基于Van der Pol方程的雙脈沖射流控制機理研究

陸惟煜，李秋鋒，傅 鑫

(1.南京工業大學 數理科學學院, 南京 211800; 2.中國飛行試驗研究院, 西安 710089; 3.南京航空航天大學 能源與動力學院, 南京 210016)

壓氣機是航空發動機中的核心部件之一，提高壓氣機負荷是提高航空發動機推重比的有效途徑。在目前的材料及氣動設計水平下，提高壓氣機負荷面臨著流動分離風險，需要引入高效的流動控制手段對流動分離加以抑制。

由于非定常流動控制相比定常方法能大幅節約能量注入[1]，因此其作為流動控制領域的前沿方向，受到國內外學者的廣泛關注。針對非定常流動控制技術的研究主要分為3個方面：一是流動控制措施的研究，目前的流動控制措施主要包括聲波激勵[2]、合成射流[3]、脈沖射流[4]、振動壁面[5]、等離子體激勵[6]等，這部分研究主要針對激勵器(產生非定常激勵的裝置)結構形式、自身特性進行研究；二是針對各種流動控制方式參數的優化及流場相應特性的研究[1]，研究通常將流場視為黑盒子，采用數值模擬(如采用URANS[7])或實驗的手段獲取流場控制的總體效果(總壓損失、升阻比等參數)與激勵參數間現象層面的關系，并對激勵參數進行定量層面的優化；三是針對非定常流動控制更深層次的機理研究，若將非定常激勵視為對流動不穩定性的利用，通?？梢圆捎镁€性穩定性理論中的經典穩定性分析(平行流O-S方程)[8]或二維全局不穩定性(bi-global)分析[9]預測最佳激勵頻率，若將非定常激勵視為與流動非定常擬序結構發生了相干作用，通常可以采用POD[10]或DMD[11]方法分析激勵作用前后流動擬序結構的變化，這些基于簡化模型或擬序結構分析的方法不再將流場視為黑盒子，從而能夠獲得一定的流場控制內在機理。

本文研究針對上述非定常流動控制技術的第二、三方面展開。即針對現存非定常流動控制技術進行參數優化，以期提升控制效果；以及針對非定常流動控制理論模型欠缺及流動控制機理不明的問題，發展簡化的非定常流動控制模型，揭示流動控制機制。具體而言，在常規的單脈沖射流技術的基礎上，探索了雙脈沖射流的參數選取規律，并基于流動的弱非線性穩定性理論，發展了適合于雙脈沖射流的受迫Van der Pol模型，以用于初步解釋雙脈沖射流流動控制特性，揭示雙脈沖射流流動控制的機制，為后續非定常流動控制技術的參數設計及機理研究提供理論參考。

1 理論模型與數值模擬方法

1.1 理論模型推導

首先針對雙脈沖射流流動控制建立簡化的理論分析模型，用于指導雙脈沖射流的參數設計并揭示流動控制機理。由于非定常流動控制與流動不穩定性密切相關[12]，線性穩定性理論盡管發展較為成熟，卻只能反映不穩定波演化的初始階段，不能反映不穩定波的飽和階段和旋渦卷起的過程。采用弱非線性流動穩定性理論中的S-L模型，該模型能近似反映不穩定波的飽和及受外界激勵作用下的響應[13]。

流動分離中的大尺度分離渦由流動不穩定性產生，主導頻率不穩定波的演化方程可表達為：

u(t)=A(t)sin(ω0t)

(1)

式中，A(t)為擾動幅值，ω0為擾動波頻率。根據S-L理論[14]，擾動幅值的演化方程為：

(2)

(3)

將式(2)及其對時間的導數代入式(3)可得：

(4)

(5)

該方程即為自由Van der Pol方程[15]，其在初始擾動下能產生一定頻率的自激運動，和流動不穩定性的物理本質相一致。對于雙脈沖射流而言，擾動波的演化發展受外界周期性激勵的作用，該作用可等效為在自由Van der Pol方程中增加2個受迫項，如下所示：

(6)

其中：Ae、ωe和φe分別表征外界周期性激勵(此處為脈沖射流)的幅值、角頻率和相位，下標1、2則用于區分雙脈沖射流。為了便于分析，可將上式無量綱化，得到：

(7)

2.2 模型參數與評價指標

最后，為了將模型和實際流動控制相聯系，需要引入模型的評價指標。通常在實際流場中引入總壓損失系數評價流動品質，由于該模型具有不穩定性，在以K-H流動不穩定性為主導特征的自由剪切流中，常用卷入比衡量剪切流主導渦結構對高、低速主流間動量的傳遞率[1]。參考卷入比的概念，本文引入擾動波的有效值(均方根)的概念，其定義如下：

(8)

該式反映了利用流動不穩定性對動量的輸送程度。該值越高，通常流動控制效果越好(分離區的低能流得到更多主流的動量補充)，為了和實際流動的總壓損失系數變化趨勢相一致，模型采用δ的相對減少量作為評價指標：

(9)

式中：δn和δc分別為無控和有控情形下模型的δ值。δ的具體計算首先利用Matlab軟件求解不同參數下式(7)所示非線性常微分方程，再依據式(8)計算δ的具體數值，從而制作δ隨各個激勵參數的變化曲線。

