L=0.1H。

1.6 小波閾值去噪效果分析

為了驗證本文改進的小波閾值去噪在彩色圖像的去噪效果，實驗一選取512×512的彩色房屋圖像分別加入方差為0.01的高斯白噪聲和濃度為0.05的椒鹽噪聲，實驗二選取512×512的彩色Lena圖像分別加入方差為0.03的高斯白噪聲和濃度為0.03的椒鹽噪聲。與傳統的閾值函數作對比，并采用PSNR(峰值信噪比)和SNR(信噪比)客觀評價指標來衡量去噪效果。其中采用二維單尺度小波分解一次，并選用db15作為小波基。實驗結果如圖2、圖3所示，客觀評價指標如表1和表2所示。

圖2 實驗一結果

圖3 實驗二結果

表1 濃度為0.01時去噪算法的PSNR、SNR值

表2 濃度為0.03時去噪算法的PSNR、SNR值

從上述實驗和客觀評價指標可以得出，本文小波閾值去噪函數對于高斯白噪聲和椒鹽噪聲都具有較好的去噪效果，克服了硬閾值函數獲取小波系數連續性很差和軟閾值函數導致的小波系數與估計小波系數之間偏差問題，并且提高了算法自適應性，減小了傳統濾波器導致的模糊現象和計算復雜度。

2 改進的Canny邊緣檢測算法

2.1 彩色圖像的四元數表示

目前，利用四元數思想來描述彩色圖像已經被廣泛應用，該方法利用向量的思想對彩色圖像的顏色空間信息統一表示，解決了對圖像色彩信息的有效表達。四元數是一種簡單的超復數，主要由一個實部和三個虛部組成，表示如下：

Q=a+bi+cj+dk

其中，點積、叉積和模值運算規則定義如下：

Q1·Q2=a1a2+b1b2+c1c2+d1d2

(10)

Q1×Q2=(c1d2-d1c2)i+(d1b2-b1d2)j+

(b1c2-c1b2)k

(11)

(12)

可以看到，當實部a=0時，可令四元數的三個虛部分別代表彩色圖像的R、G、B三個通道，這樣就可以把彩色圖像的每個像素都可以表示為一個純四元數[12]：

f(x,y)=fR(x,y)·i+fG(x,y)·j+

fB(x,y)·k

(13)

2.2 四元數結合Canny算法

傳統灰度Canny算子邊緣檢測步驟如下：

(1) 使用高斯濾波器對圖像進行預處理，其中高斯函數方差人為設定。

(2) 對預處理后的圖像采用2×2模板計算梯度幅值和梯度方向。

(3) 對梯度圖像進行非極大值抑制，將梯度最大值點作為候選邊緣點。

(4) 人為確定高、低閾值并采用連接方法確定圖像最終邊緣。

圖像梯度幅值和幅角的計算直接影響邊緣檢測圖像的連續性以及真實邊緣的數量，所以本文運用四元數理論，對文獻[8]中的特征矩陣進行改進，將2×2模板擴為3×3模板，并添加45°和90°計算方向，構造出一種新的梯度幅值和方向的計算方法，從而使得可以直接對彩色圖像進行邊緣檢測。

彩色四元數邊緣特征矩陣可以用來分析彩色圖像的邊緣特性可結構特征[8]，因此改進的四方向彩色邊緣特征矩陣為：

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：px、py、p45°和p135°分別為0°、180°、45°和135°這四個方向上的微分；“-”表示利用中值濾波器對四元數微分運算后的點積進行空間上的濾波處理。

根據式(10)-式(12)可以得到如下點積運算表達式：

(18)

(19)

(20)

(21)

px·p45°=RxR45°+GxG45°+BxBy

(22)

式中：R、G、B分別表示彩色圖像三通道。

可以看到，式(14)-式(17)都很好地結合了四個方向上的微分，但是通過實驗發現，式(14)所得到的邊緣圖像在邊緣連續性上優于其他公式，并且計算復雜度相對較低，所以彩色四元數邊緣特征矩陣可以表示為：

(23)

對彩色四元數邊緣特征矩陣進行特征值分析，設矩陣特征值為λ，則:

(24)

通過計算可以得到特征值λ1和λ2，具體表達式如下：

(25)

(26)

式中：λ1為第一特征量表示彩色圖像局部色彩梯度變化最大處的微分能量[13]；λ2為第二特征量表示垂直于局部色彩突出變化方向的能量。通過分析可設方向的表達式如下：

(27)

3 實驗結果與分析

為了驗證本文算法在彩色房屋圖像上去噪和邊緣檢測方面的效果，在MATLAB R2016b平臺上實現算法。以512×512的彩色房屋圖像為例，其中：實驗三中加入均值為0、方差為0.03的高斯白噪聲；實驗四中加入均值為0、方差為0.05的高斯白噪聲。實驗結果分別如圖4和圖5所示。

圖4 實驗三結果

圖5 實驗四結果

可以看出，當分別加入均值為0、方差為0.03和方差為0.05的高斯白噪聲檢測彩色房屋圖像時，本文小波閾值去噪能夠較好地去除噪聲，含噪圖像所得邊緣由于噪聲的影響導致邊緣輪廓幾乎看不見；而文獻[8]算法所得邊緣連續性較低，可以看出本文邊緣檢測算法具有較好的檢測效果和去噪效果，并且降低了錯檢率和漏檢率，自適應性高。

圖像質量評價客觀法是通過測量相關指標定量模擬人類視覺系統對圖像質量感知效果[14]。本文將采用客觀評價指標峰值信噪比(PSNR)和信噪比(SNR)來衡量原始彩色圖像邊緣檢測后的邊緣圖與彩色噪聲圖像邊緣檢測之后的邊緣圖之間的比率，并采用結構相似度(SSIM)指標來說明原始彩色邊緣圖像與本文小波閾值去噪后的彩色邊緣圖像之間的亮度、對比度和結構的相似性。結構相似度指標定義如下[15]：

SSIM(x,y)=[l(x,y)]α[c(x,y)]β[s(x,y)]γ

(28)

式中：x和y分別是不含噪聲邊緣圖和含有噪聲邊緣圖；l(x,y)、c(x,y)、s(x,y)分別為兩幅圖像x和y的亮度相似性、對比度相似性、結構相似性。客觀評價指標結果如表3和表4所示。

表3 濃度為0.03時算法PSNR、SNR和SSIM值

表4 濃度為0.05時算法PSNR、SNR和SSIM值

4 結 語

本文通過分析RGB顏色空間中各分量間存在的高關聯性而導致部分邊緣無法被檢測以及抗噪性低問題，提出一種基于多層小波閾值函數的彩色圖像邊緣檢測方法。通過構建自適應多層小波閾值函數對圖像進行去噪預處理，并結合已有的四元數理論構建新的四方向特征矩陣模型求解梯度幅值和幅角。實驗結果表明，本文算法檢測出的彩色圖像輪廓連續性明顯提高，去噪效果良好，并且降低了漏檢率和錯檢率，是一種可行的無監督算法。