分塊矩陣在矩陣秩理論教學(xué)中的探討

唐大釗，李 丹

（1.重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331；2.重慶市大學(xué)城第一中學(xué)，重慶 401331）

分塊矩陣不僅是高等代數(shù)課程中的重要內(nèi)容，而且也是相關(guān)后續(xù)課程中研究問(wèn)題的重要工具。作為反映矩陣固有特性的重要指標(biāo)——矩陣秩，它不僅是向量組秩橫向和縱向的推廣，而且是構(gòu)成矩陣?yán)碚摰幕Ｒ蚨?，矩陣秩之間的關(guān)系（等式關(guān)系、不等式關(guān)系）的證明及推導(dǎo)就顯得非常重要。然而，有關(guān)矩陣秩的等式和不等式不勝枚舉，如何以一種較為有效的方式統(tǒng)一地去處理這類問(wèn)題是每一個(gè)高等代數(shù)授課老師需要思考的問(wèn)題。

矩陣的分塊是處理矩陣一種有效方法，它能使階數(shù)較高矩陣的計(jì)算變得簡(jiǎn)潔和快速，容易被學(xué)生接受和理解。此外，矩陣的分塊這一處理方式能進(jìn)一步開(kāi)拓學(xué)生思維，對(duì)于提高學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力都有積極作用。基于筆者近年來(lái)對(duì)于高等代數(shù)和線性代數(shù)課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本文將主要探討分塊在矩陣秩理論中的應(yīng)用，包括利用矩陣的分塊證明矩陣中的若干重要定理，以及涉及矩陣秩的若干不等式。從實(shí)際效果看，這些探討增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)于高等代數(shù)矩陣秩理論章節(jié)的理解，相當(dāng)程度上改善了教學(xué)效果。

1 矩陣的秩、矩陣的分塊及其相關(guān)運(yùn)算

在本節(jié)中，我們主要回顧矩陣的秩和矩陣的分塊。

定理1.1[1]矩陣的行秩（列秩）指矩陣的行（列）向量組的秩。因?yàn)榫仃嚨男兄鹊扔诹兄?，因而將其統(tǒng)稱為矩陣的秩，記為。

定義1.1[2]初等矩陣是將單位矩陣進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣。

定理1.2[4]矩陣的初等變換不改變其秩。

接下來(lái)，我們回顧在處理階數(shù)較高的矩陣時(shí)一個(gè)重要的工具——分塊矩陣。將某些給定的大矩陣看成若干小矩陣組成，就如同將矩陣看成由一個(gè)個(gè)數(shù)組成一樣。在矩陣的相關(guān)運(yùn)算中，將這些特定劃分好的小矩陣當(dāng)成數(shù)一樣來(lái)處理，這一處理方式就是所謂矩陣的分塊。唯恐言之無(wú)物，我們?cè)嚺e下面的例子來(lái)加以說(shuō)明。矩陣

這就是我們所說(shuō)的矩陣的分塊。

2 分塊矩陣在矩陣秩相關(guān)定理中的應(yīng)用

在本節(jié)中，我們將探討利用分塊矩陣對(duì)矩陣秩相關(guān)定理的證明。

3 分塊矩陣在矩陣秩不等式關(guān)系的應(yīng)用

分塊矩陣不但為討論抽象矩陣和抽象矩陣的秩構(gòu)造了一架橋梁，而且分塊矩陣與矩陣的初等變換是緊密聯(lián)系的，利用矩陣的分塊，可以對(duì)一些抽象矩陣的秩進(jìn)行更深一步的討論。在本節(jié)中，我們給出三個(gè)例子，探討分塊矩陣在矩陣秩中的應(yīng)用。

分析：雖然上述條件是以行列式的形式給出的，但是題設(shè)中也不乏矩陣的秩之間的關(guān)系，而且行列式與其所對(duì)應(yīng)的矩陣之間具有非常緊密的聯(lián)系，這自然而然想到利用分塊矩陣。

4 總結(jié)

一方面，分塊矩陣對(duì)于行列式的計(jì)算和證明有著非常巧妙的應(yīng)用，這主要體現(xiàn)在簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算上。分塊矩陣可以將一些高階行列式通過(guò)分塊以及其他的一些初等變換，簡(jiǎn)化為求一些較為低階行列式的問(wèn)題，由于行列式與其對(duì)應(yīng)矩陣的秩之間有著非常密切的聯(lián)系，因而分塊矩陣是計(jì)算和證明行列式等式或不等式的一個(gè)有力的工具。

另一方面，在證明矩陣秩相關(guān)不等式的過(guò)程中，分塊矩陣仍有不可忽視的作用，因?yàn)榉謮K矩陣將具體的矩陣抽象為一些“小”矩陣塊，這就在處理問(wèn)題的時(shí)候提供了許多簡(jiǎn)捷的技巧；分塊矩陣對(duì)處理矩陣的秩方面尤其便利，它將一些抽象矩陣，通過(guò)初等變換轉(zhuǎn)化為一些基礎(chǔ)矩陣（如單位矩陣、可逆矩陣等）的問(wèn)題，這使得問(wèn)題在一定程度上獲得簡(jiǎn)化。不僅如此，分塊矩陣對(duì)于研究矩陣的性質(zhì)（如逆矩陣、矩陣的特征值、Jordan標(biāo)準(zhǔn)型等）也有著非常重要的應(yīng)用。

綜上所述，分塊矩陣在處理涉及矩陣秩的相關(guān)不等式時(shí)，體現(xiàn)出了強(qiáng)大的統(tǒng)一處理能力。然而，學(xué)生需要就具體問(wèn)題熟練地挑選或者構(gòu)造出相關(guān)的初等矩陣，這就需要平時(shí)多對(duì)相關(guān)習(xí)題中分塊矩陣的選取進(jìn)行觀察、歸納和總結(jié)。另一方面，教師在講授完分塊矩陣這一工具后，也應(yīng)該幫助或者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)歸納和總結(jié)?？傊?，筆者認(rèn)為，為了使學(xué)生更好理解高等代數(shù)這門(mén)課程，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)教學(xué)大綱和授課對(duì)象，選取最優(yōu)的教學(xué)內(nèi)容和合理的教學(xué)方案。在教學(xué)過(guò)程中，可以及時(shí)對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)歸納并進(jìn)行相關(guān)應(yīng)用，使學(xué)生真正體會(huì)到高等代數(shù)這門(mén)課程的真正魅力所在，提高其學(xué)習(xí)積極性，實(shí)現(xiàn)最佳的教學(xué)效果。