本科泛函分析課程教學思政的探討

趙 霞

（重慶師范大學數學科學學院，重慶 401331）

1 泛函分析課程教學思政的必要性

1.1 泛函分析課程教學現狀

泛函分析課程是數學專業學生的一門專業基礎課程，是一個數學專業學生所必須要掌握的分析知識，這些分析知識是進一步學習其他數學專業課程的基礎。這個課程邏輯性強，具有一定難度系數，學生們總認為泛函分析是一門枯燥乏味，極難理解的課程。

泛函分析課程主要以課堂教學為主，講授過程主要以課本知識點為中心，通過對定義的講解、引理定理的推導以及課后習題的解答完成泛函分析的教學。整個課程主要目的是使學生們學習好泛函分析這門基礎課，掌握好泛函分析的基礎知識以及相關結論，能夠在進一步學習其他課程中應用到泛函分析知識。

1.2 泛函分析課程教學存在的問題

首先，由于泛函分析主要是由大量的定義、定理、公式組成，需要大量的邏輯推理，是一個難度系數很大的學科。其可見的應用也是對其他數學學科的抽象應用，很少具有與實際生活相結合的應用，從而使同學們對泛函分析產生了枯燥乏味，難以理解的想法。

其次，泛函分析課程課堂形式單一，上課以老師講為主。雖然老師全身心投入講解過程，對知識點的講解由簡入難，層層遞進，推理嚴密，但對于學生的接受情況并不是很了解，不能保證每個學生或者大部分的學生都理解聽懂老師的講解。

再次，泛函分析課程主要以基礎知識教育為主，融入的德育教育相對較少。泛函分析是一門基礎性學科，表面上看都是定義，公式和定理，看似一門與思政建設毫無關系的學科，但是數學中也會蘊含一些做人做事的道理，以及一些人生觀，價值觀。老師需要從泛函分析的知識點以及證明方式方法中去挖掘思政元素，將基礎知識教育與德育有機結合。

2 泛函分析課程教學思政建設目標

泛函分析是一門基礎學科，它能夠滲透到很多其他方向。在泛函分析課程的教學過程中必須發揮教師的主觀能動性，潤物細無聲地融入思政元素，將思政與教學相融合。

2.1 增加對泛函分析課程的興趣

教師以泛函分析的教學內容為基礎，借助知識點、數學史以及數學方法等恰當地融入思政元素，激發學生的想象力與好奇心，增加學生們對泛函分析的興趣，使教書育人貫穿課堂始終。

2.2 掌握泛函分析基礎課程

通過融入思政元素，讓泛函分析基礎知識與人生哲理相結合，使知識點更容易接收消化；通過采取不同形式的上課方式，讓學生自行去理解、總結知識點之間的關系，以及知識點與思政元素之間的聯系，從而打牢知識根基。

2.3 樹立正確的人生觀和價值觀

將泛函分析的知識點與思政元素相結合，培養學生正直誠信的品質、責任感、創新精神和愛國精神，幫助學生提高解決實際問題的能力，使學生今后能更好地融入和服務社會。

3 泛函分析課程教學思政規劃方案

3.1 轉化教學形式

以課堂講授為主的形式轉化為講課和研討相結合的上課形式。老師都自認為全身心投入講解過程，對知識點的講解也是由易到難、層層遞進，但對于學生的接收情況并不是很了解，忽略了學生對知識點的掌握程度以及教書育人的本質。老師首先通過講課傳授知識點并進行相應的思政教育，再通過研討讓學生自行去理解總結知識點之間的關系，以及知識點與思政元素之間的聯系。講課和研討相結合的上課形式，既能引起學生的好奇心，打牢基礎知識，提高課堂教學效率，也潛移默化地進行了思想教育。

3.2 采取措施吸引學生興趣

3.2.1 通過與已學知識的結合

泛函分析主要是將有限維空間的知識點推廣到無限維空間，因此我們可以將有限維空間的例子作為引入，加強與基礎課的融會貫通[1]，能夠讓學生產生興趣和好奇心。比如n維歐式空間是度量空間的特殊例子，從而極限、稠密集、連續映射就可以類似的延拓到度量空間；n維歐式空間也是 Hilbert空間的特殊例子，n維歐式空間里面的內積、正交、投影也適用與Hilbert空間；有限維空間中的矩陣是有界線性算子的特例，矩陣的共軛轉置對應于有界線性算子的伴隨矩陣，矩陣的特征值對應于有界線性算子的譜。