2.3 物理模型與計算方法

本文基于典型具有分離流動的二維擴壓通道，對雙脈沖射流流動控制下通道內部流動進行了非定常數值模擬研究，以獲得不同射流參數下雙脈沖射流的流動控制特性，并與基于Van der Pol方程的理論模型進行對比分析。

擴壓通道的幾何造型如圖1所示，其包含進口段、彎曲擴張段(仿葉片段)及出口段，進、出口寬度分別為34.3 mm和55 mm，彎曲段長(仿葉片弦長)為80 mm。在通道進口馬赫數為0.1時，彎曲段背風側出現流動分離，雙脈沖射流即針對該流動分離進行抑制。

此外，本文在數值模擬中采用相對總壓損失系數評價流動控制效果(與模型的評價指標-δ相對應)。其中，通道的總壓損失系數的定義為：

(10)

(11)

其中：ωn和ωc分別為無控和有控情形下通道的總壓損失系數。

圖1 擴壓通道及雙脈沖射流示意圖

2 結果分析與討論

2.1 無控特性

無控情形擴壓通道的瞬時渦量云圖如圖2所示。

圖2 無控情形下具有流動分離彎曲擴壓通道模型

此外，無控狀態下理論模型與擴壓通道分離區數值模擬監測點處靜壓的FFT(快速傅里葉變換)頻譜圖如圖3所示。其中，數值模擬結果已進行了無量綱處理?？梢钥闯觯碚撃Ｐ团c數值模擬結果都具有一個突出的主頻(無量綱頻率為1)，但數值模擬中除主頻外的雜頻相對理論模型更為突出。這是由于實際流動的復雜性所致，理論模型的模化作用則起到過濾這些雜頻，僅保留與非定常流動控制密切相關的主導流動模式的目的。

圖3 無控情形下數值模擬及模型產生的頻譜圖

因此，非受迫Van der Pol理論模型可以粗略地與實際非定常分離流發展的3個階段相對應。這樣施加合理表征外激勵項的受迫Van der Pol理論模型有望描述脈沖射流流動控制的現象及機制。

2.2 有控頻率特性

如圖4所示，數值模擬的結果表明：控制效果在脈沖射流折合頻率為1時最好，流動損失減少量達到9.2%，而其他激勵頻率下，總壓損失變化量約在-3%～3%，控制效果較差，甚至有負效果。理論模型有著類似的預測結果，在激勵折合頻率為1時，損失減少量達到8.8%，而在其他激勵頻率下，損失變化量約在±1%之間。上述分析表明，脈沖射流的最佳激勵頻率與流場自然頻率或系統主頻密切相關，具有該頻率的激勵能更好地利用流動不穩定性達到流動控制目的。

圖4 不同頻率下的相對損失系數(數值模擬及模型結果)

2.3 有控相位特性

如圖5所示，數值模擬與理論模型結果的總體趨勢吻合得較好，都反映出雙脈沖射流在同相時(Δφe=Δφe2-Δφe1≈0)控制效果最佳，而在反相時(Δφe≈±π)控制效果最差。在本文算例中，雙脈沖射流相距位置較近，該結果表明：脈沖射流存在類似波的干涉效應，同相位脈沖射流能發生疊加，從而產生更好的控制效果，而反相位脈沖射流則發生相消，使激勵的非定常性減弱，從而無法利用非定常流動控制“四兩撥千斤”的效應。從數值模擬和理論模型中也可看出，在反相工況附近，控制效果接近零。

雙脈沖射流的相位特性表明了非定常流動控制多個激勵作動器間相位差控制的重要性，設計原則應使激勵相疊加，而非抵消。

圖5 雙射流不同相位差下的相對損失系數(數值模擬及模型結果)

2.4 單、雙脈沖射流對比及機理分析

本節重點分析雙射流由于作用位置差異帶來的影響。如表1所示，分別布置于分離點前后、折合頻率為1的同相雙脈沖射流(如圖1所示)可產生9.2%的總壓損失減少。而布置于分離點處、動量系數為雙脈沖射流之和、折合頻率為1的單脈沖射流只能產生5.4%的總壓損失減少。這說明，由于雙脈沖射流前后布置，其不能完全等效為單脈沖射流，雙脈沖射流前、后的布置關系會帶來額外的控制效果增益。

圖6 無控、單射流、雙射流情形下模型的時域曲線

表1 單射流與雙射流對比

3 結論

1) 提出了一種帶兩個受迫項的基于Van der Pol方法的理論模型，用以刻畫雙脈沖射流流動控制的頻率特性及相位特性。理論和數值模擬均表明：布置于分離點附近的雙脈沖射流折合頻率為1，且相位相同時控制效果最佳。

2) 結合理論模型和數值模擬，本文認為雙脈沖射流流動控制機制如下：頻率特性表明，脈沖射流激勵需利用分離流主導頻率表征的不穩定性增強不穩定渦結構；相位特性表明，雙脈沖射流間會發生相干作用，同相相疊加，異相相抵消；此外，雙脈沖射流依靠上游射流的預同步機制，使射流更高效地向不穩定渦結構注入能量，利用該渦結構將主流動量傳遞至分離區，以達到抑制流動分離的目的。