關于圓形電流內部的磁感應強度和磁通的研究

么強

內蒙古農業大學理學院 內蒙古自治區 呼和浩特 010018

引言

圓形電流內部的磁感應強度B和磁通Φ是電磁學中一個較重要的問題，在一般普通物理書中，作為比奧－沙戈爾－拉普斯基定律應用的典型例子，只計算其中心點的B[1]。個別電磁學書中，隨給出了B的表達式，但具體計算在仍一點B的數值時仍很困難；而且推導中使用了普通物理未涉及的矢量勢概念，最后結果也看不出B隨位置的變化情形。至于圓形電流內部不同圓面積上的磁通Φ，更未見有書刊討論過，而它是研究與圓形線圈有關的電感、感應電動勢等問題不可缺少的[2]。此外，圓形電流內部的B和Φ也是普通物理學人們常常提出疑問的問題，對于一些書上有關系已的解答往往發生困難。

本文將從畢－沙－拉定律出發給出圓形電流內部B和Φ的計算公式，并按照對半徑的均勻等分點給出B和Φ逐漸變化的精確結果（一般精確到5位有效數字）。并對結果進行了討論驗證。

1 圓形電流內部任一點的磁感應強度[3-5]

設圓形電流的半徑為a，電流強度為I（圖1）。P為圓內任意一點，從圓心O到P點的距離OP＝λa（顯然0≤λ≤1），根據畢－沙－拉定律，電流元IdlIdl在P點產生磁感應強度dB的大小為：

圖1 B推導用圖

方向垂直于紙面向外，而：

圖2隨變化圖

由此可知，圓形電流內部任意一點的磁感應強度和電流強度成正比，和圓半徑成反比，而比例系數是僅與有關的數。

可以證明，磁感應強度也可以寫為：

均為橢圓積分；K、E隨k的變化。這里：

（2）式經過簡單的變換和單位制更動之后（本文所談及的物理量、公式均采用國際單位制）其結果完全一致。

圖3 真實情況的圓導體

2 圓形電流的磁通[6-9]

由于圓形電流內B隨而變化。因此通過同一圓心半徑為的圓面的磁通（圖4）：

圖4 求用圖

（3）式表明：在圓形電流內部的任一個圓面積（圓心為同一點）上的磁通，均與圓形電流的半徑和電流強度成正比，并且比例系數是一個僅與有關的數。

由于B在處為，計算整個電流線內的比發散。由前所述，考慮到真實電流線橫截面積有一定大小，B既不可能出現，亦不可能發散。我們也同時計算了不同值下的之值，并繪制了～的圖形（圖5）。

圖5隨變化圖