3.2.2 通過數學家的故事

在泛函分析的教材中，會看到很多以名字命名的數學定理以及數學不等式，包括Hilbert空間、Young不等式、Holder不等式、Cauchy不等式、Minkowski不等式、Banach空間、Han-Banach延拓定理、Banach-Steinhaus定理、Baire綱定理等等。我們可以講述上述數學家的生平，以及讓學生們自己去調查數學家的生平并分享他們的故事，體會數學家嚴謹的專研精神以及他們對科學真理追求的嚴謹態度。

David Hilbert是天才中的天才，被譽為“數學世界的亞歷山大”，也被稱為“數學界的無冕之王”。以Hilbert命名的數學名詞多如牛毛，有些連Hilbert本人都不知道。比如有一次，Hilbert問系里的同事“請問什么叫做Hilbert空間？”。Hilbert相信每個數學問題都能夠得到解決，這一信念對數學科研工作者具有極大的鼓舞。1930年，Hilbert在接受哥尼斯堡榮譽市民稱號的講演中，再次宣稱：“我們必須知道，我們必將知道。”Hilbert去世后，這句話就永遠地刻在了他的墓碑上。

Augustin Louis Cauchy曾經有個綽號叫苦瓜，這是由于他平常不怎么說話，如果說話也很簡短，使人摸不著頭緒，像一顆苦瓜一樣。Cauchy的身邊朋友很少，只有一群嫉妒他聰明的人。Cauchy平時除了看 Lagrange的數學書，就是看《效法基督》這種靈修書籍，這使他又獲得了一個外號，“腦筋劈哩啪啦叫的人”，簡單的說，其實就是“神經病”。傳說Cauchy年輕的時候，向巴黎科學院學報投稿，由于他投稿的速度非常之快，稿件也非常之多，這使得巴黎市幾乎所有紙店的存貨都被印刷廠搶購了，并導致了市面上紙價大漲，紙張短缺。于是巴黎科學院決定，每篇論文發表的篇幅必須以4頁為限，從而Cauchy的一些長篇論文就只能改投其他國家的刊物。

3.3 融入思政的教學設計

3.3.1 通過數學史增強學生的使命感與社會責任感

利用科學家的人格魅力，以他們為榜樣，通過他們的示范作用，對學生進行思政教育。通過與泛函分析內容相關的老一輩數學家例如關肇直、田方增先生等的愛國敬業致力泛函分析科研與人才培養的事例，激發學生深沉的愛國熱情和濃厚的濟人濟事濟天下的家國情懷，讓學生們充分意識到作為當代青年，必須認真學習科學知識，將來為祖國的發展和繁榮富強做出應有的貢獻。

田方增在中學時期就感受到中國深受帝國主義的欺凌和封建軍閥的壓迫，自然而然地萌發出了愛國熱情，希望將來的中國能夠獨立自強。1935年，田方增投身參加了“一二九”愛國運動，并于次年2月積極參加了中華民族解放先鋒隊，將自己的青春奉獻給了為抗日戰爭和黨的事業。新中國成立之后，田方增從法國回到中國，為中國泛函分析的發展做出了積極的貢獻。

關肇直在新中國誕生之際，毅然決然地放棄了取得博士研究生學位的機會，束裝回國，積極投身于新中國的建設中。關肇直先生主要從事數學、系統科學以及系統科學的研究。為了發展軍工和航天等事業，20世紀60年代開始，關肇直先生就投入到現代控制理論的研究，在導彈制導、潛艇控制以及人造衛星測軌等項目中作出了一系列非常重要的貢獻。

3.3.2 在泛函分析知識點中挖掘思政元素

泛函分析抽象難懂，都是一些公式、引理、定理，看似與思政沒有任何關系，我們需要深層次去挖掘泛函分析知識點中的思政元素，如果能夠將泛函分析知識點與思政元素相結合，或許能夠讓學生們容易理解。下面將列舉幾個從泛函分析的定理以及定義中挖掘的思政元素。

定理1[4]（Hahn-Banach延拓定理）假設X是一個實的或復的線性空間，Z是X的一個子空間，p（x）是定義在X上的次線性泛函。如果f是子空間Z上的實或復的線性泛函，并且滿足

那么存在f的一個延拓，其是X上線性泛函，并且滿足

Hahn-Banach延拓定理表明一個算子只要在一個子空間上的范數能夠得到控制，那么這個算子就能延拓到整個空間上，并且其范數也能夠得到控制。雖然個人的影響力很小，但是幾個人或者一群人的影響力可能就足以撼動世界，千萬別“不以善小而不為，不以惡小而為之”。

定義2[4]（Hilbert空間）一個完備的內積空間則稱為Hibert空間。

定義3[4]（Banach空間）一個完備的賦范空間則稱為Banach空間。

由于不同空間的定義不一樣，它們具有不同的特征，從而導致它們有不同的結論。Hilbert空間和Banach空間是兩個不同的空間，滿足不同的規則，Hilbert空間由于有定義內積，從而上面有正交和投影算子等，而Banach空間上沒有內積的定義，不存在正交和投影算子。從而引導大家做事要有原則，要在一定的規則規矩下辦事，不能越界。

定理4[4]設X是一個內積空間，M是X的完備子空間，則對每一個x∈X，存在唯一的y∈M，使得||x-y||=d(x,M)。

泛函分析中的定理都有很多條件，在這些條件下結論才成立，此定理要求M是X的一個完備子空間，如果M在X中不完備，則結論就不一定對了。雖然很多問題、項目需要同學們創新，但是在創新的情況下也需要有前提，符合規則的創新才是值得贊揚和提倡的，超出規則的創新就會被淘汰。

通過挖掘泛函分析課程知識點的思政元素，讓專業教育與思政教育有機融合，既講解了專業知識，增加了課堂的樂趣，也在潛意識中灌輸了為人處世的方式方法。

3.3.3 在泛函分析證明方法中學習做人做事

泛函分析解決問題有很多方法，包括從結論出發去證明定理，根據等價定義證明結果，利用已知結果直接得出結論等。在這些方法中我們希望能夠適時地融入思政教育，將一些做人做事的道理滲透到教學中。

定理5[3]設X和Y是兩個賦范線性空間，T是從X到Y的線性算子，則以下條件等價

a、T將定義域中的有界集映到有界集；

b、存在常數M0，使得對一切x∈X有||Tx||M||x||；

c、T在定義域內的一點連續；

d、T在定義域內處處連續。

泛函分析中會有很多等價定義，例如定理5，賦范線性空間上的有界線性算子就具有以上四種等價定義，在證明一個算子是有界線性算子時可能直接用定義證明并不容易，但可以轉化為其他等價定義來證明。因此，在生活中，一些實際問題并不是輕而易舉就能解決，如果最開始的決策是錯誤的，事情很可能發展得越來越復雜，在這種情況下不要輕言放棄，及時改變思路，轉換思想，進而化難為簡。

泛函分析的定理證明可以從結論出發去尋找工具和條件，這樣有目的性地解決問題才能認清問題的本質，明白條件的作用和意義。

定理6[3]假設X是一個賦范線性空間，Y是一個Banach空間，那么B(X→Y)是一個Banach空間。

證明B(X→Y)是Banach空間則需要證明其每個Cauchy序列都收斂，從而任取一個Cauchy序列{Tn}，然后得到對每一個x∈X，{Tnx}構成空間Y的一個Cauchy序列，從而可以明白條件Y是Banach空間的作用，繼而完成證明。在生活中遇到問題時，我們得通過問題去尋找原因與本質，尋找到了原因才不至于再次犯錯或者出現同樣的問題。

泛函分析的學習過程需要總結，課本內容很多，習題也很多，老師并沒有時間一一講解，比如一些度量空間，Hilbert空間以及 Banach空間的證明，老師只能就一些例子給了證明結果，學生們需要認真總結證明過程，自己嘗試對一些例子的證明，只有認真總結之后遇到類似的問題才能夠利用類似方法解決，能夠舉一反三。凡事都要自己嘗試，并不是只是眼睛看會了，在吸取別人的經驗的同時，總結出一套自己解決問題的方法，這樣遇到事才會游刃有余，這樣才能學得活，記得牢[4]。

引理7[5]（Minkowski不等式）設，那么，并且成立不等式||f+g||p||f||p+||g||p。

泛函分析很多引理雖然其有著存在的意義，但其主要目的是為了證明某個重要定理。通過此引理能夠得到p1時，按范數||·||p構成賦范空間。我們從中引導學生們要有一定的服務意識和奉獻精神。

泛函分析解決問題的方法眾多，很多方法都蘊含了人生哲理以及做人做事的道理，通過泛函分析解決問題的方法，挖掘其與思政建設的關系，融入思政教育。

4 結語

泛函分析是數學專業學生的一門專業必修課課，課程難度系數相對較大，趣味性弱。老師需要在泛函分析教學的過程中轉換教學模式，挖掘思政元素，融入思政教育，增加學生對泛函分析課程的興趣。讓學生在掌握泛函分析基礎課程知識點的同時能夠學會一些做人做事道理，樹立一些正確的人生觀和價值觀。